Przeczytaj

Warto przeczytać

Cyklem lub obiegiem termodynamicznym nazywamy szereg dowolnych przemian, po których czynnik termodynamiczny wraca do stanu początkowego. Czynnik termodynamiczny to substancja, która ulega przemianom, na przykład para wodna lub gaz doskonały.

Rozważmy cykl termodynamiczny gazu doskonałego, przedstawiony na Rys. 1. Przeanalizujemy, w których przemianach ciepło zostało pobrane przez gaz, a w których oddane i ocenimy, jaki jest bilans ciepła – czy w całym cyklu gaz pobrał czy oddał ciepło. Zastanowimy się też, w których przemianach gaz wykonał pracę, a w których praca została wykonana nad gazem i czy w całym cyklu zyskujemy pracę, czy musimy pracę wykonać.

Początkowo gaz został poddany przemianie izochorycznejprzemiana izochorycznaprzemianie izochorycznej (1) – (2), w której ciśnienie zwiększyło się od pIndeks dolny 1 do pIndeks dolny 2. W przemianie izochorycznejprzemiana izochorycznaprzemianie izochorycznej przyrost ciśnienia jest wprost proporcjonalny do przyrostu temperatury, więc temperatura również się zwiększyła. Wzrost temperatury jest skutkiem pobrania ciepła przez gaz. Oznaczmy ciepło pobrane w przemianie (1) – (2) jako QIndeks dolny 1. Kolejna przemiana to rozprężanie izobaryczneprzemiana izobarycznaizobaryczne (2) – (3). Przy stałym ciśnieniu zwiększyła się objętość od VIndeks dolny 1 do VIndeks dolny 2. Wzrosła również temperatura, więc i w tej przemianie zostało pobrane ciepło QIndeks dolny 2. Następnie gaz został oziębiony izochorycznieprzemiana izochorycznaizochorycznie w przemianie (3) – (4). Ciśnienie zmniejszyło się do poprzedniej wartości pIndeks dolny 1 i zostało oddane ciepło QIndeks dolny 3. Ostatnią przemianą jest izobaryczneprzemiana izobarycznaizobaryczne oziębienie gazu (4) – (1). Gaz oddaje ciepło QIndeks dolny 4 i jego objętość zmniejsza się do początkowej wartości VIndeks dolny 1.

R1LOlUw0hfTvX

Rys. 1. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość oznaczoną literą wielkie V, na osi pionowej ciśnienie oznaczone literą małe p. Wykres składa się z dwóch pionowych i dwóch poziomych odcinków tworzących prostokąt. Wierzchołki prostokąta oznaczone są cyframi od 1 do 4. Wierzchołek lewy, dolny oznaczony jest cyfrą 1 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 1 oraz małe p z indeksem dolnym 1. Wierzchołek lewy, górny oznaczony jest cyfrą 2 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 1 oraz małe p z indeksem dolnym 2. Wierzchołek prawy, górny oznaczony jest cyfrą 3 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 2 oraz małe p z indeksem dolnym 2. Wierzchołek prawy, dolny oznaczony jest cyfrą 4 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 2 oraz małe p z indeksem dolnym 1. Pierwszą przemianę 1 – 2 przedstawia pionowy odcinek ze strzałką skierowaną w górę. Na lewo od tego odcinka narysowano szeroką, poziomą strzałkę, skierowaną w prawo, w kierunku wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 1. Strzałka symbolizuje ciepło pobrane przez gaz. Drugą przemianę 2 – 3 przedstawia poziomy odcinek ze strzałką skierowaną w prawo. Nad tym odcinkiem narysowano szeroką, pionową strzałkę skierowaną w dół, w kierunku wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 2. Strzałka symbolizuje ciepło pobrane przez gaz. Trzecią przemianę 3 – 4 przedstawia pionowy odcinek ze strzałką skierowaną w dół. Na prawo od tego odcinka narysowano szeroką, poziomą strzałkę skierowaną w prawo, w kierunku od wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 3. Strzałka symbolizuje ciepło oddane przez gaz. Trzecią przemianę 4 – 1 przedstawia poziomy odcinek ze strzałką skierowaną w lewo. Na prawo od tego odcinka narysowano szeroką, pionową strzałkę skierowaną w dół, w kierunku od wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 4. Strzałka symbolizuje ciepło oddane przez gaz. — Rys. 1. Na cykl termodynamiczny składają się dwie przemiany izochoryczne: (1) – (2) i (3) – (4) oraz dwie przemiany izobaryczne: (2) – (3) i (4) – (1). Gaz pobiera ciepło w przemianach: (1) – (2) i (2) – (3), a oddaje w przemianach: (3) – (4) i (4) – (1).

Całkowite ciepło pobrane wynosi QIndeks dolny p = QIndeks dolny 1 + QIndeks dolny 2, a całkowite ciepło oddane QIndeks dolny od = QIndeks dolny 3 + QIndeks dolny 4.

W całym cyklu różnica między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym wynosi:

Q_{p} - Q_{od} = Q_{1} + Q_{2} - Q_{3} - Q_{4}

Sprawdźmy, czy więcej ciepła gaz oddał czy pobrał.

Ciepło pobrane spowodowało zwiększenie temperatury gazu o deltaT. Przy stałej objętości jego wartość wynosi QIndeks dolny 1 = nCIndeks dolny VdeltaT, a przy stałym ciśnieniu QIndeks dolny 2 = nCIndeks dolny p deltaT, gdzie n jest liczbą moli gazu, CIndeks dolny V – ciepłem molowymciepło moloweciepłem molowym przy stałej objętości , CIndeks dolny p - ciepłem molowymciepło moloweciepłem molowym przy stałym ciśnieniu.

Temperatury obliczymy, korzystając z równania Clapeyrona: $p V = n R T$ , więc $T = \frac{pV}{nR}$ .

Temperatura w stanie (1): $T_{1} = \frac{p_{1} V_{1}}{nR}$ ;

Temperatura w stanie (2): $T_{2} = \frac{p_{2} V_{1}}{nR}$ ;

Temperatura w stanie (3): $T_{3} = \frac{p_{2} V_{2}}{nR}$ ;

Temperatura w stanie (4): $T_{4} = \frac{p_{1} V_{2}}{nR} .$

Wartości ciepła pobranego lub oddanego w poszczególnych przemianach wynoszą:

$Q_{1} = n C_{V} (T_{2} - T_{1}) = n C_{V} \frac{V_{1}}{nR} (p_{2} - p_{1})$ ;

$Q_{2} = n C_{p} (T_{3} - T_{2}) = n C_{p} \frac{p_{2}}{nR} (V_{2} - V_{1})$ ;

$Q_{3} = n C_{V} (T_{4} - T_{3}) = n C_{V} \frac{V_{2}}{nR} (p_{2} - p_{1})$ ;

$Q_{4} = n C_{p} (T_{4} - T_{1}) = n C_{p} \frac{p_{1}}{nR} (V_{2} - V_{1}) .$

Różnica między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym w cyklu wynosi:

$Q_{p} - Q_{od} = n C_{V} \frac{V_{1}}{nR} (p_{2} - p_{1}) + n C_{p} \frac{p_{2}}{nR} (V_{2} - V_{1}) - n C_{V} \frac{V_{2}}{nR} (p_{2} - p_{1}) - n C_{p} \frac{p_{1}}{nR} (V_{2} - V_{1})$

Wyciągając wspólny czynnik przed nawias otrzymujemy:

$Q_{p} - Q_{od} = - \frac{n C_{V}}{nR} (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1}) + \frac{n C_{p}}{nR} (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1}) = (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1}) \frac{(C_{p} - C_{V})}{R}$

A ponieważ różnica ciepeł molowychciepło moloweciepeł molowych CIndeks dolny p – CIndeks dolny V = R otrzymaliśmy wzór na różnicę między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym w cyklu:

$Q_{p} - Q_{od} = (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1})$

Oba czynniki iloczynu są dodatnie, bo $p_{2} > p_{1}$ i $V_{2} > V_{1}$ , więc $Q_{p} > Q_{od}$ .

W cyklu gaz pobrał więcej energii cieplnej niż oddał. A co stało się z różnicą energii? Przecież energia musi być zawsze zachowana.

Obliczmy pracę wykonaną w cyklu. Praca wykonywana jest tylko w przemianach izobarycznychprzemiana izobarycznaprzemianach izobarycznych – możemy obliczyć ją ze wzoru W = pdeltaV, gdzie deltaV to zmiana objętości, a p jest ciśnieniem. W przemianach izochorycznychprzemiana izochorycznaprzemianach izochorycznych, w których tłok się nie przesuwa, praca równa jest zeru.

W przemianie (2) – (3) pracę wykonuje gaz, który się rozpręża. Wartość pracy gazu wynosi:

W_{1} = p_{2} (V_{2} - V_{1})

a w przemianie (4) – (1) dodatnią pracę wykonuje siłą zewnętrzna podczas sprężania gazu. Wartość pracy siły zewnętrznej wynosi:

W_{2} = p_{1} (V_{2} - V_{1})

Zysk pracy lub praca „netto” w cyklu wynosi:

{W = W}_{1} {- W}_{2} = p_{2} (V_{2} - V_{1}) - p_{1} (V_{2} - V_{1}) = (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1})

Odnalazła się brakująca energia!

Wartość pracy zyskanej w cyklu termodynamicznym jest równa różnicy między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym.

W = Q_{p} - Q_{od}

Zauważmy, że $(p_{2} - p_{1})$ to długość jednego boku prostokąta utworzonego przez wykresy przemian na Rys. 1., a $(V_{2} - V_{1})$ to długość drugiego boku.

Wartość pracy zyskanej w cyklu jest równa polu powierzchni prostokąta zawartego między wykresami przemian.

Zastanówmy się, jakie warunki powinno spełniać otoczenie pojemnika, w którym gaz poddawany jest przemianom. Gdy gaz pobiera ciepło w przemianach (1) – (2) i (2) – (3), musi mieć kontakt ze zbiornikiem o wyższej temperaturze niż aktualna temperatura gazu, bo tylko wtedy ciepło popłynie do gazu. Natomiast w przemianach (3) – (4) i (4) – (1) gaz oddaje ciepło do zbiornika o temperaturze niższej. Tak właśnie działa silnik termodynamiczny – ciepło jest pobierane ze zbiornika o wyższej temperaturze, część jest zamieniana na pracę, a reszta oddawana do zbiornika o niższej temperaturze.

A jaki jest bilans cyklu, w którym wszystkie warunki pozostaną bez zmian, ale cykl przebiega w odwrotnym kierunku (Rys. 2.)?

R1aKAMsxNYLej

Rys. 2. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość oznaczoną literą wielkie V, na osi pionowej ciśnienie oznaczone literą małe p. Wykres składa się z dwóch pionowych i dwóch poziomych odcinków tworzących prostokąt. Wierzchołki prostokąta oznaczone są cyframi od 1 do 4. Wierzchołek lewy, dolny oznaczony jest cyfrą 1 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 1 oraz małe p z indeksem dolnym 1. Wierzchołek lewy, górny oznaczony jest cyfrą 2 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 1 oraz małe p z indeksem dolnym 2. Wierzchołek prawy, górny oznaczony jest cyfrą 3 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 2 oraz małe p z indeksem dolnym 2. Wierzchołek prawy, dolny oznaczony jest cyfrą 4 i ma współrzędne oznaczone literami wielkie V z indeksem dolnym 2 oraz małe p z indeksem dolnym 1. Pierwszą przemianę 1 – 2 przedstawia pionowy odcinek ze strzałką skierowaną w dół. Na lewo od tego odcinka narysowano szeroką, poziomą strzałkę, skierowaną w lewo, w kierunku od wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 1. Strzałka symbolizuje ciepło oddane przez gaz. Drugą przemianę 2 – 3 przedstawia poziomy odcinek ze strzałką skierowaną w lewo. Nad tym odcinkiem narysowano szeroką, pionową strzałkę skierowaną w górę, w kierunku od wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 2. Strzałka symbolizuje ciepło oddane przez gaz. Trzecią przemianę 3 – 4 przedstawia pionowy odcinek ze strzałką skierowaną w górę. Na prawo od tego odcinka narysowano szeroką, poziomą strzałkę skierowaną w lewo, w kierunku wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 3. Strzałka symbolizuje ciepło pobrane przez gaz. Trzecią przemianę 4 – 1 przedstawia poziomy odcinek ze strzałką skierowaną w lewo. Na prawo od tego odcinka narysowano szeroką, pionową strzałkę skierowaną w górę, w kierunku wykresu, i podpisaną literą wielkie Q z indeksem dolnym 4. Strzałka symbolizuje ciepło pobrane przez gaz. — Rys. 2. Cykl termodynamiczny przebiegający w przeciwnym kierunku niż cykl pokazany na Rys. 1. Gaz pobiera ciepło w przemianach (1) – (4) i (4) – (3), a oddaje w przemianach (3) – (2) i (2) – (1).

Stany początkowe każdej przemiany zamieniły się miejscami ze stanami końcowymi: zamiast przemiany (2) – (3) mamy przemianę (3) – (2) itd. Gaz wykonuje pracę w przemianie (1) – (4), a siła zewnętrzna w przemianie (3) – (2). Praca „netto” wynosi teraz:

W = p_{1} (V_{2} - V_{1}) - p_{2} (V_{2} - V_{3}) = (p_{1} - p_{2}) (V_{2} - V_{1}) = - (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1})

Praca „netto” jest ujemna. Oznacza to, że przeprowadzenie tego cyklu wymaga dostarczenia energii. Siła zewnętrzna musi wykonać większą pracę niż gaz. Wartość dostarczonej pracy równa jest polu powierzchni zawartej między wykresami przemian.

Porównajmy ciepło pobrane w cyklu z ciepłem oddanym.

Całkowite ciepło pobrane wynosi teraz QIndeks dolny p = QIndeks dolny 4 + QIndeks dolny 3, a całkowite ciepło oddane QIndeks dolny od = QIndeks dolny 2 + QIndeks dolny 1.

W całym cyklu różnica między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym wynosi:

Q_{p} - Q_{od} = Q_{4} + Q_{3} - Q_{2} - Q_{1}

Podstawiając wzory na ciepła pobrane i oddane w poszczególnych przemianach otrzymamy:

Q_{p} - Q_{od} = n C_{p} \frac{p_{1}}{nR} (V_{2} - V_{1}) + n C_{V} \frac{V_{2}}{nR} (p_{2} - p_{1}) - n C_{p} \frac{p_{2}}{nR} (V_{2} - V_{1}) - n C_{V} \frac{V_{1}}{nR} (p_{2} - p_{1})

Po przekształceniach różnica między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym przybierze postać:

Q_{p} - Q_{od} = (p_{1} - p_{2}) (V_{2} - V_{1}) = - (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1})

Różnica między ciepłem pobranym a ciepłem oddanym jest ujemna, czyli gaz oddaje więcej ciepła niż pobiera. Jest to możliwe, bo podczas cyklu dostarczana jest energia w postaci pracy. Wartość ciepła oddanego równa jest sumie wartości ciepła pobranego i wartości pracy dostarczonej w cyklu.

Q_{od} = Q_{p} + (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{1}) = Q_{od} + | W |

Jaki będzie skutek tego cyklu? Ciepło pobierane jest teraz ze zbiornika o niższej temperaturze, a oddawane do zbiornika o wyższej temperaturze. Powiększa się więc różnica temperatur między zbiornikami. Aby cykl mógł przebiegać z takim właśnie skutkiem, musi być dostarczana energia. To warunek działania urządzeń, których celem jest zwiększanie różnicy temperatur między różnym obszarami, jak lodówka czy pompa ciepła. W lodówce ciepło pobierane jest wewnątrz lodówki, a oddawane na zewnątrz. W pompie cieplnej, służącej do ogrzewania pomieszczeń, ciepło pobierane jest z otoczenia na zewnątrz domu, a oddawane wewnątrz domu. Oczywiście urządzania te nie działają bez zasilania.

Podsumujmy nasze rozważania.

Jeśli cykl termodynamiczny przedstawiony na wykresie p – V ma przebieg zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to urządzenie działające w tym cyklu jest silnikiem termodynamicznym, jeśli przebieg jest przeciwny, to urządzenie działające w tym cyklu jest chłodziarką lub pompą ciepła.

Słowniczek

przemiana izochoryczna

(ang.: isochoric process) przemiana gazu doskonałego, w której stała jest objętość, a ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury w skali Kelvina: $\frac{p}{T} = c o n s t$ .

przemiana izobaryczna

(ang.: isobaric process) przemiana gazu doskonałego, w której stałe jest ciśnienie, a objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury w skali Kelvina: $\frac{V}{T} = c o n s t$ .

przemiana izotermiczna

(ang.: isothermic process) przemiana gazu doskonałego, w której stała jest temperatura, a ciśnienie jest wprost odwrotnie do objętości: $p V = c o n s t$ .

ciepło molowe

(ang.: molar heat) ciepło, które pobiera 1 mol substancji podczas zwiększenia temperatury o 1 K. Dla gazów definiuje się ciepło molowe przy stałym ciśnieniu CIndeks dolny p, jako ciepło pobrane przez 1 mol gazu podczas zwiększania temperatury o 1 K w przemianie izobarycznej i ciepło molowe przy stałej objętości CIndeks dolny V, jako ciepło pobrane przez 1 mol gazu podczas zwiększania temperatury o 1 K w przemianie izochorycznej.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek