Przeczytaj
Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).
Zauważ, że mówiąc o trójkącie foremnym (równobocznym) wystarczy zażądać równości samych długości boków lub tylko równości miar kątów. Ale już w przypadku czworokątów foremnych musimy wymagać przystawania zarówno boków, jak i kątów. Romb niebędący kwadratem jest przykładem wielokąta, którego wszystkie boki są równe, ale który nie jest foremny. Z kolei prostokąt, który nie jest kwadratem to przykład czworokąta, którego wszystkie kąty są równe, a który nie jest foremny.
Okazuje się, że na dowolnym –kącie foremnym można opisać okrąg oraz w dowolny –kąt foremny można wpisać okrąg. Zależność między długością boku danego wielokąta i długościami promieni obu okręgów opisuje poniższe twierdzenie.
Niech dany będzie wielokąt foremny o boku długości . Niech będzie długością promienia okręgu opisanego na tym wielokącie, a niech będzie długością promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt. Wtedy .
Prosty dowód zapisanej zależności wynika bezpośrednio z zastosowania twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, którego dwoma bokami są odpowiednie promienie, a trzecim jest połowa boku danego wielokąta (patrz: rysunek).
Przejdziemy teraz do klasycznej geometrii z zastosowaniem cyrkla i linijki. Naszym zadaniem będzie konstrukcja wybranych –kątów foremnych spełniających zadane warunki. W opisywanych przykładach, w aplecie oraz ćwiczeniach skupimy się przede wszystkim na konstrukcjach –kąta, gdy zadana jest długość jego boku lub długość promienia okręgu opisanego na tym –kącie.
Zauważmy, że mając dany –kąt foremny wpisany w okrąg możemy, wykorzystując konstrukcję symetralnej odcinka, skonstruować wielokąt foremnywielokąt foremny o podwojonej liczbie boków.
Rozważmy kwadrat wpisany w okrąg taki jak na rysunku i dwie proste, które są symetralnymi równoległych boków (symetralna boku jest jednocześnie symetralną boku i podobnie dla boków i ).
Proste te przecinają dany okrąg w czterech punktach. Spróbuj określić, czym są te punkty.
Oczywiście otrzymane punkty, wraz z punktami , , i , są wierzchołkami ośmiokąta. Jest to ośmiokąt foremny wpisany w dany okrąg (patrz: rysunek poniżej).
Jeśli teraz poprowadzimy symetralne wszystkich boków otrzymanego ośmiokąta, to punkty wspólne tych symetralnych i okręgu wyznaczą kolejne wierzchołki szesnastokąta foremnego (patrz: rysunek).
Zauważ, że taką operację można prowadzić dowolną ilość razy, otrzymując wielokąt foremny wpisany w dany okrąg, który ma boków (dla ) – jedynym ograniczeniem jest dokładność naszych rysunków (zapewne już kolejny wielokąt o 32 bokach byłby niemal nieodróżnialny od szesnastokąta, czy od danego okręgu).
Analogicznie moglibyśmy skonstruować sześciokąt foremny wpisany w dany okrąg, mając wcześniej trójkąt równoboczny, który w ten okrąg jest wpisany.
Teraz jednak zajmiemy się konstrukcją wybranych wielokątów, gdy dane są długości ich boków. Pominiemy znaną doskonale konstrukcję trójkąta równobocznego o danym boku. Także konstrukcja kwadratu o boku zadanej długości czy wpisanego w okrąg o danym promieniu, gdy znany jest sposób konstrukcji symetralnej (patrz: lekcja 745), nie powinna nastręczać trudności. Pora więc na konstrukcję pięciokąta i sześciokąta foremnego.
Konstrukcja sześciokąta foremnego
Opis konstrukcji sześciokąta foremnego.
Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości równej długości boku sześciokąta.
Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym .
Na otrzymanym okręgu zaznacz dowolny punkt i nazwij go, np.: .
Z punktu zakreśl łuk promieniem równym , aż do przecięcia z okręgiem (odkładamy cięciwę ). Następnie z punktu odłóż cięciwę równą promieniowi okręgu, następnie z punktu odłóż cięciwę itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 6 równych części.
Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz szukany sześciokąt.
Zauważ, że przedstawiona konstrukcja jest konstrukcją sześciokąta foremnego o danym boku i jednocześnie konstrukcją sześciokąta wpisanego w okrąg o danym promieniu.
W Przykładzie pierwszym, wychodząc od wielokąta o danej liczbie boków, konstruowaliśmy wielokąt, którego liczba boków była dwukrotnie większa. Okazuje się, że czasami warto postąpić odwrotnie. Jeśli bowiem wykreślimy sześciokąt foremny i połączymy kolejno odcinkami co drugi jego wierzchołek, to otrzymamy trójkąt równoboczny. Tym samym, otrzymaliśmy metodę konstrukcji trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu. Podobną operację można przeprowadzić w przypadku dziesięciokąta i pięciokąta foremnego.
Konstrukcja pięciokąta foremnego
Opis konstrukcji pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu.
Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości równej długości promienia okręgu opisanego na pięciokącie.
Wykreśl symetralną danego odcinka, w celu wyznaczenia odcinka o długości równej .
Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym a i poprowadź dowolną średnicę – środek okręgu oznacz przez , końce średnicy przez , .
Poprowadź symetralną odcinka – punkty wspólne otrzymanej prostej z okręgiem, które wyznaczają średnicę prostopadłą do , oznacz przez i .
Na średnicy odłóż (po dowolnej stronie prostej ) odcinek o długości równej .
Poprowadź odcinek , na którym odłóż odcinek o długości równej – pozostała część odcinka , czyli odcinek , jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
Z dowolnego punktu okręgu, np. z punktu zakreśl łuk promieniem równym długości odcinka , aż do przecięcia z okręgiem (zaznaczysz w ten sposób końce cięciwy). Z końca zaznaczonego łuku zakreśl ponownie łuk o takim samym promieniu, by przeciął się z okręgiem, itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 10 równych części.
Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz dziesięciokąt foremny.
Połącz co drugi z wierzchołków otrzymanego dziesięciokąta, a otrzymasz pięciokąt foremny.
Dowód poprawności konstrukcji dziesięciokąta (pięciokąta) foremnego wpisanego w okrąg o danym promieniu wykracza poza wymagania matematyki szkolnej, ale z pewnością sama konstrukcja (mimo rozbudowanego opisu) nie jest skomplikowana. Inaczej rzecz się ma z konstrukcją pięciokąta o boku zadanej długości. Przygotuj cyrkiel i linijkę, a następnie odtwórz na kartce opisaną niżej konstrukcję.
Opis konstrukcji pięciokąta foremnego o boku zadanej długości.
Na płaszczyźnie narysuj prostą i odłóż na tej prostej odcinek o długości równej długości boku pięciokąta – otrzymany odcinek oznacz .
Wykreśl okrąg o środku w punkcie i promieniu .
Przez punkt poprowadź prostą prostopadłą do prostej – punkty wspólne prostej i okręgu oznacz odpowiednio przez , .
Poprowadź symetralną odcinka – otrzymany środek odcinka oznacz przez .
Z punktu wykreśl okrąg o promieniu – otrzymasz dwa punkty wspólne z prostą . Oznacz przez ten z otrzymanych punktów, który leży po przeciwnej stronie prostej względem punktu .
Z punktu wykreśl okrąg o promieniu – otrzymasz dwa punkty wspólne z okręgiem i dwa punkty wspólne z prostą . Rozważmy te z nich, które leżą po tej samej stronie prostej , co punkt i oznaczmy przez punkt wspólny z okręgiem , a przez punkt wspólny z prostą .
Wykreśl okręgi o środkach w punktach i – otrzymasz dwa punkty wspólne. Ten z nich, który leży po tej samej stronie prostej , co punkt , oznacz przez .
Połącz kolejno punkty , a otrzymasz pięciokąt foremny o zadanym boku.
Słownik
wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary)