Krawędzie prostopadłościanu mają długości: $2$, $4$, $6$. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekątnej tego prostopadłościanu do przekątnej jego podstawy.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R18G4B0d6m9TY

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy 4 i 2, oraz wysokości równej sześć. Zaznaczono trójkąt, którego przyprostokątne stanowią przekątna podstawy, oraz wysokość, natomiast przeciwprostokątna pokrywa się z przekątną prostopadłościanu. Zaznaczono kąt alfa w trójkącie, znajdujący się pomiędzy przekątną prostopadłościanu a przekątną podstawy dolnej.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość przekątnej podstawy prostopadłościanu, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$x^2=4^2+2^2$,

$x^2=20$,

$x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Korzystając z trójkata prostokątnego z poniższego rysunku, mamy:

R1Dwg7lFfOUDA

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny, o przyprostokątnych równych $2\sqrt{5}$ i sześć. Zaznaczono kąt alfa, znajdujący się naprzeciw przyprostokątnej równej sześć.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Miarę kąta $\alpha$ odczytujemy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

Zatem $\alpha \approx 53°$.

Wiadomo, że kąt między przekątną prostopadłościanu a krawędzią boczną ma miarę $60°$. Wyznaczymy sumę długości krawędzi tego prostopadłościanu, jeżeli przekątna prostopadłościanu ma długość $20$, a jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia.

REmHdfX7WgJD0

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy oznaczonych a i 2a, oraz wysokości oznaczonej b. Poprowadzono przekątną podstawy oznaczoną x, oraz przekątną bryły wynoszącą dwadzieścia. Zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przyprostokątna pokrywa się z przekątną podstawy oraz wysokością b. Przeciwprostokątna stanowi przekątną bryły. Naprzeciw przyprostokątnej x, w trójkącie zaznaczono kąt $60°$.

Zauważmy, że otrzymujemy trójkąt prostokątny o kątach $30°$, $60°$, $90°$, zatem:

$b=10$,

$x=10\sqrt{3}$.

Do wyznaczenia wartości $a$ wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:

${\left(2a\right)}^2+a^2={\left(10\sqrt{3}\right)}^2$

stąd:

$5a^2=300$, czyli $a=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$

Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długości $2\sqrt{15}$ i $4\sqrt{15}$.

Wobec tego suma długości krawędzi tego prostopadłościanu jest równa:

$4·2\sqrt{15}+4·4\sqrt{15}+4·10=24\sqrt{15}+40$.

Wyznaczymy miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do przekątnej ściany o największej powierzchni, jeżeli długości krawędzi prostopadłościanu pozostają w stosunku $1:2:4$.

Rozwiązanie:

Jeżeli długości krawędzi prostopadłościanu pozostają w stosunku $1:2:4$, to ich długości możemy wyrazić za pomocą wielkości $a,2a,4a$, gdzie $a\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Zatem ściana o największej powierzchni ma wymiary $2a$ oraz $4a$.

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RfGrDT9vgfaQl

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy a i dwa a, oraz wysokości równej cztery a. Literą x oznaczono przekątną ściany bocznej o krawędzi dwa a. Literą d oznaczono przekątną prostopadłościanu. Zaznaczono trójkąt o bokach a, d, x oraz kąt alfa między bokiem d i x.

Ponieważ $d$ jest długością przekątnej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu, mamy:

$d=\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=\sqrt{a^2+4a^2+16a^2}=\sqrt{21}a$

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

R1Z6L7GuWcEuE

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, x i przeciwprostokątnej d. Naprzeciw przyprostokątnej a, zaznaczono kąt alfa.

Zatem korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus mamy:

$\sin \alpha =\frac{a}{d}=\frac{a}{\sqrt{21}a}=\frac{1}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{21}\approx 0,2182$

Wobec tego, jeżeli wykorzystujemy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to $\alpha \approx 13°$.

Wiadomo, że kąt między przekątną prostopadłościanu o podstawie kwadratowej, a przekątną ściany bocznej ma miarę $30°$. Wyznaczymy długości krawędzi tego prostopadłościanu, jeżeli przekątna ściany bocznej ma długość $6$.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R170tSU1HLTRg

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy oznaczonych a, oraz wysokości oznaczonej b. Przekątna ściany bocznej jest równa sześć. Zaznaczono kąt $30°$ pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną bryły, oraz kąt $90°$, pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej.

Z trójkąta o kątach $30°$, $60°$, $90°$ otrzymujemy, że $a=2\sqrt{3}$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$b^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=6^2$,

$b^2+12=36$,

$b^2=24$, czyli $b=2\sqrt{6}$.

Krawędź podstawy rozpatrywanego prostopadłościanu ma długość $2\sqrt{3}$, a krawędź boczna ma długość $2\sqrt{6}$.

Wyznaczymy miarę kąta ostrego między przekątnymi prostopadłościanu, w którym krawędzie podstawy mają długości $6$ i $4$, a krawędź boczna ma długość $8$.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RCNBWwtWrLCJ7

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy 4 i 6, oraz wysokości równej osiem. Zaznaczono dwie przekątne bryły oraz kąt ostry pomiędzy nimi.

Niech $d$ będzie długością przekątnej prostopadłościanu. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu mamy:

$d=\sqrt{6^2+4^2+8^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość przekątnej podstawy prostopadłościanu, to $x=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Do wyznaczenia miary kąta $\alpha$ pomiędzy przekątnymi prostopadłościanu rozpatrujemy trójkąt równoramienny, którego długość podstawy jest równa długości przekątnej podstawy prostopadłościanu, a długości ramion są równe połowie długości przekątnej prostopadłościanu.

R1Qz57eS6L5Aw

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABC, o ramionach długości $\sqrt{29}$, oraz podstawie AB równej $2\sqrt{13}$. Zaznaczono wysokość trójkąta, oraz kąt alfa przy wierzchołku C.

Do wyznaczenia miary kąta zastosujemy twierdzenie cosinusów.

Zatem:

${\left(2\sqrt{13}\right)}^2={\left(\sqrt{29}\right)}^2+{\left(\sqrt{29}\right)}^2-2·\sqrt{29}·\sqrt{29}·\cos \alpha$,

stąd:

$52=29+29-2·29·\cos \alpha$,

$\cos \alpha =\frac{6}{58}\approx 0,1034$.

Jeżeli wykorzystujemy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to $\alpha \approx 84°$.

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu, którego podstawa ma wymiary $6$ na $3$ a krawędź boczna ma długość $3\sqrt{3}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RsXCXgt4QrM4g

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o krawędziach podstawy trzy i sześć i wysokości równej $3\sqrt{3}$. Zaznaczono przekątną y ściany bocznej o krawędzi 6, oraz przekątną z, ściany bocznej o krawędzi trzy. Literą x oznaczono przekątną podstawy. Zaznaczono trójkąt x y z, oraz kąt alfa pomiędzy bokami y i z.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość przekątnej podstawy prostopadłościanu, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:

$x^2=3^2+6^2$

Zatem $x=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

Jeżeli przez $y$ i $z$ oznaczymy długości przekątnych ścian bocznych prostopadłościanu, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równania:

$y^2=6^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2$, zatem $y=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$

$z^2=3^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2$, zatem $z=6$

Niech $\alpha$ będzie miarą kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu.

Wówczas miarę tego kąta wyznaczymy z twierdzenia cosinusów, korzystając z trójkąta z poniższego rysunku.

RKXI2FVO68VnT

Na ilustracji przedstawiono trójkąt o bokach x, y, z. Na podstawę x, upuszczono wysokość. Zaznaczono kąt alfa pomiędzy bokami y i z.

Wobec tego mamy:

$x^2=y^2+z^2-2·y·z·\cos \alpha$

Zatem:

${\left(3\sqrt{5}\right)}^2={\left(3\sqrt{7}\right)}^2+6^2-2·3\sqrt{7}·6·\cos \alpha$

$45=63+36-36\sqrt{7}\cos \alpha$

$\cos \alpha =\frac{3}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}\approx 0,5669$

Jeżeli wykorzystujemy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to $\alpha \approx 55°$.

równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem