Przeczytaj
Funkcję wykładniczą zapisujemy w postaci , gdzie i .
W materiale omówimy monotoniczność funkcji wykładniczej. Przypomnimy pozostałe własności tej funkcji, które będziemy wykorzystywać w rozwiązywaniu przykładów oraz ćwiczeń.
Własności funkcji wykładniczej:
dziedziną funkcji jest zbiór ,
zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich ,
wykresem tej funkcji jest krzywa, która przechodzi przez punkt ,
funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych,
asymptotą jej wykresu jest prosta ,
jest różnowartościowa,
jest monotonicznamonotoniczna.
Monotoniczność funkcji wykładniczejMonotoniczność funkcji wykładniczej zależy od współczynnika . Jeżeli:
, to funkcja jest malejąca,
, to funkcja jest rosnąca.
Które z wymienionych funkcji są malejące, a które rosnące?
, , , , .
Funkcje malejące to: , , .
Funkcje rosnące to: , .
Wykorzystując monotoniczność funkcji wykładniczej, możemy uporządkować skończony zbiór potęg.
Uporządkujmy podane liczby w kolejności rosnącej:
, , , .
Zauważmy, że każdą liczbę można zapisać w postaci potęgi liczby 2.
Otrzymujemy, że:
.
Otrzymane liczby to wartości funkcji wykładniczej .
Funkcja ta jest rosnąca, zatem z jej monotoniczności wynika, że:
.
Odpowiadające im wartości to:
.
Dla , , oraz zachodzi następująca własność:
.
Dowód:
Załóżmy, że , zatem .
Ponieważ funkcja jest rosnąca, zatem .
Po przekształceniu tej nierówności mamy, że .
Korzystając z własności potęg, nierówność możemy zapisać w postaci .
Wiadomo, że , zatem po pomnożeniu obu stron nierówności przez , otrzymujemy, że .
Uporządkujmy podane liczby rosnąco:
, , , .
Zauważmy, że każdą z liczb można zapisać w postaci potęgi liczby .
Otrzymujemy, że:
,
,
.
Otrzymane liczby to wartości funkcji wykładniczej .
Funkcja ta jest malejąca, zatem z jej monotoniczności wynika, że:
.
Odpowiadające im wartości to:
.
Dla , , oraz zachodzi następująca własność:
.
Dowód:
Załóżmy, że , zatem .
Ponieważ funkcja jest malejąca, zatem .
Po przekształceniu tej nierówności mamy, że .
Korzystając z własności potęg, nierówność możemy zapisać w postaci .
Wiadomo, że , zatem po pomnożeniu obu stron nierówności przez , otrzymujemy, że .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji , jeżeli jej dziedziną jest przedział .
Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, zatem wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału.
,
.
Zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .
Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości z przedziału .
Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, zatem wystarczy obliczyć dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości podane na końcach przedziału.
Rozwiązujemy równania:
, zatem ,
, zatem .
Funkcja przyjmuje wartości z przedziału dla argumentów należących do przedziału .
Monotoniczność funkcji wykładniczej wykorzystuje się do rozwiązywania nierówności wykładniczych.
Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nie większe niż .
W celu wyznaczenia zbioru argumentów wystarczy rozwiązać nierówność: .
Po przekształceniu obu stron nierówności do tej samej podstawy otrzymujemy: .
Z faktu, że funkcja wykładnicza dla jest malejąca zachodzi nierówność: , czyli .
Zatem .
Słownik
jest malejąca dla , rosnąca dla