Warto przeczytać

1. Poruszające się źródło fali

Bardzo często mamy do czynienia z sytuacją, kiedy źródło fali porusza się w stosunku do obserwatora. Najczęściej spotykanym w życiu przykładem takich fal są fale dźwiękowe docierające do nas od poruszających się pojazdów. Źródłem tych fal mogą być samoloty lub ptaki - niektóre z ptaków potrafią rozwinąć prędkość powyżej 100 km/h. Innym typem fal, których źródło porusza się względem nas, są fale elektromagnetyczne. Atomy rozgrzanego do czerwoności żelaza drgają ruchem termicznym równocześnie świecąc. Źródło fali światła może być także obiektem makroskopowym, na przykład oddalającą się od Ziemi galaktyką.

Ograniczymy nasze rozważania do sytuacji, gdy:

1. mamy do czynienia z jednorodnym ośrodkiem materialnym, w którym fala porusza się z prędkością $V$,

2. obserwator nie porusza się względem ośrodka, w którym fala się rozchodzi,

3. źródło drga ruchem harmonicznym o okresie $T$, czyli z częstotliwością $f=\frac{1}{T}$, a jednocześnie porusza się postępowym ruchem jednostajnym względem ośrodka z prędkością $v$.

2. Fala na wodzie, wytworzona przez poruszające się źródło

Rozpocznijmy od obserwacji fal na wodzie, wytwarzanych przez źródło, które porusza się ruchem jednostajnym.

Doświadczenie

Do doświadczenia potrzebne będą: płaskie naczynie z wodą (na przykład „blacha” z piekarnika), oświetlone z góry punktową żarówką, sztywny pręcik, na przykład długopis.

Doświadczenie wykonaj następująco:

1. Wzbudź kołową falę harmoniczną, „stukając” rytmicznie w powierzchnię wody w jednym punkcie.

2. Następnie wzbudź falę, „stukając” rytmicznie w powierzchnię wody, ale przesuwając jednocześnie rękę z pręcikiem ruchem jednostajnym wzdłuż prostej.

Porównaj fale powstające w obu przypadkach.

Wyniki podobnego doświadczenia przedstawiają Fot. 1a i 1b. Fala pobudzana była nie ręką, ale odpowiednim urządzeniem mechanicznym. Na Rys. 1a źródło fali było nieruchome. Strzałka na Rys. 1b wskazuje kierunek ruchu źródła.

R1TTIV8cGT9Jg

Rys. 1a. to czarno‑biała fotografia efektu rozchodzenia się na wodzie fal pochodzących od jednego źródła drgań (czarny element w centrum zdjęcia. Fale kuliste są emitowane we wszystkich kierunkach. W efekcie powstaje typowy obraz - koncentryczne okręgi, na przemian jasne i ciemne, rozchodzące się od źródła drgań.

RtIBaPQLDSEyW

Rys. 1b. to czarno‑biała fotografia efektu rozchodzenia się na wodzie fal pochodzących od jednego źródła drgań (czarny element w centrum zdjęcia. Fale kuliste są emitowane we wszystkich kierunkach. W efekcie powstaje typowy obraz - koncentryczne okręgi, na przemian jasne i ciemne, rozchodzące się od źródła drgań. Na tle zdjęcia widnieje biała strzałka wskazująca kierunek ruchu źródła. Wskutek ruchu źródła odległości miedzy okręgami nie są jednakowe - w górnej części jasne okręgi są bliżej siebie, co świadczy o zmniejszeniu długości fali w kierunku ruchu źródła.

W doświadczeniu obserwujemy, że fala powstająca w przypadku ruchomego źródła jest inna niż w przypadku źródła nieruchomego:

1. W przypadku a grzbiety fal tworzą układ okręgów ze środkami w jednym punkcie, czyli w miejscu pobudzającego falę źródła. Dlatego długość fali λlambda (odległość między kolejnymi szczytami) jest jednakowa dla wszystkich kierunków.

2. W przypadku b grzbiety fal też tworzą układ okręgów. Tym razem jednak środki tych okręgów znajdują się w różnych punktach, ponieważ pobudzające powierzchnię wody źródło poruszało się. Długość fali nie jest jednakowa dla wszystkich kierunków. Najmniejsza jest w obszarze przed poruszającym się źródłem, nazwijmy ją λlambdaIndeks dolny 1₁. Największa -  za poruszającym się źródłem: λlambdaIndeks dolny 2₂.

Wiąże się z tym efekt dodatkowy: częstotliwość rejestrowana przez obserwatora, zależna od długości odbieranej fali, w przypadku ruchomego źródła zależy od położenia obserwatora względem źródła. Największa jest na półprostej przed źródłem, nazwijmy ją fIndeks dolny 1₁. Najmniejsza na półprostej za źródłem, nazwijmy ją fIndeks dolny 2₂.

Zjawisko polegające na tym, że częstotliwość fali wytwarzanej przez poruszające się źródło jest na ogół inna niż częstotliwość fali wytwarzanej przez źródło nieruchome, nazywamy zjawiskiem Dopplera.

W praktyce najczęściej spotykamy efekt Doppleraefekt Doppleraefekt Dopplera dla fal dźwiękowych. Objawia się on następująco: jeżeli poruszające się z dostatecznie dużą prędkością v źródło dźwięku mija nieruchomego obserwatora, słyszy on wyraźnie obniżenie wysokości dźwięku.

3. Zmiana długości fali w zjawisku Dopplera

Wyobraźmy sobie, że źródło nie wysyła fali harmonicznej, ale co jeden okres T wysyła krótki impuls falowy. Przedstawiają to schematycznie Rys. 2., a dla źródła nieruchomego i b dla źródła poruszającego się.

RNqrAsDhWTDk3

Rys. 2. składa się z dwóch części: rysunek a z lewej strony obrazuje dwie powierzchnie falowe w w postaci dwóch współśrodkowych półokręgów w kolorze niebieskim o różnych promieniach. Środki półokręgów leżą w tym samym punkcie zaznaczonym czerwonym małym kółkiem. Przez ten punkt przechodzi pozioma prosta w czarnym kolorze. Od środka półokręgów odchodzą dwa czarne wektory skierowane w lewą stronę i o długości równej promieniom półokręgów. Wektory są opisane jako: wielkie V t (większy promień) oraz wielkie V (t - wielkie T). Rysunek b po prawej stronie przedstawia te same powierzchnie falowe, co rys. a, ale środki półokręgów, oznaczone A i B nie leżą w jednym punkcie. Odległość między punktami A i B jest opisana jako: v wielkie T. Po prawej stronie zaznaczono odległość między powierzchniami falowymi i opisano, z lewej strony: lambda z indeksem 2=wielkie V wielkie T + v wielkie T oraz z prawej: lambda z indeksem 1 = wielkie V wielkie T - v wielkie T. Od środków półokręgów odchodzą dwa czarne wektory skierowane w lewą i prawą stronę o długościach równych promieniom półokręgów. Wektory są opisane jako: wielkie V t oraz wielkie V(t - wielkie T).

Porównując te rysunki widzimy, że odległość pomiędzy sygnałami, którą możemy utożsamić z długością fali harmonicznej, zależy od kierunku ruchu źródła względem naszej pozycji. Analizując tę sytuację możemy otrzymać wzór na zmianę długości fali na prostej, po której porusza się źródło.

3.1 Długość fali ${\lambda }_1$ w punktach leżących przed źródłem:

3.2 Długość fali ${\lambda }_2$ w punktach leżących przed źródłem:

3.3 Długość fali ${\lambda }_{\mathrm{\phi }}$ w dowolnym punkcie.

Jeśli odbiorca nie znajduje się na prostej po której porusza się źródło, to zmiana długości fali zależy od kąta $\phi$, jaki tworzy jego prędkość z odcinkiem łączącym położenia źródła i obserwatora.

REphd6dr5aXAz

Rys. 3 przedstawia schemat obrazujący zależność zmiany długości fali od kąta, jaki tworzy wektor prędkości źródła z odcinkiem łączącym położenie źródła i obserwatora. Źródło dźwięku porusza się w kierunku poziomym w lewo, co obrazuje czerwony wektor z podpisem: v wielkie T oznaczającym długość fali. Końce wektora oznaczone są: A i B. Z punktu A odchodzi czarny wektor opisany: wielkie V t obrazujący kierunek rozchodzenia się dźwięku skierowany pod kątem ok 30 stopni do czerwonego wektora. Od punktu B odchodzi czarny wektor opisany wielkie V(t - wielkie T).

Przy oznaczeniu jak na Rys. 3, dla dużych odległości między obserwatorem i źródłem długość fali ${\lambda }_{\mathrm{\phi }}$ jest równa:

Powyższy wzór dla kątów φphi = 0⁰ oraz φphi = 180⁰ przekształca się w odpowiednie wzory wyprowadzone wcześniej.

4. Zmiana częstotliwości w zjawisku Dopplera

Mówiliśmy, że efekt Doppleraefekt Doppleraefekt Dopplera zachodzi dla fal dźwiękowych. W tym wypadku wygodniej jednak nie operować długością fali λlambda, a raczej jej częstotliwością f.

Dla fal rozchodzących się z prędkością V zachodzi ogólny związek:

Stosując tę równość dla wcześniej wyprowadzonych wzorów na długości fali, dostajemy związki łączące częstotliwości fali odbieranej przez odbiorcę z częstotliwością wytwarzaną przez źródło:

4.1 Na prostej, wzdłuż której porusza się źródło, przed źródłem:

4.2 Na prostej, wzdłuż której porusza się źródło, za źródłem:

4.3 Dla obserwatora nie znajdującego się na prostej, po której porusza się źródło:

Słowniczek