Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozpoczniemy lekcję od narysowania wykresu funkcji y=tgx.

Wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu 1. Niech będzie to okrąg o równaniu (x+2)2+y2=1. Jego środkiem jest punkt C(-2,0). Niech punkt D ma współrzędne (-1,0). Przez punkt D poprowadźmy prostą m prostopadłą do osi X. Jeżeli przez leżący na danym okręgu punkt A oraz przez punkt C poprowadzimy prostą, to przetnie ona prostą m w punkcie E. Niech a oznacza miarę kąta ostrego DCA mierzoną w radianachradianradianach.

Punkt B ma współrzędne (a, tga). Prosta przechodząca przez punkt B i prostopadła do osi X przecina tę w punkcie F(a,0).

Zauważamy, że druga współrzędna punktu E to tga. Zatem odcinki DEBF mają tę samą długość równą tga. Ponieważ punkt B ma współrzędne (a,tga), a zatem punkt B leży na wykresie funkcji y=tga. Poruszający się punkt B wyznacza wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2.

Otwórzmy symulację, aby obserwować całą konstrukcję.

R3TnEwaDwEv2r

Wykres funkcji y=tga w przedziale -π2,π2

W poprzednim punkcie otrzymaliśmy wykres funkcji y=tga w przedziale 0,π2).

Teraz skonstruujemy wykres y=tga dla a(-π2,0). W tym celu wykorzystamy wzór: tg(-a)=-tga dla dowolnej liczby rzeczywistej aπ2+kπ, gdzie k.

Wzór tg(-a)=-tga opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji y=tga jest punkt (0,0). Oznacza to także, że funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

R1C2bL5F6LWOV

Wykres funkcji y=tga w całej dziedzinie

Zatem otrzymaliśmy wykres y=tga w przedziale -π2,π2.

Chcemy teraz skonstruować wykres funkcji y=tga dla aπ2+kπ, gdzie k. W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: tg(a+π)=tga, dla aπ2+kπ, gdzie k.

Własność ta oznacza, że wykres funkcji tangens powtarza się co π. Zatem funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π. Zwróćmy uwagę na to, że okres nie może byc mniejszy niż π, gdyż funkcja w przedziale (-π2,π2) o długości π jest rosnąca.

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji y=tgx w dziedzinie.

RpHgNH2bY1Khw

Na podstawie wykresu opiszemy własności funkcji tangens.

o własnościach funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji y=tgx, gdy xπ2+kπ, gdzie k.

  1. Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=π.

  2. Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.

  3. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

  4. Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.

  5. Miejscami zerowymi funkcji tangens są argumenty: x=kπ, gdzie k.

  6. Funkcja tangens jest rosnąca w każdym z przedziałów: -π2+kπ,π2+kπ, gdzie k.

  7. Funkcja tangens nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.

  8. Wykres funkcji posiada asymptoty pionowe o równaniach: x=π2+kπ, gdzie k.

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens
Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji tangens

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji y=tgx.

  1. Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych kπ2,0, gdzie k.

  2. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetriioś symetrii wykresu funkcjiosi symetrii.

Dowód:

  1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku dotyczącego środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt (a,b) jest środkiem symetrii wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość 2b-f(x)=f(2a-x).

Zatem musimy pokazać, że zachodzi równość:

2·0-tgx=tg2·kπ2-x dla dowolnej liczby rzeczywistej xπ2+kπ, gdzie k, czyli że

-tgx=tg(kπ-x).

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji tangens: tg(kπ-x)=tg(-x), a następnie z nieparzystości funkcji tangens: tg(-x)=-tg(x), co kończy dowód.

  1. Wykres funkcji tangens nie posiada osi symetrii, gdyż funkcja jest przedziałami rosnąca. Gdyby posiadała oś symetrii, to dla każdego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, istniałby przedział, w którym funkcja jest malejąca.

o okresie zasadniczym funkcji y=ctg(ax+b)
Twierdzenie: o okresie zasadniczym funkcji y=ctg(ax+b)

Jeżeli a,b,ca>0 oraz c0, to okresem zasadniczym funkcji y=ctg(ax+b) jest πa.

Dowód: Najpierw wykażemy, że πa jest okresem funkcji y=ctg(ax+b).

ctg(a(x+πa)+b)=ctg(ax+π+b)=ctg(ax+b)

Sprawdzimy teraz, że πa jest okresem zasadniczym.

Przypuśćmy, że istnieje liczba 0<t<πa, która jest okresem funkcji y=ctg(ax+b).

Wówczas

ctg(a(x+t)+b)=ctg(ax+at+b)ctg(ax+b),

gdyż at<π. Sprzeczność.

Przykład 1

Podamy okres zasadniczy funkcji:

  1. y=2tgx

  2. y=2tg(12x+3)

  3. y=|tg(3-2x) |

Rozwiązanie:

Wykorzystamy twierdzenie o okresie zasadniczym funkcji y=ctg(ax+b).

  1. Okresem zasadniczym funkcji y=2tgx jest T=π.

  2. Okresem zasadniczym funkcji y=2tg(12x+3) jest T=2π.

  3. Okresem zasadniczym funkcji y=|tg(3-2x) | jest T=π2.

Przykład 2

Podamy miejsca zerowe funkcji: y=2tg(3x-2).

Rozwiązanie:

Funkcja y=tgx ma miejsca zerowe postaci x=kπ, gdzie k.

Zatem funkcja y=2tg(3x-2) ma miejsca zerowe postaci 3x-2=kπ, czyli x=kπ3+23, gdzie k.

Przykład 3

Która wartość jest większa: tg11π24 czy tg13π27?

Rozwiązanie:

Ponieważ 11π24(0,π2)13π27(0,π2), to z faktu, że 11π24<13π27 i tego, że funkcja tangens w przedziale (0,π2) jest rosnąca wynika, że tg11π24<tg13π27.

Przykład 4

Dla jakich wartości liczb ujemnych a,b,c funkcja y=atg(bx+c) ma okres zasadniczy równy 4π,

Rozwiązanie:

Zapiszmy funkcję w postaci y=-atg(-bx-c). Skorzystamy z twierdzenia o okresie zasadniczym funkcji tangens. Na podstawie twierdzenia stwierdzamy, że okresem zasadniczm naszej funkcji jest π-b.

Z warunków zadania otrzymujemy: π-b=4π, czyli b=-14, a ac są dowolnymi liczbami ujemnymi.

Słownik

oś symetrii wykresu funkcji
oś symetrii wykresu funkcji

Prosta x=a jest osią symetrii wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość f(x)=f(2a-x). .

radian
radian

jednostka miary łukowej kąta środkowego wyrażająca stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, dla którego kąt jest kątem środkowym; związek pomiędzy miarą stopniową, a łukową wyraża się wzorem

środek symetrii wykresu funkcji
środek symetrii wykresu funkcji

Punkt o współrzędnych (a,b) jest środkiem symetrii wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby x z dziedziny zachodzi równość: 2b-f(x)=f(2a-x).