Przeczytaj

Przykład 1

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

jedna cegła,
jeden odważniki $0, 5$ -kilogramowy,
jeden odważniki $1$ -kilogramowy,
jeden odważniki $2$ -kilogramowy.

Wszystkie przedmioty zostały ułożone na wadze szalkowej, tak że waga pozostaje w równowadze. Na lewej szalce znalazła się cegła i odważnik $1 kg$ , natomiast na prawej szalce odważniki $2 kg$ i $0, 5 kg$ .

W sytuacji gdy waga pozostaje w równowadze masa przedmiotów umieszczonych po obu stronach wagi jest taka sama. Zatem masa jednej cegły i masa $1$ -kilogramowego odważnika równa jest masie $2$ -kilogramowego odważnika i masie $0, 5$ -kilogramowego odważnika.

Jeżeli oznaczysz przez $x$ masę jednej cegły to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych: lewa strona wagi: $x + 1$ , prawa strona wagi: $2 + 0,5$ .

Pamiętając o tym, że waga pozostaje w równowadze, możemy zapisać:

x + 1 = 2 + 0,5

Taki zapis nazywamy równaniem, a występującą w nim szukaną wielkość $x$ nazywamy niewiadomą.

Równanie

Definicja: Równanie

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna.

Szukaną wielkość nazywamy niewiadomą i oznaczamy zwykle małymi literami alfabetu np.: $x, y, z, t, u .$

Równaniem z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym występuje dokładnie jedna niewiadoma.

Na przykład: $4 x + 2 = x, 3 t^{2} = 1, x^{2} + 2 x + 1 = 0, t^{4} + 1 = 2 .$

Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Na przykład: $2 x + 5 = 1 - 4, x + 4 = - 7 x, 2 z - 1 = 9 z, 2 (v - 1) = 0 .$

Ciekawostka

Jednym z najstarszych dokumentów matematycznych, który opisuje sposób rozwiązywania równań, jest Papirus Rhinda. Został on sporządzony w XVII wieku p.n.e. przez egipskiego pisarza Ahmesa. Papirus został odnaleziony w wyniku nielegalnych prac wykopaliskowych we wnętrzu piramidy Ramzesa II w ruinach egipskiego starożytnego miasta Teby, a następnie zakupiony przez Szkota Aleksandra Henryego Rhinda w $1858$ roku.

RrzcZHgW2RyPD

Ilustracja przedstawia stary papirus. Jest to fragment papirusu Rhinda. Papirus ten jest zniszczony, widoczne są w nim dziury, jest również postrzępiony. Na papirusie zachowały się jednak różne napisy, szkice oraz znaki w obcym języku, napisane i narysowane przy użyciu tuszu.. — Fragment Papirusu Rhinda
Źródło: Paul James Cowie, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Przykłady zadań, które znajdują się na papirusie

Szerokość papirusu wynosi $33$ centymetry, a długość około $5, 25$ metrów. Papirus zawiera $87$ zadań, popartych przykładami z różnych dziedzin matematyki, np.: z algebry i geometrii.

Suma pewnej wielkości i jej dwóch trzecich i jeszcze jej jednej siódmej wynosi $37$ . Jaka to liczba?
Znajdź taką wielkość, która powiększona o swoją siódmą część da liczbę $19$ .

Przykład 2

W pewnym gospodarstwie wiejskim położonym w środkowej Polsce hodowane są gęsi. Właściciel hodowli jest również posiadaczem kilkunastu pięknych stróżujących psów portugalskich. Zwierzęta znajdujące się w tym gospodarstwie mają razem $300$ nóg i $135$ głów. Zapisz równanierównanierównanie, dzięki któremu będzie można ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie.

Gęsi i psy mają razem $135$ głów.

Zatem jeżeli oznaczymy przez $x$ liczbę hodowanych gęsi w gospodarstwie, to liczbę psów portugalskich przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $(135 - x)$ .

Gęsi i psy mają razem $300$ nóg. Ponieważ każda gęś ma dwie nogi, to liczbę nóg wszystkich gęsi w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $2 \cdot x .$

Ponieważ każdy pies ma cztery nogi, to liczbę nóg wszystkich psów w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego $4 (135 - x) .$

Znając łączną liczbę nóg wszystkich zwierząt w tym gospodarstwie wiejskim, możemy zapisać równanie z jedną niewiadomą $x$ .

2 \cdot x + 4 \cdot (135 - x) = 300

Rozwiązanie tego równania pozwoli ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie wiejskim.

Już wiesz

RównanierównanieRównanie można zapisać za pomocą proporcji.

Proporcja jest to równość dwóch ilorazów. Jeżeli ilorazy $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$ są równe to równość $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ jest proporcją. Wyrazy $a$ i $d$ nazywają się skrajnymi, a wyrazy $b$ i $c$ środkowymi.

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

a d = b c

Słownik

równanie

równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna

Wprowadzenie

Infografika

Słownik