Przeczytaj

Już wiesz, że między funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów zachodzą pewne związki. Poznałeś wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów $\frac{π}{2} + α$ i $\frac{π}{2} - α$ . Posłużymy się nimi w tym materiale.

Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych:

Funkcje trygonometryczne

Definicja: Funkcje trygonometryczne

Niech $P (x, y)$ będzie dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanegokąt skierowanykąta skierowanego $α$ .

R15sy2POdzQG8

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. W pierwszej ćwiartce układu zaznaczono punkt P=x, y. Z początku układu współrzędnych poprowadzono półprostą przebiegającą przez punkt P. Od dodatniej półosi OX poprowadzono strzałkę biegnącą po łuku do półprostej. Strzałka oznacza kąt alfa.

Przy oznaczeniach jak na rysunku mamy:

|O P| = r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\sin α = \frac{y}{r}

\cos α = \frac{x}{r}

tg α = \frac{y}{x}, x \neq 0

Wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych oraz wzory redukcyjne dla kątów $\frac{π}{2} + α$ , udowodnimy poniższe twierdzenie.

wzory redukcyjne dla kąta

(\frac{3 π}{2} - α)

Twierdzenie: wzory redukcyjne dla kąta

(\frac{3 π}{2} - α)

Dla dowolnego kąta $α$ :

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α$ ,

$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = - \sin α$ ,

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ ,

Dowód

Dla dowolnego kąta $α$ prawdziwe są zależności:

$\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α$ ,

$\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$ ,

$tg (\frac{π}{2} + α) = - \frac{1}{tg α}$ ,

Rozważmy kąty: $(\frac{3 π}{2} - α)$ i $(\frac{π}{2} + α)$ . Oznaczmy kąt $(\frac{π}{2} + α)$ przez $β$ .

RlkuhPcYclbvC

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. W drugiej ćwiartce układu zaznaczono punkt P=x, y. Z początku układu współrzędnych poprowadzono półprostą przebiegającą przez punkt P. Od dodatniej półosi OX poprowadzono strzałkę biegnącą po łuku do półprostej. Strzałka zatoczyła kąt beta, który jest kątem rozwartym. W trzeciej ćwiartce układu zaznaczono punkt P’=x’, y’. Z początku układu współrzędnych poprowadzono półprostą przebiegającą przez punkt P prim. Od dodatniej półosi OX poprowadzono strzałkę biegnącą po łuku do półprostej przechodzącej przez punkt P prim. Strzałka zatoczyła kąt wypukły, czyli większy, niż pi. Między tą półprostą a ujemną półosią OY zaznaczono strzałkę biegnącą po łuku. Strzałka wyznacza kąt ostry alfa.

β = \frac{π}{2} + α

Zauważmy, że punkty $P (x, y)$ i $P' (x', y')$ są symetryczne względem osi $Y$ .

Zatem $x' = x$ , natomiast $y' = - y$ . Stąd:

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{y'}{r} = \frac{- y}{r} = - \sin β = - \sin (\frac{π}{2} + α) = - \cos α$

$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{x'}{r} = \frac{x}{r} = \cos β = \cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{y'}{x'} = \frac{- y}{x} = - tg β = - tg (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{tg α}$

Udowodniliśmy tym samym sformułowane wcześniej twierdzenie.

Zauważmy, że wyprowadzając wzór $tg (\frac{3 π}{2} - α)$ , mogliśmy zastosować poznany wcześniej związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Podstawiając, otrzymamy:

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} = \frac{- \cos α}{- \sin α} = \frac{1}{tg α}$

Można też dowodzić tego twierdzenia w następujący sposób.

$\sin (\frac{3 π}{2} - α) = \sin (π + \frac{π}{2} - α) = - \sin (\frac{π}{2} - α) = - \cos α$

$\cos (\frac{3 π}{2} - α) = \cos (π + \frac{π}{2} - α) = - \cos (\frac{π}{2} - α) = - \sin α$

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = tg (π + \frac{π}{2} - α) = tg (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$

Wykorzystaliśmy tu wzory redukcyjne:

$\sin (π + α) = - \sin α$ ,

$\cos (π + α) = - \cos α$ ,

$tg (π + α) = tg α$ , o ile tangens $α$ istnieje

oraz

$\sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$ ,

$\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$ ,

$tg (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{tg α}$ .

Przykład 1

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\frac{4 π}{3}$ .

Wykorzystamy wyprowadzone powyżej wzory.

$I$ sposób

Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ otrzymujemy:

$\sin \frac{4 π}{3} = \sin \frac{8 π}{6} = \sin \frac{9 π - π}{6} = \sin (\frac{9 π}{6} - \frac{π}{6}) = \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{8 π}{6} = \cos \frac{9 π - π}{6} = \cos (\frac{9 π}{6} - \frac{π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = \frac{- 1}{2}$

$tg \frac{4 π}{3} = tg (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{1}{tg \frac{π}{6}} = \sqrt{3}$

$II$ sposób

Możemy również wykorzystać wzory redukcyjnewzory redukcyjnewzory redukcyjne dla kątów $π + α$ .

$\sin \frac{4 π}{3} = \sin \frac{3 π + π}{3} = \sin (π + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{3 π + π}{3} = \cos (π + \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = \frac{- 1}{2}$

$tg \frac{4 π}{3} = tg (π + \frac{π}{3}) = tg \frac{π}{3} = \sqrt{3}$

Przykład 2

Zapiszemy wyrażenie w możliwie najprostszej postaci $\sin^{2} 15 ° + 2 \cdot \sin 15 ° \cdot \cos 255 ° + \cos^{2} 255 °$ .

Zauważamy, że $255 ° = 270 ° - 15 °$ , zatem:

$\sin^{2} 15 ° + 2 \cdot \sin 15 ° \cdot \cos 255 ° + \cos^{2} 255 ° =$

$= \sin^{2} 15 ° + 2 \cdot \sin 15 ° \cdot \cos (270 ° - 15 °) + \cos^{2} (270 ° - 15 °) =$

$= \sin^{2} 15 ° + 2 \cdot \sin 15 ° \cdot (- \sin 15 °) + {(- \sin 15 °)}^{2} =$

$= \sin^{2} 15 ° - 2 \cdot \sin 15 ° \cdot \sin 15 ° + \sin^{2} 15 ° =$

$= \sin^{2} 15 ° - 2 \cdot \sin^{2} 15 ° + \sin^{2} 15 ° = 2 \cdot \sin^{2} 15 ° - 2 \cdot \sin^{2} 15 ° = 0$

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{\sin \frac{7 π}{6}}{\cos \frac{5 π}{4} + 1}$ .

$I$ sposób

Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ otrzymujemy:

$\frac{\sin \frac{7 π}{6}}{\cos \frac{5 π}{4} + 1} = \frac{\sin \frac{9 π - 2 π}{6}}{\cos \frac{6 π - π}{4} + 1} = \frac{\sin (\frac{9 π}{6} - \frac{2 π}{6})}{\cos (\frac{6 π}{4} - \frac{π}{4}) + 1} = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{3})}{\cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}) + 1} = \frac{- \cos \frac{π}{3}}{- \sin \frac{π}{4} + 1} =$

$= \frac{\frac{- 1}{2}}{\frac{- \sqrt{2}}{2} + 1} = \frac{\frac{- 1}{2}}{\frac{- \sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2}} = \frac{\frac{- 1}{2}}{\frac{- \sqrt{2} + 2}{2}} = \frac{- 1}{- \sqrt{2} + 2} = \frac{- (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})} = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{2}$

Usunęliśmy niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek

$\frac{- 1}{- \sqrt{2} + 2} = \frac{- (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$

i zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ :

$(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2}) = 2^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 4 - 2 = 2$ .

$II$ sposób

Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla kątów $π + α$ mamy:

$\frac{\sin \frac{7 π}{6}}{\cos \frac{5 π}{4} + 1} = \frac{\sin \frac{6 π + π}{6}}{\cos \frac{4 π + π}{4} + 1} = \frac{\sin (\frac{6 π}{6} + \frac{π}{6})}{\cos (\frac{4 π}{4} + \frac{π}{4}) + 1} = \frac{\sin (π + \frac{π}{6})}{\cos (π + \frac{π}{4}) + 1} = \frac{- \sin \frac{π}{6}}{- \cos \frac{π}{4} + 1} =$

$= \frac{\frac{- 1}{2}}{\frac{- \sqrt{2}}{2} + 1} = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Przykład 4

Udowodnimy tożsamość: $- \sin (\frac{3 π}{2} - α) - \frac{1}{\cos α} = \frac{1}{tg (\frac{3 π}{2} - α)} \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - α)$

Przekształcimy najpierw lewą stronę równości: $- \sin (\frac{3 π}{2} - α) - \frac{1}{\cos α} = - (- \cos α) - \frac{1}{\cos α} = \cos α - \frac{1}{\cos α} =$
$= \frac{\cos^{2} α - 1}{\cos α} = \frac{- (1 - \cos^{2} α)}{\cos α} = \frac{- \sin^{2} α}{\cos α} = \frac{- \sin α}{\cos α} \cdot \sin α = - tg α \cdot \sin α$ .

Przekształcimy teraz drugą stronę równości: $\frac{1}{tg (\frac{3 π}{2} - α)} \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{1}{\frac{1}{tg α}} \cdot (- \sin α) = - tg α \cdot \sin α$

Ponieważ lewa strona równości jest równa stronie prawej, to równość jest tożsamością.

Słownik

wzory redukcyjne

wzory pozwalające wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta $α$ za pomocą wartości funkcji kąta ostrego

kąt skierowany

para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego

Wprowadzenie

Animacja

Słownik