Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Wielokąt foremny
Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).

Zauważ, że mówiąc o trójkącie foremnym (równobocznym) wystarczy zażądać równości samych długości boków lub tylko równości miar kątów. Ale już w przypadku czworokątów foremnych musimy wymagać przystawania zarówno boków, jak i kątów. Romb niebędący kwadratem jest przykładem wielokąta, którego wszystkie boki są równe, ale który nie jest foremny. Z kolei prostokąt, który nie jest kwadratem to przykład czworokąta, którego wszystkie kąty są równe, a który nie jest foremny.

Okazuje się, że na dowolnym n – kącie foremnym można opisać okrąg i w dowolny n – kąt foremny można wpisać okrąg. Zależność między długością boku danego wielokąta i długościami promieni obu okręgów opisuje poniższe twierdzenie.

o wielokącie foremnym i dwóch okręgach: wpisanym i opisanym
Twierdzenie: o wielokącie foremnym i dwóch okręgach: wpisanym i opisanym

Niech dany będzie wielokąt foremny o boku długości a. Niech R będzie długością promienia okręgu opisanego na tym wielokącie, a r niech będzie długością promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt. Wtedy a=2R2-r2.

Prosty dowód zapisanej zależności wynika bezpośrednio z zastosowania twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, którego dwoma bokami są odpowiednie promienie, a trzecim jest połowa boku danego wielokąta (patrz: rysunek).

R1Sy2Ojz6UWWE
Okrąg wpisany i opisany na wielokącie
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przejdziemy teraz do klasycznej geometrii z zastosowaniem cyrkla i linijki. Naszym zadaniem będzie konstrukcja wybranych n – kątów foremnych spełniających zadane warunki. W opisywanych przykładach, w aplecie oraz ćwiczeniach skupimy się przede wszystkim na konstrukcjach n – kąta, gdy zadana jest długość jego boku lub długość promienia okręgu opisanego na tym n – kącie.

Przykład 1

wielokąt foremnywielokąt foremnyZauważmy, że mając dany n – kąt foremny wpisany w okrąg możemy, wykorzystując konstrukcję symetralnej odcinka, skonstruować wielokąt foremnywielokąt foremnywielokąt foremny o podwojonej liczbie boków.

Rozważmy kwadrat wpisany w okrąg taki jak na rysunku i dwie proste, które są symetralnymi równoległych boków (symetralna boku AB jest jednocześnie symetralną boku CD i podobnie dla boków CBAD).

R7JeZcs47Egq8
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Proste te przecinają dany okrąg w czterech punktach. Spróbuj określić, czym są te punkty.

Oczywiście otrzymane punkty, wraz z punktami A, B, C i D, są wierzchołkami ośmiokąta. Jest to ośmiokąt foremny wpisany w dany okrąg (patrz: rysunek poniżej).

R1bcWMT4J0CaV
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Jeśli teraz poprowadzimy symetralne wszystkich boków otrzymanego ośmiokąta, to punkty wspólne tych symetralnych i okręgu wyznaczą kolejne wierzchołki szesnastokąta foremnego (patrz: rysunek).

R13OkO9pNRcf4
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważ, że taką operację można prowadzić dowolną ilość razy, otrzymując wielokąt foremny wpisany w dany okrąg, który ma 2m boków (dla m>2) – jedynym ograniczeniem jest dokładność naszych rysunków (zapewne już kolejny wielokąt o 32 bokach byłby niemal nieodróżnialny od szesnastokąta, czy od danego okręgu).

Analogicznie moglibyśmy skonstruować sześciokąt foremny wpisany w dany okrąg, mając wcześniej trójkąt równoboczny, który w ten okrąg jest wpisany.

Teraz jednak zajmiemy się konstrukcją wybranych wielokątów, gdy dane są długości ich boków. Pominiemy znaną doskonale konstrukcję trójkąta równobocznego o danym boku. Także konstrukcja kwadratu o boku zadanej długości czy wpisanego w okrąg o danym promieniu, gdy znany jest sposób konstrukcji symetralnej (patrz: lekcja 745), nie powinna nastręczać trudności. Pora więc na konstrukcję pięciokąta i sześciokąta foremnego.

Konstrukcja sześciokąta foremnego

Opis konstrukcji sześciokąta foremnego.

  • Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości a równej długości boku sześciokąta.

  • Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym a.

  • Na otrzymanym okręgu zaznacz dowolny punkt i nazwij go, np.: A.

  • Z punktu A zakreśl łuk promieniem równym a, aż do przecięcia z okręgiem (odkładamy cięciwę AB). Następnie z punktu B odłóż cięciwę BC równą promieniowi okręgu, następnie z punktu C odłóż cięciwę CD itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 6 równych części.

  • Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz szukany sześciokąt.

Zauważ, że przedstawiona konstrukcja jest konstrukcją sześciokąta foremnego o danym boku i jednocześnie konstrukcją sześciokąta wpisanego w okrąg o danym promieniu.

W Przykładzie 1. wychodząc od wielokąta o danej liczbie boków konstruowaliśmy wielokąt, którego liczba boków była dwukrotnie większa. Okazuje się, że czasami warto postąpić odwrotnie. Jeśli bowiem wykreślimy sześciokąt foremny i połączymy kolejno odcinkami co drugi jego wierzchołek, to otrzymamy trójkąt równoboczny. Tym samym, otrzymaliśmy metodę konstrukcji trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu. Podobną operację można przeprowadzić w przypadku dziesięciokąta i pięciokąta foremnego.

Konstrukcja pięciokąta foremnego

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o zadanym promieniu.

  • Odłóż na płaszczyźnie odcinek o długości a równej długości promienia okręgu opisanego na pięciokącie.

  • Wykreśl symetralną danego odcinka, w celu wyznaczenia odcinka o długości równej 12a.

  • Wykreśl okrąg o dowolnym środku i promieniu równym a i poprowadź dowolną średnicę – środek okręgu oznacz przez O, końce średnicy przez A, B.

  • Poprowadź symetralną odcinka AB – punkty wspólne otrzymanej prostej z okręgiem, które wyznaczają średnicę prostopadłą do AB, oznacz przez CD.

  • Na średnicy CD odłóż (po dowolnej stronie prostej AB) odcinek OE o długości równej 12a.

  • Poprowadź odcinek EC, na którym odłóż odcinek EF o długości równej 12a – pozostała część odcinka EC, czyli odcinek CF, jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

  • Z dowolnego punktu okręgu, np. z punktu C zakreśl łuk promieniem równym długości odcinka CF, aż do przecięcia z okręgiem (zaznaczysz w ten sposób końce cięciwy). Z końca zaznaczonego łuku zakreśl ponownie łuk o takim samym promieniu, by przeciął się z okręgiem, itd. W ten sposób podzielisz okrąg na 10 równych części.

  • Połącz kolejne końce cięciw, a otrzymasz dziesięciokąt foremny.

  • Połącz co drugi z wierzchołków otrzymanego dziesięciokąta, a otrzymasz pięciokąt foremny.

RjVFxBuODoktQ
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Dowód poprawności konstrukcji dziesięciokąta (pięciokąta) foremnego wpisanego w okrąg o danym promieniu wykracza poza wymagania matematyki szkolnej, ale z pewnością sama konstrukcja (mimo rozbudowanego opisu) nie jest skomplikowana. Inaczej rzecz się ma z konstrukcją pięciokąta o boku zadanej długości. Przygotuj cyrkiel i linijkę, a następnie odtwórz na kartce opisaną niżej konstrukcję.

Przykład 2

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego o boku zadanej długości.

  • Na płaszczyźnie narysuj prostą k i odłóż na tej prostej odcinek o długości a równej długości boku pięciokąta – otrzymany odcinek oznacz AB.

  • Wykreśl okrąg O o środku w punkcie B i promieniu AB.

  • Przez punkt B poprowadź prostą l prostopadłą do prostej k – punkty wspólne prostej l i okręgu oznacz odpowiednio przez P1, P2.

  • Poprowadź symetralną m odcinka AB – otrzymany środek odcinka AB oznacz przez Q.

  • Z punktu Q wykreśl okrąg o promieniu QP1 – otrzymasz dwa punkty wspólne z prostą k. Oznacz przez R ten z otrzymanych punktów, który leży po przeciwnej stronie prostej l względem punktu A.

  • Z punktu A wykreśl okrąg o promieniu AR – otrzymasz dwa punkty wspólne z okręgiem O i dwa punkty wspólne z prostą m. Rozważmy te z nich, które leżą po tej samej stronie prostej k, co punkt P1 i oznaczmy przez C punkt wspólny z okręgiem O, a przez D punkt wspólny z prostą m.

  • Wykreśl okręgi o środkach w punktach A i D – otrzymasz dwa punkty wspólne. Ten z nich, który leży po tej samej stronie prostej m, co punkt A, oznacz przez E.

  • Połącz kolejno punkty ABCDE, a otrzymasz pięciokąt foremny o zadanym boku.

Słownik

wielokąt foremny
wielokąt foremny

wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary)