Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
RN0n0qtkPLzs2

Wielokąty foremne

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Mówiąc o konstrukcjach „platońskich”, klasycznych lub krótko o konstrukcjach geometrycznych, mamy na myśli operacje rysowania linii i kreślenia okręgów przy użyciu wyłącznie cyrkla i liniału tzn. linijki bez podziałki. Przez wiele lat konstrukcje geometryczne stanowiły niezmiernie ważny dział matematyki i były podstawą działań wielu pokoleń inżynierów i konstruktorów. Dzisiaj inżynierowie wykorzystują raczej graficzne programy komputerowe do projektowania, a o samych konstrukcjach, dowodach ich poprawności, czy analizie rozwiązań takich problemów czyta się tylko w starych podręcznikach, literaturze popularnonaukowej czy historycznej.

Z konstrukcjami geometrycznymi związane są trzy wielkie problemy starożytnej matematyki greckiej, sformułowane przez filozofów (matematyków) tzw. szkoły pitagorejskiej: problem „trysekcji kąta”, „kwadratura koła”, czy wreszcie „podwojenia sześcianu” („problem delijski”). W potocznym języku dosyć często pojawia się frazeologizm „kwadratura koła” , który oznacza zadanie z góry skazane na niepowodzenie – ma swoje źródło w problemie polegającym na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła, przy użyciu wyłącznie cyrkla oraz linijki bez podziałki .

Problemem związanym z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi, z którym częściej spotykają się współcześni adepci matematyki szkolnej, jest możliwość skonstruowania wielokąta foremnego. Dopiero w XIX wieku matematyk niemiecki C.F. Gauss podał kryterium, które pozwala wskazać, które z wielokątów foremnych można skonstruować za pomocą cyrkla i liniału. Odwołał się przy tym do liczb naturalnych postaci Fk=22k+1, gdzie k jest nieujemną liczbą całkowitą (liczby te noszą nazwę liczb Fermata) i udowodnił, że n – kąt foremny można skonstruować tylko wtedy, gdy n=2m·p1·p2·...pk, gdzie m jest liczbą naturalną (wraz z zerem), a pi są różnymi pierwszymi liczbami Fermata lub gdy n=2m, gdzie m jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 2.

Tym samym jest to możliwe np. dla n=3, bo 3=220+1, dla n=17, bo 17=2°·222+1, czy dla n=16, bo 16=24, ale nie jest to możliwe dla n=7 czy n=9.  

Twoje cele
  • Odkryjesz algorytm konstrukcji n – kąta foremnego dla n=2m.

  • Poznasz i uzasadnisz poprawność konstrukcji sześciokąta foremnego.

  • Poznasz konstrukcję pięciokąta foremnego.

  • Zastosujesz poznane zależności do rozwiązywania problemów geometrycznych.

  • Będziesz stosować kryterium Gaussa do badania wykonalności konstrukcji geometrycznych wielokątów foremnych.