Przeczytaj
Zdarzeniem losowym nazywamy każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe są zatem pewnymi zbiorami, a więc możemy wykonywać na nich takie same działania, jak na zbiorach. Przy czym w tym materiale będziemy zakładać, że rozważane zdarzenia są podzbiorami tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych.
Sumą zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu lub zdarzeniu .
Możemy zatem powiedzieć, że sumą zdarzeń i jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie przynajmniej jedno z tych zdarzeń.
W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: , , , , , . Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez ,
– zdarzenie polegające na wyciagnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta.
Wtedy zdarzeniem będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez lub liczba parzysta.
Zatem:
.
Iloczynem zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu i zdarzeniu .
Możemy zatem powiedzieć, że iloczynem zdarzeń i jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zarówno zdarzenie , jak i zdarzenie .
W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: , , , , , . Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez ,
– zdarzenie polegające na wyciagnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta,
– zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od .
Wtedy:
zdarzeniem będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta podzielna przez ,
zdarzeniem będzie wyciagnięcie karteczki na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od podzielna przez .
Zatem:
Iloczyn zdarzeńIloczyn zdarzeń i z przykładu 2 jest zbiorem pustym. Takie zdarzenia nazywamy wykluczającymi się.
Różnicą zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu i niesprzyjające zdarzeniu .
Możemy zatem powiedzieć, że różnicą zdarzeńróżnicą zdarzeń i jest zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie i nie zajdzie zdarzenie .
Z talii kart losujemy jedną.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wylosowaniu damy,
– zdarzenie polegające na wylosowaniu karty koloru pik.
Wtedy zdarzeniu odpowiada wylosowanie damy, która nie jest koloru pik, natomiast zdarzeniu odpowiada wylosowanie karty koloru pik, która nie jest damą.
Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia nazywamy zdarzenie takie, że
Zauważmy, że:
Rzucamy dwoma kostkami do gry.
Niech będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu sumy oczek równej 12. Wtedy zdarzeniem będzie zdarzenie – suma oczek jest różna od 12.
Działania na zdarzeniach podlegają prawom analogicznym do praw rachunku zbiorów.
Prawa działań na zdarzeniach , , – zdarzenia tego samego zbioru zdarzeń elementarnych | |
---|---|
Przemienność iloczynu (koniunkcji) zdarzeńiloczynu (koniunkcji) zdarzeń | |
Przemienność sumy (alternatywy) zdarzeńsumy (alternatywy) zdarzeń | |
Łączność iloczynu zdarzeń | |
Łączność sumy zdarzeń | |
Rozdzielność iloczynu zdarzeń względem sumy zdarzeń | |
Rozdzielność sumy zdarzeń względem iloczynu zdarzeń | |
Prawo de’ Morgana | |
Prawo de’ Morgana |
Niech , , będą podzbiorami tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.
Dla przykładu wykażemy prawdziwość równości
Dowód:
Należy wykazać, że i .
Udowodnimy tylko pierwszy z zapisanych związków, dowód drugiej zależności pozostawiamy Ci do samodzielnego rozwiązania.
Niech . Wtedy i .
Rozpatrzymy trzy przypadki.
, i
Wtedy
., i
Wtedy
., i
Wtedy
i .
Niech , będą zdarzeniami należącymi do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.
Korzystając z praw działań na zdarzeniach, wykażemy, że
Korzystamy z prawa de’ Morgana.
Zdarzenia i są zdarzeniami przeciwnymi, ich iloczyn jest więc zdarzeniem niemożliwym.
Zatem:
Co należało wykazać.
Słownik
sumą zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu lub zdarzeniu
iloczynem zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu i zdarzeniu
różnicą zdarzeń i nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu i niesprzyjające zdarzeniu