Przeczytaj
Rozważmy proste, które można opisać równaniami kierunkowymi i , czyli żadna z nich nie jest równoległa do osi . Wówczas ich wzajemne położenie możemy określić, rozważając układ równań
z którego wynika równanie
Mogą zachodzić następujące przypadki:
Zatem dwie proste opisane równaniami kierunkowymi mogą mieć:
dokładnie jeden punkt wspólny, gdy mają różne współczynniki kierunkowe,
nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i równe wyrazy wolne,
zero punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.
Podobną analizę możemy przeprowadzić dla prostych opisanych równaniami ogólnymi, które obejmują również proste równoległeproste równoległe do osi .
Aby określić wzajemne położenie prostych o równaniach , gdzie i nie są jednocześnie równe zeru, oraz , gdzie i nie są jednocześnie równe zeru, wystarczy rozważyć układ równań
Wyznaczymy z pierwszego równania:
Podstawiając otrzymany wynik za do drugiego równania, dostaniemy:
Dochodzimy finalnie do prostego równania z niewiadomą :
Analogiczne równanie możemy otrzymać dla niewiadomej :
Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach oraz .
Rozwiązanie
Zauważmy, że jeśli podzielimy obie strony drugiego równania przez , otrzymamy równanie
.
Ponieważ wyrażenie nie może jednocześnie przyjąć wartości i , więc układ złożony z podanych równań jest sprzeczny. Oznacza to, że proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
Zbadamy wzajemne położenie prostych o równaniach oraz .
Rozwiązanie
Zauważmy, że jeśli pomnożymy obie strony drugiego równania przez , to otrzymamy równanie
.
Oznacza to, że oba równania opisują proste, które się nakładają (można też myśleć, że opisują tę samą prostą). Zatem każdy punkt o współrzędnych spełnia oba równania.
Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach oraz .
Rozwiązanie
W tym celu rozwiążemy układ równań
.
Wynika z niego równanie
.
Kolejne przekształcenia pozwalają wyznaczyć wartość niewiadomej :
.
Pozostało wyznaczyć wartość niewiadomej :
.
Zatem proste o równaniach oraz przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych .
Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od wartości parametru . Proste mają równania: oraz .
Rozwiązanie
Obie proste opisane są równaniami kierunkowymi. Są one równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem
,
czyli
lub .
Dla otrzymujemy równania
oraz ,
zatem proste opisane danymi równaniami pokrywają się.
Dla otrzymujemy równania
oraz ,
zatem proste opisane danymi równaniami są równoległe, ale się nie pokrywają.
Dla otrzymujemy proste, które się przecinają.
Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od parametru . Proste mają równania oraz .
Rozwiązanie
Wykorzystamy zestawienie zawarte w tabeli 2.
Rozważmy układ równań
.
Przy oznaczeniach przyjętych w tabeli 2, mamy:
, , , , , .
Obliczmy teraz
.
Jeśli oraz lub , to proste będą się nakładać, co dzieje się tylko dla .
Jeśli jednocześnie
,
,
,
to proste będą równoległe, co dzieje się tylko dla .
Jeśli
,
wtedy będą to proste przecinające sięproste przecinające się, co dzieje się dla .
Rozważmy proste narysowane poniżej
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że proste są równoległe. W rzeczywistości ich równania to
oraz
,
zaś ich punkt wspólny ma współrzędne .
Zauważmy na podstawie powyższego przykładu, że nawet przy bardzo dokładnych wykresach, możemy pochopnie wyciągnąć wnioski o położeniu prostych, dlatego też warto zawsze poprzeć takie obserwacje obliczeniami. Skala rysunku pomocniczego ma duże znaczenie. Powinna być dopasowana do współczynników równania prostej. W tym przypadku, decydując się na dokładne narysowanie obu prostych o niewielkich współczynnikach, pomijamy duże wartości, przez co na rysunku nie jest umieszczony punkt przecięcia prostych.
Słownik
proste, które nie mają punktów wspólnych lub się nakładają
proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny