Przeczytaj
Kwadrat sumy
Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, możemy otrzymać wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń.
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń.
Kwadrat sumy trzech wyrażeń , , jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów , , .
Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń można stosować, przekształcając wyrażenia algebraiczne czy w dowodach nierówności.
Wykażemy, że jeśli , , to .
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeń
Ponieważ , , , zatem .
Stąd:
Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , , zachodzi nierówność .
Rozwiązanie:
Oznaczmy przez różnicę wyrażeń z lewej i prawej strony nierówności.
Wykażemy, że ta różnica jest nieujemna.
Wykonujemy wskazane działania (korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń).
Redukujemy wyrazy podobne.
Przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby zapisać sumę w postaci sumy trzech kwadratów – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Suma kwadratów jest zawsze nieujemna.
Rozpatrywana nierówność jest prawdziwa.
Rozwiążemy równanie , jeśli .
Rozwiązanie:
W mianowniku ułamka wykonujemy wskazane działania.
Przekształcamy wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń, pamiętając, że .
Powracamy do równania – wykorzystujemy powyższą zależność w mianowniku ułamka.
Skracamy.
Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego raz jeszcze
Rozwiążemy teraz kilka zadań, wykorzystując znane już własności wynikające ze wzorów skróconego mnożenia.
Uzasadnimy, że dla nieujemnych liczb , prawdziwa jest nierówność .
Rozwiązanie:
Obie strony dowodzonej nierówności są nieujemne, zatem rozpatrywana nierówność jest równoważna nierówności
Stąd:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy
Nierówność otrzymana jest prawdziwa i równoważna dowodzonej nierówności.
Zatem dowodzona nierówność jest prawdziwa, co należało dowieść.
Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba jest kwadratem liczby całkowitej.
Rozwiązanie:
Przekształcamy wyrażenie określające liczbę .
Liczba jest więc kwadratem liczby .
Znajdziemy sumę liczb , , wiedząc, że , , .
Rozwiązanie:
Dodajemy stronami zapisane równości.
Sprowadzamy lewą stronę równości do wspólnego mianownika.
Licznik zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia).
Ułamek jest równy , jeżeli jego licznik jest równy .
Suma liczb , , jest równa .
Słownik
kwadrat sumy trzech wyrażeń , , jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów , ,