Przeczytaj

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabolaparabolaparabola. Każda parabola składa się z wierzchołka oraz ramion.

Wzór dowolnej funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej, określonej na zbiorze $ℝ$ możemy zapisać w różnych postaciach:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,
kanonicznej: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ ,
iloczynowej (o ile istnieje): $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ lub $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

Wykres dowolnej funkcji kwadratowej możemy naszkicować poprzez obliczenie wartości dla kilku wybranych argumentów i zaznaczenie otrzymanych punktów w układzie współrzędnych.

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = x^{2}$ .

W tym celu w tabeli przedstawimy wartości tej funkcji dla wybranych argumentów:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1MzITby8E4ax

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionowa oś Y. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry.

W przypadku bardziej skomplikowanych wzorów funkcji kwadratowych, tak otrzymany wykres może być nieprecyzyjny.

Dlatego do szkicowania wykresu funkcji kwadratowej posłużymy się poniższą procedurą.

Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a \neq 0$ , przedstawimy w kilku krokach:

ustalamy, czy ramiona paraboli są skierowane do góry ( $a > 0$ ), czy do dołu
( $a < 0$ ),
wyznaczamy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ paraboli ze wzorów: $p = - \frac{b}{2 a}$ oraz $q = - \frac{∆}{4 a}$ ,
wyznaczamy (o ile istnieją) miejsca zerowe funkcji kwadratowej, korzystając z następujących wzorów:

Obliczamy wartość $∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowe ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , które obliczamy za pomocą wzorów:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Jeżeli $∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , które obliczamy za pomocą wzoru:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

obliczamy punkt przecięcia paraboli z osią $Y$ .

Pokażemy na przykładzie wzoru funkcji kwadratowej zapisanego w postaci ogólnej, jak krok po kroku naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 1

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - x - 1$ .

Rozwiązanie:

Podajemy wartości współczynników: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ .

Ponieważ $a > 0$ , zatem ramiona paraboli są skierowane do góry.

Obliczamy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ .

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$

$p = - \frac{- 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

$q = \frac{- 9}{8} = - \frac{9}{8}$

Ponieważ $∆ > 0$ , to funkcja ma dwa miejsca zerowe:

$x_{1} = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ :

$f (0) = 2 \cdot 0^{2} - 0 - 1 = - 1$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 1)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R17Ena8J8hFVU

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jedna czwarta średnik minus dziewięć ósmych koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jedna druga średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu.

Podobnie będzie wyglądała procedura szkicowania wykresu funkcji kwadratowej, jeżeli wzór jest zapisany w postaci kanonicznej.

Przykład 2

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - 3 {(x + 2)}^{2} + 3$ .

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci kanonicznej, zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $(- 2, 3)$ .

Ponieważ $a = - 3 < 0$ , zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Miejsca zerowe obliczymy rozwiązując równanie:

$0 = - 3 {(x + 2)}^{2} + 3$ .

Przekształcając otrzymujemy ${(x + 2)}^{2} = 1$ .

Zatem $x + 2 = 1$ lub $x + 2 = - 1$ .

Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 1$ oraz $- 3$ .

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f (0) = - 3 {(0 + 2)}^{2} + 3 = - 9$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 9)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

R1DggAkHAy5bK

Mając dany wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej możemy w łatwy sposób naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 3

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - (x + 2) (x + 1)$ .

Rozwiązanie:

Wzór funkcji jest zapisany w postaci iloczynowej, zatem miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 2$ oraz $- 1$ .

Ponieważ $a = - 1 < 0$ , zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wykorzystamy wzór $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ , gdzie $x_{1}, x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji.

Zatem $p = \frac{- 2 + (- 1)}{2} = - \frac{3}{2}$ .

Współrzędna $q$ wierzchołka paraboli wynosi:

$q = f (- \frac{3}{2}) = - (- \frac{3}{2} + 2) (- \frac{3}{2} + 1) = \frac{1}{4}$

Druga współrzędna punktu przecięcia tej paraboli z osią $Y$ wynosi:

$f (0) = - (0 + 2) (0 + 1) = - 2$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 2)$ .

Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

RLHhJKVLj7bLQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias minus trzy drugie średnik jedna czwarta koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu. Wykres przecina także pionową oś Y w punkcie nawias zero średnik minus dwa koniec nawiasu.

Jeżeli mamy określone różne własności funkcji kwadratowej, wówczas bez korzystania ze wzoru możemy naszkicować wykres tej funkcji.

Przykład 4

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli wiadomo, że:

miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$ ,
wartość największa funkcji wynosi $6$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość największą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do dołu.

Zauważmy, że współrzędna $p$ wierzchołka tej paraboli wynosi:

$p = \frac{0 + 4}{2} = 2$ .

W przypadku funkcji kwadratowej wartość największa lub najmniejsza jest osiągana w wierzchołku, zatem wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne $(2, 6)$ .

Jeżeli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $0$ oraz $4$ , zatem do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(0, 0)$ oraz $(4, 0)$ .

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RCjN9Xw6mnUKK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do sześciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias dwa średnik zero koniec nawiasu.

Przykład 5

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów należących do przedziału $(- 1, 3)$ ,
wartość najmniejsza tej funkcji wynosi $- 4$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja osiąga wartość najmniejszą, to ramiona wykresu tej funkcji są skierowane do góry.

Zauważmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $- 1$ oraz $3$ .

Zatem współrzędna $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wynosi $p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ .

Czyli wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(1, - 4)$ oraz do paraboli należą punkty o współrzędnych $(- 1, 0)$ oraz $(3, 0)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1GSdB9GMJAzt

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik minus cztery koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu oraz w punkcie nawias trzy średnik zero koniec nawiasu.

Jeżeli wybierzemy dwa argumenty, które leżą w równej odległości od pierwszej współrzędnej wierzchołka $p$ , to wartość tej funkcji dla tych argumentów będzie taka sama.

Wynika to z faktu, że prosta o równaniu $x = p$ jest osią symetrii każdej paraboli.

Przykład 6

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej, jeżeli:

funkcja jest określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ ,
współrzędna $p$ wierzchołka wynosi $2$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a < 0$ , zatem ramiona paraboli, będącej wykresem tej funkcji są skierowane do dołu.

Obliczamy współrzędną $q$ wierzchołka paraboli:

$q = f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 + 1 = - 4 + 8 + 1 = 5$ .

Zatem wierzchołek wykresu tej funkcji ma współrzędne $(2, 5)$ .

Zauważmy, że $f (1) = f (3) = 4$ , zatem do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(1, 4)$ oraz $(3, 4)$ .

Punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 1)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RJ0kxyJqaVdK9

Przykład 7

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = |x^{2} - 4 x|$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f$ :

$|x^{2} - 4 x| = 0$

$x^{2} - 4 x = 0$

$x (x - 4) = 0$

Zatem miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $0$ oraz $4$ .

Wobec tego do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(0, 0)$ oraz $(4, 0)$ .

Zauważmy, że $f (x) = |x^{2} - 4 x| = |{(x - 2)}^{2} - 4|$ .

Wprowadźmy pomocniczą funkcję $g$ . Wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $g (x) = {(x - 2)}^{2} - 4$ jest punkt o współrzędnych $(2, - 4)$ .

Zauważmy, że $f (x) = |g (x)|$ , zatem do narysowania wykresu funkcji $f$ wystarczy naszkicować wykres funkcji $g$ , a następnie odbić tę część wykresu, która znajduje się pod osią $X$ względem tej osi.

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R16PIKbvKRcBY

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do siedmiu oraz pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji g jest parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi do góry. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe, pierwsze w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz drugie w punkcie nawias cztery średnik zero koniec nawiasu. Wykres funkcji f jest odbiciem wykresu funkcji g znajdującego się pod osią x względem poziomej osi x. Dzięki czemu powstała nowa parabola z wierzchołkiem w punkcie nawias dwa średnik cztery koniec nawiasami i z ramionami skierowanymi w dół w przedziale od zera do czterech po czym ramiona odbijają się od osi X.

Przykład 8

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = (|x| - 3)^{2}$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$f (x) = {(|x| - 3)}^{2} = {\begin{cases} (- x - 3)^{2}, x \in (- \infty, 0) \\ {(x - 3)}^{2}, x \in ⟨0, \infty) \end{cases}$

Wobec tego wystarczy w jednym układzie współrzędnych naszkicować wykresy funkcji $y = (x + 3)^{2}$ oraz $y = (x - 3)^{2}$ , a następnie aby otrzymać wykres funkcji $f$ należy wybrać odpowiednie fragmenty tych wykresów.

Zatem wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R1CMoEwPldnhr

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do dziesięciu. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji kwadratowych będącymi parabolami. Wykres pierwszej funkcji posiada wierzchołek w punkcie nawias minus trzy średnik zero koniec nawiasu i posiada ramiona skierowane do góry. Wykres drugiej funkcji posiada wierzchołek w punkcie nawias trzy średnik zero koniec nawiasu i posiada ramiona skierowane do góry. Obie funkcje łączą się w punkcie nawias zero średnik dziewięć koniec nawiasu przez co powstaje kształt litery W.

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

parabola

krzywa stożkowa, będąca zbiorem punktów równo odległych od prostej zwanej kierownicą paraboli i punktu nazywanego ogniskiem paraboli

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik