Przeczytaj

funkcja wykładnicza

Definicja: funkcja wykładnicza

Funkcję postaci

f (x) = a^{x}

określoną na zbiorze $ℝ$ ,

gdzie:
$a > 0$ , $a \neq 1$ nazywamy funkcją wykładniczą.

Już wiesz

Monotoniczność funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ zależy od wartości współczynnika $a$ :

dla $a > 1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca,

dla $a \in (0, 1)$ funkcja wykładnicza jest malejąca.

W tym materiale wykorzystamy monotoniczność funkcji wykładniczej do rozwiązywania nierówności.

Nierównością wykładniczą nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku.

Nierównościami wykładniczymi są na przykład:

$3^{x + 2} < {(\frac{1}{27})}^{x - 1}$ ,

$5^{x} \geq {(\frac{1}{125})}^{x + 3}$ .

Do rozwiązywania nierówności wykładniczych wykorzystujemy monotoniczność funkcji wykładniczej i korzystamy z następujących zależności:

dla $a \in (0, 1)$ zachodzi warunek: $a^{f (x)} < a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) > g (x)$ ,

dla $a > 1$ zachodzi warunek: $a^{f (x)} < a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) < g (x)$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność: $2^{x + 6} < 16^{x - 2}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z praw działań na potęgach, nierówność przekształcamy tak, aby po obu stronach była taka sama podstawa, większa od $1$ :

$2^{x + 6} < 2^{4 x - 8}$ .

Ponieważ $a > 1$ , zatem korzystając z tego, że funkcja wykładnicza jest rosnąca, rozwiązujemy nierówność:

$x + 6 < 4 x - 8$ .

Z nierówności mamy, że $x > \frac{14}{3}$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (\frac{14}{3}, \infty)$ .

Ważne!

W przejściu z nierówności wykładniczejnierówność wykładniczanierówności wykładniczej do nierówności liniowej znaku nierówności nie zmieniliśmy na przeciwny, ponieważ $a > 1$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność: ${(\frac{1}{3})}^{x - 2} \geq {(\frac{1}{27})}^{2 x + 3}$ .

Rozwiązanie

Korzystając z praw działań na potęgach, nierówność przekształcamy tak, aby po obu stronach była taka sama podstawa, mniejsza od $1$ i większa od $0$ :

${(\frac{1}{3})}^{x - 2} \geq {(\frac{1}{3})}^{6 x + 9}$ .

Ponieważ $a \in (0, 1)$ , zatem z własności funkcji wykładniczej otrzymujemy, że: $x - 2 \leq 6 x + 9$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in ⟨- \frac{11}{5}, \infty)$ .

Ważne!

W przejściu z nierówności wykładniczej do nierówności liniowej znak nierówności zmieniliśmy na przeciwny, ponieważ $a \in (0, 1)$ .

Aby poprawnie rozwiązać niektóre nierówności wykładnicze, należy rozwiązać nierówności kwadratowe lub wymierne.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: $3^{x^{2}} < 3^{x + 6}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a > 1$ , zatem z własności funkcji wykładniczej otrzymujemy, że:

$x^{2} < x + 6$ .

Nierównością równoważną jest $x^{2} - x - 6 < 0$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór:

$x \in (- 2, 3)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność: ${(\frac{1}{3})}^{\frac{x + 1}{x - 2}} > 1$ .

Rozwiązanie

Korzystając z działań na potęgach, otrzymujemy nierówność ${(\frac{1}{3})}^{\frac{x + 1}{x - 2}} > {(\frac{1}{3})}^{0}$ .

Ponieważ $a = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ , więc rozwiązujemy nierówność:

$\frac{x + 1}{x - 2} < 0 \land x \neq 2$ .

Nierówność ta jest równoważna nierówności $(x + 1) (x - 2) < 0$ .

Jej rozwiązaniem jest zbiór $x \in (- 1, 2)$ .

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność $3^{2 x} \cdot \frac{1}{81} \geq \frac{1}{3}$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność tak, aby po obu jej stronach były jednakowe podstawy:

$3^{2 x} \cdot 3^{- 4} \geq 3^{- 1}$ .

Z własności działań na potęgach otrzymujemy, że:

$3^{2 x - 4} \geq 3^{- 1}$ .

Ponieważ $a = 3 > 1$ , więc nie zmieniamy znaku nierówności pomiędzy wykładnikami.

Otrzymujemy nierówność $2 x - 4 \geq - 1$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in ⟨\frac{3}{2}, \infty)$ .

Przykład 6

Rozwiążemy nierówność: ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 5 x + 6} < 1$ .

Rozwiązanie

Nierówność przekształcamy do postaci ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 5 x + 6} < {(\frac{1}{2})}^{0}$ .

Ponieważ $a = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ , zatem otrzymujemy nierówność:

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ .

Pierwiastkami są liczby $2$ i $3$ , zaś rozwiązanie to zbiór liczb

$x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ .

Nierówność wykładnicza, która jest postaci $a^{x} < b$ , gdzie $b > 0$ :

dla $a \in (0, 1)$ jest równoważna nierówności $x > \log_{a} b$ ,

dla $a \in (1, \infty)$ jest równoważna nierówności $x < \log_{a} b$ .

Przykład 7

Rozwiążmy nierówność $3^{x} < 5$ .

Rozwiązanie

Z powyższych własności otrzymujemy, że $x < \log_{3} 5$ .

Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział $x \in (- \infty, \log_{3} 5)$ .

Czasami do rozwiązania nierówności wykładniczej niezbędne jest zastosowanie pomocniczej niewiadomej.

Przykład 8

Rozwiążemy nierówność $2^{2 x} > 2^{x} + 12$ .

Rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:

$2^{2 x} - 2^{x} - 12 > 0$ .

Wykonujemy podstawienie. Niech $t = 2^{x} > 0$ .

Rozwiązujemy nierówność kwadratową $t^{2} - t - 12 > 0$ .

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział $t \in (- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$ .

Z założenia $t > 0$ , więc $t \in (4, \infty)$ .

To oznacza, że $2^{x} \in (4, \infty)$ .

Rozwiązujemy nierówność $2^{x} > 4$ , więc $x > 2$ .

Słownik

nierówność wykładnicza

nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wykładniku

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik