Przeczytaj

Funkcję wykładniczą zapisujemy w postaci $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a > 0$ i $a \neq 1$ .

W materiale omówimy monotoniczność funkcji wykładniczej. Przypomnimy pozostałe własności tej funkcji, które będziemy wykorzystywać w rozwiązywaniu przykładów oraz ćwiczeń.

Własności funkcji wykładniczej:

dziedziną funkcji jest zbiór $x \in ℝ$ ,
zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich $y \in (0, \infty)$ ,
wykresem tej funkcji jest krzywa, która przechodzi przez punkt $(0, 1)$ ,
funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych,
asymptotą jej wykresu jest prosta $y = 0$ ,
jest różnowartościowa,
jest monotonicznamonotoniczność funkcji wykładniczejmonotoniczna.

Monotoniczność funkcji wykładniczejmonotoniczność funkcji wykładniczejMonotoniczność funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ zależy od współczynnika $a$ . Jeżeli:

$a \in (0, 1)$ , to funkcja jest malejąca,
$a \in (1, \infty)$ , to funkcja jest rosnąca.

Przykład 1

Które z wymienionych funkcji są malejące, a które rosnące?

$f_{1} (x) = {(\frac{2}{5})}^{x}$ , $f_{2} (x) = {(\frac{4}{π})}^{x}$ , $f_{3} (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x}$ , $f_{4} (x) = {(π - 3)}^{x}$ , $f_{5} (x) = {(\frac{5}{\sqrt{3}})}^{x}$ .

Funkcje malejące to: $f_{1} (x)$ , $f_{3} (x)$ , $f_{4} (x)$ .

Funkcje rosnące to: $f_{2} (x)$ , $f_{5} (x)$ .

Ważne!

Wykorzystując monotoniczność funkcji wykładniczej, możemy uporządkować skończony zbiór potęg.

Przykład 2

Uporządkujmy podane liczby w kolejności rosnącej:

$32^{8}$ , $16^{9}$ , $256^{4}$ , ${(\frac{1}{64})}^{- 3}$ .

Zauważmy, że każdą liczbę można zapisać w postaci potęgi liczby 2.

Otrzymujemy, że:

$32^{8} = 2^{40}$

$16^{9} = 2^{36}$

$256^{4} = 2^{32}$

${(\frac{1}{64})}^{- 3} = 2^{18}$ .

Otrzymane liczby to wartości funkcji wykładniczej $f (x) = 2^{x}$ .

Funkcja ta jest rosnąca, zatem z jej monotoniczności wynika, że:

$2^{18} < 2^{32} < 2^{36} < 2^{40}$ .

Odpowiadające im wartości to:

${(\frac{1}{64})}^{- 3} < 256^{4} < 16^{9} < 32^{8}$ .

Ważne!

Dla $f (x) = a^{x}$ , $a \in (1, \infty)$ , $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ zachodzi następująca własność:

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ .

Dowód:

Załóżmy, że $x_{1} < x_{2}$ , zatem $x_{1} - x_{2} < 0$ .

Ponieważ funkcja $f$ jest rosnąca, zatem $a^{x_{1} - x_{2}} < a^{0}$ .

Po przekształceniu tej nierówności mamy, że $a^{x_{1} - x_{2}} < 1$ .

Korzystając z własności potęg, nierówność możemy zapisać w postaci $\frac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}} < 1$ .

Wiadomo, że $a^{x} > 0$ , zatem po pomnożeniu obu stron nierówności $\frac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}} < 1$ przez $a^{x_{2}}$ , otrzymujemy, że $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ .

Przykład 3

Uporządkujmy podane liczby rosnąco:

${(\frac{2}{3})}^{5}$ , ${(\frac{9}{4})}^{- 6}$ , ${(\frac{8}{27})}^{5}$ , ${(\frac{3}{2})}^{- 10}$ .

Zauważmy, że każdą z liczb można zapisać w postaci potęgi liczby $\frac{2}{3}$ .

Otrzymujemy, że:

${(\frac{9}{4})}^{- 6} = {(\frac{2}{3})}^{12}$ ,

${(\frac{8}{27})}^{5} = {(\frac{2}{3})}^{15}$ ,

${(\frac{3}{2})}^{- 10} = {(\frac{2}{3})}^{10}$ .

Otrzymane liczby to wartości funkcji wykładniczej $f (x) = {(\frac{2}{3})}^{x}$ .

Funkcja ta jest malejąca, zatem z jej monotoniczności wynika, że:

${(\frac{2}{3})}^{15} < {(\frac{2}{3})}^{12} < {(\frac{2}{3})}^{10} < {(\frac{2}{3})}^{5}$ .

Odpowiadające im wartości to:

${(\frac{8}{27})}^{5} < {(\frac{9}{4})}^{- 6} < {(\frac{3}{2})}^{- 10} < {(\frac{2}{3})}^{5}$ .

Ważne!

Dla $f (x) = a^{x}$ , $a \in (0, 1)$ , $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ zachodzi następująca własność:

$a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ .

Dowód:

Załóżmy, że $x_{1} < x_{2}$ , zatem $x_{1} - x_{2} < 0$ .

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca, zatem $a^{x_{1} - x_{2}} > a^{0}$ .

Po przekształceniu tej nierówności mamy, że $a^{x_{1} - x_{2}} > 1$ .

Korzystając z własności potęg, nierówność możemy zapisać w postaci $\frac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}} > 1$ .

Wiadomo, że $a^{x} > 0$ , zatem po pomnożeniu obu stron nierówności $\frac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}} > 1$ przez $a^{x_{2}}$ , otrzymujemy, że $a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f (x) = {(\frac{1}{5})}^{x}$ , jeżeli jej dziedziną jest przedział $⟨ - 3, 4 ⟩$ .

Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, zatem wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału.

$f (- 3) = {(\frac{1}{5})}^{- 3} = 5^{3} = 125$ ,

$f (4) = {(\frac{1}{5})}^{4} = \frac{1}{625}$ .

Zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨ \frac{1}{625}, 125 ⟩$ .

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja $f (x) = {(\frac{3}{4})}^{x}$ przyjmuje wartości z przedziału $⟨ \frac{27}{64}, \frac{16}{9} ⟩$ .

Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, zatem wystarczy obliczyć dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości podane na końcach przedziału.

Rozwiązujemy równania:

${(\frac{3}{4})}^{x} = \frac{27}{64}$ , zatem $x = 3$ ,

${(\frac{3}{4})}^{x} = \frac{16}{9}$ , zatem $x = - 2$ .

Funkcja przyjmuje wartości z przedziału $⟨ \frac{27}{64}, \frac{16}{9} ⟩$ dla argumentów należących do przedziału $⟨ - 2, 3 ⟩$ .

Monotoniczność funkcji wykładniczej wykorzystuje się do rozwiązywania nierówności wykładniczych.

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja $f (x) = {(\frac{2}{5})}^{x + 2}$ przyjmuje wartości nie większe niż $\frac{25}{4}$ .

W celu wyznaczenia zbioru argumentów wystarczy rozwiązać nierówność: ${(\frac{2}{5})}^{x + 2} \leq \frac{25}{4}$ .

Po przekształceniu obu stron nierówności do tej samej podstawy otrzymujemy: ${(\frac{2}{5})}^{x + 2} \leq {(\frac{2}{5})}^{- 2}$ .

Z faktu, że funkcja wykładnicza dla $a \in (0, 1)$ jest malejąca zachodzi nierówność: $x + 2 \geq - 2$ , czyli $x \geq - 4$ .

Zatem $x \in ⟨ - 4, \infty)$ .

Słownik

monotoniczność funkcji wykładniczej

$f (x) = a^{x}$ jest malejąca dla $a \in (0, 1)$ , rosnąca dla $a \in (1, \infty)$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik