Mamy: $\sin \frac{7\pi }{6}=\sin \left(\frac{9\pi -2\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{2\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

$\cos \frac{4\pi }{3}=\cos \frac{8\pi }{6}=\cos \left(\frac{9\pi -\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$

$tg\frac{5\pi }{4}=tg\left(\frac{6\pi -\pi }{4}\right)=tg\left(\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=ctg\frac{\pi }{4}=1$

Zatem: $\frac{\sin \frac{7\pi }{6}-4{\cos }^2\frac{4\pi }{3}}{-2{tg}^2\frac{5\pi }{4}}=\frac{-\frac{1}{2}-4{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}{-2·1^2}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-2}=\frac{-\frac{3}{2}}{-2}=\frac{3}{4}$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $\frac{3}{4}$.

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę. Wykorzystamy związki:

$\frac{1}{tg\alpha }=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ i $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$

oraz wzór skróconego mnożenia: $\left(\left(a+b\right)·a-b\right)=a^2-b^2$.

$L=\left(\frac{-1}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)}+tg\left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\right)\left(1+\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\right)=$

$=\left(\frac{-1}{-\sin \alpha }+\frac{1}{tg\alpha }\right)\left(1-\cos \alpha \right)=\left(\frac{1}{\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)\left(1-\cos \alpha \right)=$

$=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }\left(1-\cos \alpha \right)=\frac{\left(1+\cos \alpha \right)\left(1-\cos \alpha \right)}{\sin \alpha }=\frac{1^2-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha }=\sin \alpha =P$

Ponieważ przekształcając lewą stronę równości, doprowadziliśmy do strony prawej, więc równość jest prawdziwa.