Przeczytaj

Kwadrat sumy

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, możemy otrzymać wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = {[(a + b) + c]}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 \cdot (a + b) \cdot c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$ .

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń można stosować, przekształcając wyrażenia algebraiczne czy w dowodach nierówności.

Przykład 1

Wykażemy, że jeśli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ to ${(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeń

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} = a + b + c + 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c}

Ponieważ $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , zatem $a + b + c > 0$ .

Stąd:

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}

Przykład 2

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $M$ różnicę wyrażeń z lewej i prawej strony nierówności.

Wykażemy, że ta różnica jest nieujemna.

M = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - {(a + b + c)}^{2}

Wykonujemy wskazane działania (korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń).

M = 3 a^{2} + 3 b^{2} + 3 c^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c)

Redukujemy wyrazy podobne.

M = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c

Przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby zapisać sumę w postaci sumy trzech kwadratów – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

M = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}

Suma kwadratów jest zawsze nieujemna.

M = {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0

Rozpatrywana nierówność jest prawdziwa.

M \geq 0

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}} - \frac{1}{2} x = 0$ , jeśli $x + y + z = 0$ .

Rozwiązanie:

W mianowniku ułamka wykonujemy wskazane działania.

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 x z + x^{2}} - \frac{1}{2} x = 0

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (2 x y + 2 y z + 2 x z)} - \frac{1}{2} x = 0

Przekształcamy wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń, pamiętając, że $x + y + z = 0$ .

{(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 z y

0 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 z y

x^{2} + y^{2} + z^{2} = - (2 x y + 2 x z + 2 z y)

Powracamy do równania – wykorzystujemy powyższą zależność w mianowniku ułamka.

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (x^{2} + y^{2} + z^{2})} - \frac{1}{2} x = 0

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})} - \frac{1}{2} x = 0

Skracamy.

\frac{1}{3} - \frac{1}{2} x = 0

x = \frac{2}{3}

Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego raz jeszcze

Rozwiążemy teraz kilka zadań, wykorzystując znane już własności wynikające ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 4

Uzasadnimy, że dla nieujemnych liczb $a$ , $b$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 (a + b)}$ .

Rozwiązanie:

Obie strony dowodzonej nierówności są nieujemne, zatem rozpatrywana nierówność jest równoważna nierówności

{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \leq 2 (a + b)

Stąd:

2 \sqrt{a b} \leq 2 a + 2 b - a - b

2 \sqrt{a b} \leq a + b

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy

a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0

{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0

Nierówność otrzymana jest prawdziwa i równoważna dowodzonej nierówności.

Zatem dowodzona nierówność jest prawdziwa, co należało dowieść.

Przykład 5

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie:

Przekształcamy wyrażenie określające liczbę $K$ .

K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64 = {(4^{n})}^{2} - 2 \cdot 4^{n} \cdot 2^{3} + 8^{2} = {(4^{n} - 8)}^{2}

Liczba $K$ jest więc kwadratem liczby $4^{n} - 8$ .

Przykład 6

Znajdziemy sumę liczb $a$ , $b$ , $c$ wiedząc, że $\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} = 0$ , $\frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} = 0$ , $\frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0$ .

Rozwiązanie:

Dodajemy stronami zapisane równości.

\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} = 0

\frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} = 0

\frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0

\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} + \frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} + \frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0

Sprowadzamy lewą stronę równości do wspólnego mianownika.

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c}{2 a b c} = 0

Licznik zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia).

\frac{{(a + b + c)}^{2}}{2 a b c} = 0

Ułamek jest równy $0$ , jeżeli jego licznik jest równy $0$ .

a + b + c = 0

Suma liczb $a$ , $b$ , $c$ jest równa $0$ .

Słownik

kwadrat sumy trzech wyrażeń

kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Kwadrat sumy

Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego raz jeszcze

Słownik