Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozważmy proste, które można opisać równaniami kierunkowymi y=ax+by=cx+d, czyli żadna z nich nie jest równoległa do osi Y. Wówczas ich wzajemne położenie możemy określić, rozważając układ równań

y=ax+by=cx+d,

z którego wynika równanie

ax+b=cx+d(a-c)x=d-b.

Mogą zachodzić następujące przypadki:

R1VpDMARkA9Fe1

Zatem dwie proste opisane równaniami kierunkowymi mogą mieć:

  • dokładnie jeden punkt wspólny, gdy mają różne współczynniki kierunkowe,

  • nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i równe wyrazy wolne,

  • zero punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.

Podobną analizę możemy przeprowadzić dla prostych opisanych równaniami ogólnymi, które obejmują również proste równoległeproste równoległeproste równoległe do osi Y.

Aby określić wzajemne położenie prostych o równaniach Ax+By=C, gdzie A i B nie są jednocześnie równe zeru, oraz Dx+Ey=F, gdzie D i E nie są jednocześnie równe zeru, wystarczy rozważyć układ równań

Ax+By=CDx+Ey=F

Wyznaczymy x z pierwszego równania:

Ax=C-Byx=C-ByA

Podstawiając otrzymany wynik za x do drugiego równania, dostaniemy:

CD-BDyA+Ey=F |·ACD-BDy+AEy=AF

Dochodzimy finalnie do prostego równania z niewiadomą y:

(AE-BD)y=AF-CD.

Analogiczne równanie możemy otrzymać dla niewiadomej x:

(AE-BD)x=CE-BF.
RyopWeHmH12aL1
Przykład 1

Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach  3x-2y=4 oraz -6x+4y=8.

Zauważmy, że jeśli podzielimy obie strony drugiego równania przez (-2), otrzymamy równanie

3x-2y=-4.

Ponieważ wyrażenie 3x-2y nie może jednocześnie przyjąć wartości 4(4), więc układ złożony z podanych równań jest sprzeczny. Oznacza to, że proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

R1OAJfFgG3lGl
Przykład 2

Zbadamy wzajemne położenie prostych o równaniach 5x+3y=2 oraz 2,5x+1,5x=1.

Zauważmy, że jeśli pomnożymy obie strony drugiego równania przez 2, to otrzymamy równanie

5x+3y=2.

Oznacza to, że oba równania opisują proste, które się nakładają (można też myśleć, że opisują tę samą prostą). Zatem każdy punkt o współrzędnych (x;25x3) spełnia oba równania.

RvmrDnmLMZ8Sc
Przykład 3

Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach y=2x-3 oraz 2x-3y=1.

W tym celu rozwiążemy układ równań

y=2x-32x-3y=1.

Wynika z niego równanie

2x-3(2x-3)=1.

Kolejne przekształcenia pozwalają wyznaczyć wartość niewiadomej x:

2x-6x+9=1-4x=-8x=2

Pozostało wyznaczyć wartość niewiadomej y:

x=22·2-3y=1x=2-3y=-3x=2y=1

Zatem proste o równaniach y=2x-3 oraz 2x-3y=1 przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych 2,1.

Przykład 4

Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od wartości parametru m. Proste mają równania: y=m2-1x+2 oraz y=3x+m.

Obie proste opisane są równaniami kierunkowymi. Są one równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem

m2-1=3,

czyli

m=2 lub m=-2.

Dla m=2 otrzymujemy równania

y=3x+2 oraz y=3x+2,

zatem proste opisane danymi równaniami pokrywają się.

Dla m=-2 otrzymujemy równania

y=3x+2 oraz y=3x-2,

zatem proste opisane danymi równaniami są równoległe, ale się nie pokrywają.

Dla mR{-2;2} otrzymujemy proste, które się przecinają.

Przykład 5

Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od parametru m. Proste mają równania mx+2y=1 oraz 8x+my=-2.

Wykorzystamy zestawienie zawarte w tabeli 2.

Rozważmy układ równań

mx+2y=18x+my=-2.

Przy oznaczeniach przyjętych w tabeli 2, mamy:

A=m, B=2, C=1, D=8, E=m, F=-2.

Obliczmy teraz

AE-BD=m2-16CE-BF=m+4AF-CD=-4-m=-(m+4).

Jeśli

AE-BD=0

oraz

CE-BF=0

lub

AF-CD=0,

to proste będą się nakładać, co dzieje się tylko dla m=-4.

Jeśli jednocześnie

AE-BD=0CE-BF0AF-CD=0,

to proste będą równoległe, co dzieje się tylko dla m=4.

Jeśli

AE-BD0,

wtedy będą to proste przecinające sięproste przecinające sięproste przecinające się, co dzieje się dla mR{-4;4}.

Rozważmy proste narysowane poniżej

ROouLWSz93D9x

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że proste są równoległe. W rzeczywistości ich równania to

y=32x+2

oraz

y=149100x-32,

zaś ich punkt wspólny ma współrzędne -350;-523.

Zauważmy na podstawie powyższego przykładu, że nawet przy bardzo dokładnych wykresach, możemy pochopnie wyciągnąć wnioski o położeniu prostych, dlatego też warto zawsze poprzeć takie obserwacje obliczeniami. Skala rysunku pomocniczego ma duże znaczenie. Powinna być dopasowana do współczynników równania prostej. W tym przypadku, decydując się na dokładne narysowanie obu prostych o niewielkich współczynnikach, pomijamy duże wartości, przez co na rysunku nie jest umieszczony punkt przecięcia prostych.

Słownik

proste równoległe
proste równoległe

proste, które nie mają punktów wspólnych lub się nakładają

proste przecinające się
proste przecinające się

proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny