Basen o pojemności $2100$ litrów napełniany jest zwykle  wodą w ciągu $5$ godzin. Czynność ta trwała $6$ godzin, gdy roztargniony pracownik nie zamknął rury odpływowej. Obliczymy, jaka jest wydajność rurywydajność rurywydajność rury dopływowej, a jaka odpływowej.

Rozwiązanie

R1bzxK2JUpHzi1

Ilustracja

Wyznaczymy wydajność $\frac{V}{t}$ każdej rury (w litrach na godzinę), gdzie $V$ jest objętością basenu, a $t$ – czasem napełnienia/opróżnienia basenu.

Wydajność rury dopływowej (przy zamkniętym odpływie): $\frac{2100}{5}=420$ litrów na godzinę.

Wydajność rury dopływowej (przy otwartym odpływie): $\frac{2100}{6}=350$ litrów na godzinę.

Wydajność rury odpływowej: $420-350=70$ litrów na godzinę.

Zatem wydajność rury dopływowej to $420$ litrów na godzinę, a rury odpływowej: $70$ litrów na godzinę.

Zbiornik możemy napełnić wodą przy użyciu dwóch kranów. Potrzebujemy na to $15$ minut. Napełnienie tego zbiornika wodą wypływającą tylko z pierwszego kranu trwa $40$ minut. Obliczymy, ile czasu potrwa napełnianie zbiornika przy użyciu tylko drugiego kranu.

Rozwiązanie

R1e1BLXPObWEa1

Ilustracja

Wprowadzamy oznaczenia:

$V$ - objętość basenu, $V>0$;

$t$ - czas (w godzinach)  napełniania basenu tylko przez drugi kran, $t>0$.

Układamy równanie:

$\frac{V}{\frac{2}{3}}+\frac{V}{t}=\frac{V}{\frac{1}{4}}$

Równanie dzielimy obustronnie przez $V$:

$\frac{1}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{t}=\frac{1}{\frac{1}{4}}$

$\frac{3}{2}+\frac{1}{t}=4$

$\frac{1}{t}=4- \frac{3}{2}$

$\frac{1}{t}= \frac{5}{2}$

$t=\frac{2}{5}$

Napełnianie zbiornika przy użyciu tylko drugiego kranu potrwa $24$ minuty.

Woda doprowadzana jest do basenu dwoma wężami ogrodowymi. Kiedy działają razem, napełniają basen w ciągu $12$ minut. Woda wypływająca z pierwszego  z węży napełnia ten basen o $10$ minut krócej, niż woda wypływająca z drugiego węża. Ile czasu potrzeba na napełnienie basenu każdym wężem osobno?

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia:

$V$ - objętość basenu, $V>0$;

$t$ - czas (w minutach) napełniania basenu tylko przez pierwszy wąż, $t>0$.

$t+10$ - czas (w minutach) napełniania basenu tylko przez drugi wąż.

Układamy równanie:

$\frac{{\displaystyle V}}{{\displaystyle t}}+\frac{{\displaystyle V}}{{\displaystyle t+10}}=\frac{{\displaystyle V}}{{\displaystyle 12}}$

Równanie dzielimy obustronnie przez $V$:

$\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t}}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle t+10}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 12}}$.

Mnożymy obustronnie równanie przez: $12t·\left(t+10\right)$:

$t·\left(t+10\right)=12\left(t+10\right)+12t$

$t^2+10t=12t+120+12t$

$t^2-14t-120=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$∆=196-4·1·\left(-120\right)=196+480=676$

$\sqrt{∆}=26$

$t_1=\frac{14-26}{2}=-6$ lub $t_2=\frac{14+26}{2}=20$.

Pierwsze rozwiązanie równania nie spełnia warunków zadania (otrzymaliśmy liczbę ujemną), drugie rozwiązanie równania jest rozwiązaniem zadania, zatem na napełnienie basenu za pomocą  pierwszego węża potrzeba $20$ minut a na napełnienie basenu za pomocą  drugiego węża potrzeba $30$ minut.

Większa pompa opróżnia basen z wody w ciągu $5$ godzin. Mniejsza pompa opróżnia basen w ciągu $8$ godzin. Właściciel włączył większą pompę o godzinie $8^{00}$. Obliczymy, o której godzinie powinien włączyć mniejszą pompę, jeśli zbiornik ma być opróżniony o godzinie ${12}^{00}$.

Rozwiązanie

RhNIr5mJbWYZM1

Ilustracja

Wprowadzamy oznaczenia:

$V$ - objętość basenu, $V>0$;

$t$ - czas pracy małej pompy, wyrażony w godzinach, $t>0$;

$\frac{V}{5}$ - ilość wody, którą duża pompa  wypompuje  z basenu w czasie $1$ godziny;

$\frac{V}{5}·4=\frac{4V}{5}$ - ilość wody, którą duża pompa wypompuje  z basenu w czasie $4$ godzin (od $8^{00}$ do ${12}^{00}$);

$V-\frac{4V}{5}=\frac{V}{5}$ - ilość wody, którą mała pompa musi wypompować  z basenu;

$\frac{V}{8}$ - ilość wody, którą mała pompa  wypompuje  z basenu w czasie $1$ godziny;

$\frac{V}{8}·t$ - ilość wody, którą mała pompa wypompuje  z basenu w szukanym czasie.

Układamy równanie, wykorzystując pracę małej pompy:

$\frac{V}{8}·t=\frac{V}{5}$

Równanie dzielimy obustronnie przez $V$:

$\frac{t}{8} =\frac{1}{5}$

$t=\frac{8}{5}$

Jeżeli zbiornik ma być opróżniony do godziny ${12}^{00}$, właściciel powinien włączyć małą pompę o godzinie ${10}^{24}$.

Napełnienie zbiornika wodą wypływającą z dwóch rur jednocześnie trwa $4$ godziny. Gdyby napełniać go tylko za pomocą  jednej rury, to użycie mniejszej z nich oznaczałoby czas pracy o $6$ godzin dłuższy niż przy użyciu większej rury. Wyznaczymy czas nalewania wody z rury o większej wydajności.

Rozwiązanie

R15QoyCD2Mg1H1

Ilustracja

Wprowadzamy oznaczenia:

$V$ - objętość zbiornika, $V>0$;

$t$ - czas napełniania zbiornika rurą o większej wydajności, $t>0$;

$t+6$ - czas napełniania zbiornika rurą o mniejszej wydajności.

Układamy równanie:

$\frac{V}{t}+ \frac{V}{t+6}= \frac{V}{4}$

Równanie dzielimy obustronnie przez $V$:

$\frac{1}{t}+ \frac{1}{t+6}= \frac{1}{4}$

$\frac{t+6}{t(t+6)}+ \frac{t}{t(t+6)}= \frac{1}{4}$

$\frac{2t+6}{t(t+6)}= \frac{1}{4}$

Przekształcamy równanie do równania kwadratowego:

$4(2t+6)= t(t+6)$

$t^2-2t-24=0$

$∆={(-2)}^2-4·1·(-24)=100$; $\sqrt{∆}=10$

$t=\frac{2-10}{2}=-4$ lub $t=\frac{2+10}{2}=6$

Pierwsze rozwiązanie równania nie spełnia warunków zadania (otrzymaliśmy liczbę ujemną), drugie rozwiązanie równania jest rozwiązaniem zadania, zatem potrzebujemy $6$ godzin, aby napełnić zbiornik rurą o większej wydajności.

iloraz objętości napełnianego zbiornika przez czas jego napełniania wodą wypływajacą z   tej rury