Przeczytaj

Poza podstawowymi własnościami funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartość największa/najmniejsza, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne) na podstawie wykresu funkcji możemy podać również argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

Funkcja $f$ , której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_{1}$ i $x_{2}$ .

RgllnKLXNbVbZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W układzie zaznaczono wykres funkcji f. Ma on kształt odwróconej litery V o wierzchołku w punkcie nawias cztery średnik cztery. Jego lewe ramię przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramie przecina oś x w punkcie nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu. Na wysokości rzędnej równej jeden linią przerywaną zaznaczono poziomą półprostą podpisaną literą y. Z miejsc przecięcia się tej półprostej z wykresem poprowadzono pionowe odcinki do osi x. Pierwszy punkt zrzutowany na oś x podpisano x1, a drugi x2.

Nierówność $f (x) > y$ jest spełniona dla $x \in (x_{1}, x_{2})$ , natomiast $f (x) < y$ dla $x \in (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, \infty)$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} - 2 x + 4 & dla x \in (- \infty, 2) \\ x^{2} - 6 x + 8 & dla x \in ⟨2, 4) \\ 4 - x & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

R1LFVkv1gHldU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu aż do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik minus jeden i dalej biegnie po łuku do punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias pięć średnik minus jeden i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu tej funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą.

Rozwiązanie:

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ℝ$ ,

miejsca zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji: $x = 2$ , $x = 4$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 2)$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$ ,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨3, 4⟩$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- \infty, 3⟩$ oraz dla $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani wartości największej.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 2 & dla x \in (- \infty, - 2) \\ |x| & dla x \in ⟨- 2, 4) \\ 3 & dla x \in ⟨4, \infty) \end{cases}$ .

Odczytamy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 2$ i nierówności $f (x) \leq 2$ oraz dziedzinę funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, wartość najmniejszą i wartość największą..

RIdnErozycHWR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

$f (x) > 2$ dla $x \in (2, \infty)$ ,

$f (x) \leq 2$ dla $x \in (- \infty, 2⟩$ ,

dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości: $Z W = ⟨ 0, 4)$ ,

miejsce zerowemiejsca zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji: $x = 0$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ ,

funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych,

funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca dla $x \in ⟨0, 4)$ ,

funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca dla $x \in (- 2, 0⟩$ ,

funkcja jest stałafunkcja stałastała dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ oraz $x \in ⟨4, \infty)$ ,

funkcja ma wartością najmniejszą $y = 0$ dla $x = 0$ , nie ma wartości największej.

Przykład 3

Dany jest wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{cases} 5 & dla x \in (- \infty, - 5) \\ |x| & dla x \in ⟨- 5, 3) \\ 1 & dla x \in ⟨3, \infty) \end{cases}$ .

R1HYvNP9215vs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do punktu nawias minus pięć średnik pięć zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik zero i dalej biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, drugi fragment wykresu to pozioma półprosta zaczynająca się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i wychodząca poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązania równań: $f (x) = 3$ i $f (x) = 1$ oraz zbiory rozwiązań nierówności $f (x) > 3$ i $f (x) \leq 1$ .

Rozwiązanie:

$f (x) = 3$ dla $x = - 3$ ,

$f (x) = 1$ dla $x \in \{- 1, 1\} \cup ⟨3, \infty)$ ,

$f (x) > 3$ dla $x \in (- \infty, - 3)$ ,

$f (x) \leq 1$ dla $x \in ⟨- 1, 1⟩ \cup ⟨3, \infty)$ ,

Przykład 4

Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f : ℝ \to ℝ$ .

RGWqjB9ZswBvd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się w drugiej ćwiartce i biegnie poziomo aż do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Druga część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu stąd biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus dwa i dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik dw zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie przez punkt nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce.

Odczytamy z wykresu rozwiązanie równania:

a) $f (x) = 0$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) > 0$ ,

b) $f (x) = 2$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq 2$ ,

c) $f (x) = 3$ oraz zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \leq 3$ .

Rozwiązanie:

a) $f (x) = 0$ dla $x \in \{- 1, 1, 4\}$ , $f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, 4)$ ,

b) $f (x) = 2$ dla $x = 2$ , $f (x) \geq 2$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩ \cup \{2\}$ ,

c) $f (x) = 3$ dla $x \in (- \infty, - 2⟩$ , $f (x) \leq 3$ dla $x \in ℝ$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f (x) = x^{3}$ i $g (x) = x$ .

R6hte66IWzLIV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 5 i pionową osią y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy. Wykres funkcji f o kształcie funkcji trzeciego stopnia. Pojawia się on na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce i biegnie ukośnie przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i biegnie dalej po łuku przez punkt nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, gdzie występuje wypłaszczenie, dalej biegnie po łuku do punk tu nawias jeden średnik jeden zamknięci nawiasu stamtąd biegnie ukośnie o wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Wykres funkcji g jest ukośną prostą, która przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresów:

a) rozwiązanie równania $x^{3} = x$ ,

b) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ ,

c) zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ .

Rozwiązanie:

a) Rozwiązując równanie $x^{3} = x$ wystarczy zobaczyć na wykresie, w jakich punktach przecięły się wykresy funkcji $f$ i $g$ oraz podać pierwsze współrzędne tych punktów, więc $x \in \{- 1, 0, 1\}$ .

b) Ustalając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) < g (x)$ obserwujemy, że wykres funkcji $f$ jest położony poniżej wykresu funkcji $g$ dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ .

c) Wyznaczając zbiór rozwiązań nierówności $f (x) \geq g (x)$ obserwujemy, dla jakich argumentów wykres funkcji $f$ jest położony powyżej wykresu funkcji $g$ i dołączamy te argumenty, dla których wartości funkcji $f$ i $g$ są równe, wystarczy podać dopełnienie zbioru rozwiązań z podpunktu b), stąd $x \in ⟨- 1, 0⟩ \cup ⟨1, \infty)$ .

Słownik

dziedzina funkcji

dziedziną funkcji liczbowej $y = f (x)$ określonej za pomocą wzoru w postaci wyrażenia algebraicznego nazywamy zbiór wszystkich $x$ , dla których wyrażenie to jest określone

zbiór wartości funkcji

zbiorem wartości funkcji $f : D \to Y$ nazywamy zbiór tych wszystkich $y \in Y$ , dla których istnieje taki argument $x \in D$ , że $f (x) = y$

miejsca zerowe funkcji

argumenty, dla których $f (x) = 0$

funkcja rosnąca

funkcja, której wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja malejąca

funkcja, której wartości maleją wraz ze wzrostem argumentów funkcji

funkcja stała

funkcja, która dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość

Wprowadzenie

Animacja

Słownik