Warto przeczytać

Rozpatrzmy następującą sytuację: po torach jedzie pociąg, a równolegle do torów biegnie droga, którą jedzie samochód. Chcemy dowiedzieć się, ile czasu będzie potrzebował samochód na wyprzedzenie pociągu.

R12jf0FFfDdsr

Rys. 1. Ilustracja przedstawia zdjęcie nadjeżdżającego pociągu osobowego. Szary pociąg nadjeżdża po torach kolejowych usytuowanych wśród pól i drzew. Prędkość z jaką porusza się pociąg zależy od układu odniesienia. Inna będzie prędkość obserwowana przez osobę stojącą w miejscu, a inna byłaby obserwowana przez osobę znajdującą się na przykład w innym pociągu zbliżającym się lub oddalającym od nadjeżdżającego składu kolejowego. Dlatego prędkość zawsze określana jest względem punktu lub układu odniesienia.

Aby ten problem rozwiązać musimy przede wszystkim wiedzieć, jakiej długości jest pociąg oraz samochód, a także, z jaką prędkością poruszają się oba pojazdy.

Załóżmy zatem, że pociąg ma długość $L = 200\,\text{m}$ i porusza się z prędkością $v_p = 72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$, a samochód ma długość $s = 4\,\text{m}$ i jedzie z prędkością $v_s = 90\,\text{km/h} = 25\,\text{m/s}$.

Rozpatrzymy tę sytuację w dwóch układach odniesieniaukład odniesieniaukładach odniesienia – pierwszy będzie związany z powierzchnią Ziemi, drugi – z pociągiem.

Zacznijmy od układu odniesienia związanego z powierzchnią Ziemi. Układ współrzędnych z nim związany umieszczamy w taki sposób, że oś $x$ jest równoległa do drogi i torów. Przyjmiemy, że $t = 0$ to chwila, w którym samochód dogania pociąg, a punkt o współrzędnej $x = 0$ umieścimy tam, gdzie w tym momencie znajduje się koniec pociągu (Rys. 2.).

RdHpF3Wgt98Zg

Rys. 2. Ilustracja przedstawia narysowany zielony pociąg na torach, którego lokomotywa skierowana jest w prawą stronę oraz niebieski samochód osobowy, którego przód skierowany jest również w prawą stronę. Pod rysunkiem widoczna jest pozioma oś skierowana w prawo, narysowana czarną strzałką i opisana małą literą x. Rysunek samochodu widoczny jest nieco nad rysunkiem pociągu. Przód samochodu znajduje się dokładnie w tym samym położeniu co koniec pociągu. Punkt ten zaznaczono na osi położenia jako cyfra zero. Położenie czoła pociągu zaznaczono również na osi (mała litera x) jako dwieście metrów. Jest to długość pociągu.

Zapiszemy teraz równania zależności współrzędnej położeniapołożeniepołożenia od czasu dla obu pojazdów. Ponieważ zarówno pociąg jak i samochód nie są obiektami punktowymi (i ich niezerowa długość jest tutaj bardzo istotna) przyjmiemy, że przez położenie samochodu, czy pociągu rozumiemy położenie najbardziej wysuniętego wprzód punktu każdego z pojazdów.

Oznacza to, że zależność współrzędnej położenia od czasu dla samochodu ma postać

a zależność współrzędnej położenia od czasu w przypadku pociągu to

gdyż przód pociągu znajduje się o $L = 200\,\text{m}$ dalej niż przód samochodu.

Samochód wyprzedzi pociąg, gdy jego położenie będzie o $s = 4\,\text{m}$ (czyli jego długość) większe od położenia pociągu, tj. gdy

co daje równanie

Przyjmujemy w obliczeniach, że tył samochodu zrównał się z początkiem pociągu. Po odpowiednich przekształceniach, polegających na zastosowaniu równań ruchu, dostajemy czas potrzebny na wyprzedzenie pociągu równy

Czyli samochód wyprzedzi pociąg po czasie 40,8 s, a pociąg w tym czasie przejedzie 1020 m i sytuacja będzie wyglądać tak, jak na Rys. 3.

R11zVMLpjf7tR

Rys. 3. Ilustracja przedstawia narysowany zielony pociąg na torach, którego lokomotywa skierowana jest w prawą stronę oraz niebieski samochód osobowy, którego przód skierowany jest również w prawą stronę. Pod rysunkiem widoczna jest pozioma oś skierowana w prawo, narysowana czarną strzałką i opisana małą literą x. Rysunek samochodu widoczny jest nieco nad rysunkiem pociągu. Tył samochodu znajduje się dokładnie w tym samym położeniu, co początek pociągu. Punkt ten zaznaczono na osi położenia jako tysiąc dwadzieścia metrów.

Przenieśmy się teraz do układu odniesienia związanego z pociągiem. Układ współrzędnych umieszczamy znów tak, aby oś $x$ była równoległa do drogi, a samochód miał w położeniu początkowym współrzędną $x = 0$, ale tym razem układ współrzędnych będzie się przemieszczał razem z pociągiem.

W chwili $t = 0$ sytuacja będzie wyglądała więc bardzo podobnie do poprzedniej.

RLz50h8bwv63D

Rys. 4. Ilustracja przedstawia narysowany zielony pociąg na torach, którego lokomotywa skierowana jest w prawą stronę oraz niebieski samochód osobowy, którego przód skierowany jest również w prawą stronę. Pod rysunkiem widoczna jest pozioma oś skierowana w prawo, narysowana czarną strzałką i opisana małą literą x. Rysunek samochodu widoczny jest nieco nad rysunkiem pociągu. Przód samochodu znajduje się dokładnie w tym samym położeniu co koniec pociągu. Punkt ten zaznaczono na osi położenia jako cyfra zero. Położenie czoła pociągu zaznaczono również na osi małą literą x jako dwieście metrów. Jest to długość pociągu.

Zasadniczą różnicą będą jednak prędkościprędkośćprędkości obu pojazdów. Prędkość pociągu w tym układzie odniesienia wynosi zero, a prędkość samochodu względem pociągu to

W układzie odniesienia związanym z pociągiem nasz problem staje się dużo prostszy – samochód musi minąć nieruchomy pociąg, jadąc z prędkością $v = 5\,\text{m/s}$. Musi więc przejechać drogędrogadrogę równą $L + s$ (Rys. 5.).

RjiqZCO6bCLpL

Rys. 5. Ilustracja przedstawia narysowany zielony pociąg na torach, którego lokomotywa skierowana jest w prawą stronę oraz niebieski samochód osobowy, którego przód skierowany jest również w prawą stronę. Pod rysunkiem widoczna jest pozioma oś skierowana w prawo, narysowana czarną strzałką i opisana małą literą x. Rysunek samochodu widoczny jest nieco nad rysunkiem pociągu. Tył samochodu znajduje się dokładnie w tym samym położeniu co czoło pociągu. Punkt ten zaznaczono na osi położenia, jako dwieście metrów.

Zatem

Otrzymany czas jest oczywiście taki sam, jak w poprzednim przypadku.

Słowniczek