Warto przeczytać

Układy, takie jak ciężarek przyczepiony na sprężynie, wahadło, spławik zanurzony w cieczy lub ciecz w U‑kształtnej rurce, mają wspólną cechę. Wytrącone ze stanu równowagi zaczynają wykonywać drgania, czyli periodyczne oscylacje wokół położenia równowagi.

R1SXIlSboADim

Rys. 1. Rysunek składa się z czterech części opisanych wielkimi literami A, B, C i D. Na rysunku A pokazano klocek leżący na poziomej powierzchni. Z lewej strony klocka przyczepiono poziomą sprężynę, której lewy koniec umocowano do pionowej ściany. Na rysunku B pokazano wahadło składające się z kulki umocowanej na nici, którą górnym końcem przyczepiono do sufitu. Nić odchylona jest od pionu w prawo o kąt około 30 stopni. Na rysunku C pokazano naczynie z wodą. W wodzie pływa spławik o kształcie wydłużonej łezki z wystającymi w górę i w dół pręcikami. Część spławika znajduje się pod wodą, a część nad jej powierzchnią. Na rysunku D pokazano rurkę wygiętą w kształt wielkiej litery U. W rurce znajduje się woda. Poziom wody w lewej części rurki jest wyższy niż w jej prawej części. Przerywaną poziomą linią zaznaczono poziom wody, gdy znajduje się ona w równowadze.

Rozważmy układ prostego oscylatora harmonicznego. Jego położenie, a dokładniej odchylenie od punktu równowagi, opiszemy równaniem:

gdzie $A$ jest amplitudą, czyli maksymalną wartością wychylenia, $\omega$ to częstość kołowa drgań, od której zależy okres drgań oscylatora $T=\frac{2\pi }{\omega }$, a $\phi$ jest fazą początkową.

Współrzędną prędkości opisuje równanie:

Znajdźmy teraz wyrażenie opisujące energię kinetyczną i potencjalną takiego oscylatora.

Energia kinetyczna układu to energia ruchu, czyli zależna od jego prędkości: $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$. Dla omawianego oscylatora otrzymujemy więc energię kinetyczną o postaci:

Energia potencjalnaenergia potencjalna sprężystościEnergia potencjalna oscylatora harmonicznego jest funkcją kwadratową jego wychylenia z minimum w punkcie równowagi i ma postać $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$. Parametr $k$ to współczynnik proporcjonalności siły harmonicznej do wychylenia, związany z częstością kołową $\omega$ i masą oscylatora wyrażeniem $k=m{\omega }^2$.

Wstawiając zależność $x\left(t\right)$ otrzymujemy:

Korzystając ze związku $k=m{\omega }^2$ powyższe równanie przybiera postać:

Częstość kołowa oscylatora zależy od rodzaju układu drgającego (Rys. 1.). Na przykład dla ciężarka na sprężynie $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, a współczynnik $k$ jest nazywany jest współczynnikiem sprężystości lub stałą sprężystości sprężynystała sprężystości sprężynystałą sprężystości sprężyny. W przypadku wahadła matematycznego $\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$, gdzie $l$ to długość nici, a $g$ - przyspieszenie ziemskie. Z kolei drgania słupa wody o całkowitej długości $l$ w U‑rurce zachodzą z częstością kołową $\omega =\sqrt{\frac{2g}{l}}$.

Obliczmy teraz całkowitą energię oscylatora, sumując energię kinetyczną i potencjalną:

Po wyłączeniu kilku stałych wielkości przed nawias otrzymujemy:

W ostatnim kroku skorzystaliśmy z „jedynki trygonometrycznej” i otrzymaliśmy stałą (czyli niezależną od czasu) wartość całkowitej energii. Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest proporcjonalna do jego masy, kwadratu amplitudy i kwadratu częstości, która zależy od parametrów układu drgającego.

Przeanalizujmy na wykresie (Rys. 2.) zależność energii kinetycznej (krzywa czerwona) i potencjalnej (krzywa niebieska) od czasu.

RqH3gSO1LiOj0

Rys. 2. Na rysunku pokazano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach w zakresie od zera do dwóch sekund, a na osi pionowej energię w dżulach w zakresie od zera do 0,02 dżula. Narysowano dwa wykresy o kształtach sinusoid, jeden czerwony, drugi niebieski. Sinusoidy mają jednakowe amplitudy i są przesunięte względem siebie o połowę okresu, czyli maksimum jednej sinusoidy odpowiada minimum drugiej. Maksima obu wykresów połączone są poziomą, zieloną linią prostą.

Oscylator w tym przykładzie w chwili początkowej przechodził przez położenie równowagi $x=0$. Tak więc w chwili $t$ = 0 energia potencjalna wynosi 0, natomiast energia kinetyczna ma wartość maksymalną. Energia kinetyczna i potencjalna są przesunięte w fazie o dokładnie 180 stopni ($\pi$ radianów), a energia całkowita jest stała. Przemiany energii kinetycznej i potencjalnej można także przedstawić na wykresie zależności energii oscylatora od wychylenia z położenia równowagi (Rys. 3.).

R1coFv2vR5Feo

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono położenie opisane małą literą x, a na osi poziomej energię oznaczoną wielką literą E. Na osi poziomej zaznaczono dwa punkty równoodległe od początku układu. Punkt z lewej strony opisano jako minus wielkie A , punkt z prawej strony jako wielkie A. Narysowano dwa wykresy o kształcie paraboli, jeden czerwony, drugi niebieski. Czerwona parabola zwrócona jest ramionami do dołu. Zaczyna się w punkcie na osi poziomej opisanym jako minus wielkie A, a kończy w punkcie wielkie A. Maksimum paraboli znajduje się na osi pionowej w punkcie oznaczonym jako wielkie E z indeksem dolnym zero. Przez ten punkt poprowadzono zieloną, poziomą linię prostą. Narysowano dwie pionowe, przerywane linie proste przechodzące przez punkt minus A oraz A. Punkty przecięcia linii przerywanych z poziomą, zieloną linią są początkiem i końcem niebieskiej paraboli zwróconej ramionami do góry. Minimum niebieskiej paraboli leży w punkcie przecięcia osi.

Wniosek, jaki płynie z powyższych rozważań jest następujący: całkowita energia oscylatora jest stała, ulega cyklicznej zmianie formy z energii kinetycznej do potencjalnej. Za każdym razem, gdy układ przechodzi przez punkt równowagi, jego energia potencjalna jest zerowa, a całkowita energia układu ma postać energii kinetycznej. W momencie, gdy układ jest wychylony od położenia równowagi do punktu maksymalnego wychylenia, całkowita energia ma formę energii potencjalnej, a energia kinetyczna jest zerowa (Rys. 3.).

Słowniczek