Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Rozpoczniemy od narysowania wykresu funkcji y=tgx.

Wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu 1. Niech będzie to okrąg o równaniu x+22+y2=1. Jego środkiem jest punkt C=-2,0. Niech punkt D ma współrzędne -1,0. Przez punkt D poprowadźmy prostą m prostopadłą do osi X. Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt A oraz przez punkt C poprowadzimy prostą, to przetnie ona prostą m w punkcie E. Niech a oznacza miarę kąta ostrego DCA mierzoną w radianachradianradianach.

Punkt B ma współrzędne a,tga. Prosta przechodząca przez punkt B i prostopadła do osi X przecina tę w punkcie F=a,0.

Zauważamy, że druga współrzędna punktu E to tga. Zatem odcinki DEBF mają tę samą długość równą tga. Ponieważ punkt B ma współrzędne a,tga, a zatem punkt B leży na wykresie funkcji y=tga. Poruszający się punkt B wyznacza wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2.

Otwórzmy aplet, aby obserwować całą konstrukcję.

R3TnEwaDwEv2r
Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -3π2;3π2, przy czym współrzędne opisana są co jedną π2 oraz z pionową osią Y w przedziale -1;3. Na płaszczyźnie narysowane są dwie pionowe proste: pierwsza linią przerywaną o równaniu X równa się π2, natomiast druga linią ciągłą o równaniu x równa się -π2. Druga prosta jest styczna do okręgu, którego środek C leży na osi X mniej więcej w punkcie -2π3 . Na płaszczyźnie oznaczone są także punkty. Punkt D leży na osi X na przecięciu prostej i okręgu i tworzy odcinek CD z jego środkiem. Punkt A jest ruchomy i porusza się po górnej prawej ćwiartce okręgu, zataczając kąt odrobinę mniejszy, niż π2. Kąt ten jest nazwany a. Pod układem współrzędnych znajduje się suwak (czyli poziomy odcinek), którym można zmieniać wielkość kąta a. W najmniejszym położeniu najbardziej na lewo, a równe jest jedna dziesiąta. W maksymalnym, najbardziej po prawo, a równa się jeden i pięćdziesiąt pięć setnych, przy czym wartości a można zmieniać co jedną setną. Punkt przecięcia okręgu i prostej, czyli punkt D, połączony jest z ruchomym punktem E, należącym do prostej. Dla najmniejszej wartości kąta a punkty D i E niemal się pokrywają. Wraz ze wzrostem wartości kąta a, punkt E oddala się od punktu D w górę po prostej pionowej. Dla a bliskiego π2 , punkt E wybiega poza ilustrację. Na grafice zaznaczone są jeszcze dwa punkty. Punkt B jest punktem, który wraz ze wzrostem kąta a, przesuwa się od początku układu współrzędnych do góry po wykresie funkcji tangens położonej nad osią X. Dla największego a wybiega on poza ilustrację. Ostatni punkt natomiast, czyli punkt F połączony jest odcinkiem z punktem B, jednak jego torem ruchu jest pozioma oś X. Dla najmniejszego a, punkt F jest bliski początkowi układu współrzędnych. Dla maksymalnego a, punkt F przesuwa się poziomo na pierwszą poziomą prostą, która jest asymptotą funkcji tangens i ma współrzędne <math">π2;0.

Wykres funkcji y=tga w przedziale -π2,π2

W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2.

Teraz skonstruujemy wykres y=tga dla aπ2,0. W tym celu wykorzystamy wzór: tg-a=-tga dla dowolnej liczby rzeczywistej aπ2+kπ, gdzie k.

Wzór tg-a=-tga opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji y=tga jest punkt 0,0. Oznacza to także, że funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

R1C2bL5F6LWOV

Wykres funkcji y=tga w całej dziedzinie

Zatem otrzymaliśmy wykres y=tga w przedziale -π2,π2.

Chcemy teraz skonstruować wykres funkcji y=tga dla aπ2+kπ, gdzie k. W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: tga+π=tga, dla aπ2+kπ, gdzie k.

Własność ta oznacza, że wykres funkcji tangens powtarza się co π. Zatem funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π. Zwróćmy uwagę na to, że okres nie może byc mniejszy niż π, gdyż funkcja w przedziale -π2,π2 o długości π jest rosnąca.

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji y=tgx w dziedzinie.

RpHgNH2bY1Khw

Na podstawie wykresu opiszemy własności funkcji tangens.

o własnościach funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji y=tgx, gdy xπ2+kπ, gdzie k.

  1. Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π.

  2. Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

  3. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

  4. Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.

  5. Miejscami zerowymi funkcji tangens są argumenty: x=kπ, gdzie k.

  6. Funkcja tangens jest rosnąca w każdym z przedziałów: -π2+kπ,π2+kπ, gdzie k.

  7. Funkcja tangens nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.

  8. Wykres funkcji posiada asymptoty pionowe o równaniach: x=π2+kπ, gdzie k.

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji y=tgx.

  1. Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych kπ2,0, gdzie k.

  2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetriioś symetrii wykresu funkcjiosi symetrii.

Dowód

Ad. 1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku dotyczącego środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt a,b jest środkiem symetrii wykresu funkcji y=fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość 2b-fx=f2a-x.

Zatem musimy pokazać, że zachodzi równość:

2·0-tgx=tg2·kπ2-x dla dowolnej liczby rzeczywistej xπ2+kπ, gdzie k, czyli że

-tgx=tgkπ-x.

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji tangens: tgkπ-x=tg-x, a następnie z nieparzystości funkcji tangens: tg-x=-tgx, co kończy dowód.

Ad. 2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetrii, gdyż funkcja jest przedziałami rosnąca. Gdyby posiadała oś symetrii, to dla każdego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, istniałby przedział, w którym funkcja jest malejąca.

o okresie zasadniczym funkcji y=ctgax+b
Twierdzenie: o okresie zasadniczym funkcji y=ctgax+b

Jeżeli a,b,ca>0 oraz c0, to okresem zasadniczym funkcji y=ctgax+b jest πa.

Dowód

Najpierw wykażemy, że πa jest okresem funkcji y=ctgax+b.

ctgax+πa+b=ctgax+π+b=ctgax+b

Sprawdzimy teraz, że πa jest okresem zasadniczym.

Przypuśćmy, że istnieje liczba 0<t<πa, która jest okresem funkcji y=ctgax+b.

Wówczas

ctgax+t+b=ctgax+at+bctgax+b,

gdyż at<π. Sprzeczność.

Przykład 1

Podamy okres zasadniczy funkcji:

  1. y=2tgx

  2. y=2tg12x+3

  3. y=tg3-2x

Rozwiązanie:

Wykorzystamy twierdzenie o okresie zasadniczym funkcji y=ctgax+b.

  1. Okresem zasadniczym funkcji y=2tgx jest T=π.

  2. Okresem zasadniczym funkcji y=2tg12x+3 jest T=2π.

  3. Okresem zasadniczym funkcji y=tg3-2x jest T=π2.

Przykład 2

Podamy miejsca zerowe funkcji: y=2tg3x-2.

Rozwiązanie:

Funkcja y=tgx ma miejsca zerowe postaci x=kπ, gdzie k.

Zatem funkcja y=2tg3x-2 ma miejsca zerowe postaci 3x-2=kπ, czyli x=kπ3+23, gdzie k.

Przykład 3

Która wartość jest większa: tg11π24 czy tg13π27?

Rozwiązanie:

Ponieważ 11π240,π213π270,π2, to z faktu, że 11π24<13π27 i tego, że funkcja tangens w przedziale 0,π2 jest rosnąca wynika, że tg11π24<tg13π27.

Przykład 4

Dla jakich wartości liczb ujemnych a,b,c funkcja y=atgbx+c ma okres zasadniczy równy 4π.

Rozwiązanie:

Zapiszmy funkcję w postaci y=-atg-bx-c. Skorzystamy z twierdzenia o okresie zasadniczym funkcji tangens. Na podstawie twierdzenia stwierdzamy, że okresem zasadniczm naszej funkcji jest π-b.

Z warunków zadania otrzymujemy: π-b=4π, czyli b=-14, a ac są dowolnymi liczbami ujemnymi.

Słownik

oś symetrii wykresu funkcji
oś symetrii wykresu funkcji

prosta x=a jest osią symetrii wykresu funkcji y=fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość fx=f2a-x

radian
radian

jednostka miary łukowej kąta środkowego wyrażająca stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt jest kątem środkowym; związek pomiędzy miarą stopniową, a łukową wyraża się wzorem

środek symetrii wykresu funkcji
środek symetrii wykresu funkcji

punkt o współrzędnych a,b jest środkiem symetrii wykresu funkcji y=fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość: 2b-fx=f2a-x