Przeczytaj

Jeśli chcemy udowodnić, że dany kąt jest kątem prostym na płaszczyźnie, możemy użyć twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Mówi ono, że jeśli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt ten jest prostokątny. Wiadomo również, że kątem prostym jest wtedy kąt leżący naprzeciw najdłuższego boku. Twierdzenie to jest jednym z narzędzi pozwalającym badać prostopadłość prostych. W tym materiale poznamy kolejne twierdzenie mówiące, kiedy dwie proste są prostopadłe. Zanim przejdziemy do omówienia samego twierdzenia i jego dowodu przypomnijmy pewne fakty.

Prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawierającej się w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt wspólny prostej $k$ i płaszczyzny $p$ .

Rzutem prostopadłym punktu na płaszczyznę jest punkt przecięcia prostej prostopadłej do tej płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt z tą płaszczyzną.

Dane są przecinające się płaszczyzny $p$ i $q$ . Jeżeli prosta $k$ zawarta w płaszczyźnie $p$ jest prostopadła do dwóch prostych $l$ i $m$ zawartych w płaszczyźnie $q$ , gdzie proste $k$ , $l$ i $m$ przecinają się w jednym punkcie, to płaszczyzna $p$ jest prostopadła do płaszczyzny $q$ .

O trzech prostych prostopadłych

Twierdzenie: O trzech prostych prostopadłych

Dana jest płaszczyzna $α$ i prosta $k$ przecinająca tę płaszczyznę w punkcie $P$ . Niech $k'$ będzie rzutem prostopadłymrzutem prostopadłym prostej $k$ na płaszczyznę $α$ . Wtedy prosta $m$ zawarta w płaszczyźnie $α$ i przechodząca przez punkt $P$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $k'$ , czyli

$m\perp k\Leftrightarrow m'\perp k'$

R2BBGaXHXXyFM

Ilustracja przedstawia płaszczyznę. Przechodzą przez nią dwie proste, prosta m oraz prosta k prim. Są one względem siebie prostopadłe. Prosta k przecina płaszczyznę pod kątem 90 stopni. W miejscu przecięcia płaszczyzny powstaje punkt P.

Dowód

Ponieważ prosta $k'$ jest rzutem prostej $k$ na płaszczyznę $α$ , więc płaszczyzna wyznaczona przez proste $k$ i $k'$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ .

Oznaczmy tę płaszczyznę przez $β$ .
Poprowadźmy prostą $l$ zawartą w płaszczyźnie $β$ , prostopadłą do prostej $k'$ i przechodzącą przez punkt $P$ . Wtedy prosta $l$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ . Zatem prosta $l$ jest prostopadła do prostej $m$ .

Jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k'$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $β$ , gdyż jest prostopadła do dwóch prostych zawartych w tej płaszczyźnie: $k'$ i $l$ . Stąd prosta $m$ jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $β$ , w szczególności do prostej $k$ .

Jeśli prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $β$ , gdyż jest prostopadła do dwóch prostych zawartych w tej płaszczyźnie: $k$ i $l$ . Stąd prosta $m$ jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $β$ , w szczególności do prostej $k'$ .

Przykład 1

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ nachylona pod kątem $60 °$ do płaszczyzny $p$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłymrzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ .
Wiedząc, że $|A B| = 3$ , $|A C| = \sqrt{13}$ i $|B C| = 2$ obliczymy odległość pomiędzy punktami $A$ i $D$ .

Rozwiązanie

RQ6piYcelIhTM

Ilustracja przedstawia płaszczyznę p. Na płaszczyźnie umieszczono prostą oraz dwa punkty A i B. Przez płaszczyznę oraz punkt B przechodzi kolejna prosta oznaczona jako prosta k, która jest nachylona o 60 stopni do płaszczyzny p. Na prostej k zaznaczono punkt D, który dzięki rzutowi prostopadłemu na płaszczyznę tworzy punkt C.

Zauważmy, że ${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} = {|A C|}^{2}$ , więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt $A B C$ jest kątem prostym.

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B D$ , czyli trójkąt $A B D$ jest trójkątem prostokątnym.

Z trójkąta prostokątnego $B C D$ otrzymujemy $\frac{2}{|B D|} = \frac{1}{2}$ , czyli $|B D| = 4$ .

Z trójkąta prostokątnego $A B D$ otrzymujemy $|A D| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Przykład 2

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ nachylona pod kątem $α$ do płaszczyzny $p$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ . Wiedząc, że $|A B| = |B D| = a$ i pole trójkąta $A B D$ wynosi $\frac{1}{2} a^{2}$ obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Rmdg74iSJnGkc

Oznaczmy przez $β$ kąt $A B D$ . Wówczas $\frac{1}{2} a^{2} \sin β = \frac{1}{2} a^{2}$ , czyli $\sin β = 1$ . Stąd $β = 90 °$ .

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ .

Z trójkąta prostokątnego $B C D$ otrzymujemy $\frac{|B C|}{a} = \cos α$ , czyli $|B C| = a \cos α$ . Pole trójkąta prostokątnego $A B C$ wynosi $P = \frac{1}{2} a^{2} \cos α$ .

Przykład 3

Na płaszczyźnie $p$ dane są dwa punkty $A$ i $B$ . Przez punkt $B$ przechodzi prosta $k$ . Na prostej $k$ dany jest punkt $D$ , którego rzutem prostopadłym na płaszczyznę $p$ jest punkt $C$ . Wiedząc, że prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ oraz stosunek pola trójkąta $A B C$ do pola trójkąta $A B D$ wynosi $s \leq 1$ wyznaczymy kąt, pod jakim prosta $k$ nachylona jest do płaszczyzny $p$ .

Rozwiązanie

R1RTV4268sK27

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $B C$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $k$ .

Oznaczmy kąt $C B D$ trójkąta prostokątnego $B C D$ przez $α$ . Kąt ten jest również kątem nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $p$ .

Ponieważ trójkąty $A B C$ i $A B D$ są prostokątne, więc $\frac{P_{△ A B C}}{P_{△ A B D}} = \frac{|A B| \cdot |B C|}{|A B| \cdot |B D|} = \frac{|B C|}{|B D|} = \cos α$ . Stąd $\cos α = s$ .

Prosta $k$ przecina płaszczyznę $p$ pod kątem $α$ spełniającym równanie $\cos α = s$ , gdzie $0 ° \leq α \leq 90 °$ .

Przykład 4

Dane są trzy punkty $A$ , $B$ i $C$ takie, że $|A C| = |B C|$ . Punkt $E$ jest środkiem odcinka $A B$ . Dany jest punkt $D$ taki, że prosta $D E$ jest prostopadła do prostej $A B$ . Uzasadnimy, że rzut prostopadły punktu $D$ na płaszczyznę $A B C$ należy do prostej $C E$ .

Rozwiązanie

RQO9JjhBRQCIO

Ilustracja przedstawia płaszczyznę na której zaznaczono trzy punkty A B i C. Odległość AC jest taka sama jak odległość BC. Punkt E jest środkiem odcinka AB. Nad płaszczyzną znajduję się punkt D, odcinek DE jest prostopadły do prostej AB.

Ponieważ trójkąt $A B C$ jest trójkątem równoramiennym $(|A C| = |B C|)$ , więc prosta $C E$ jest prostopadła do prostej $A B$ .

Niech punkt $F$ będzie rzutem prostopadłym punktu $D$ na płaszczyznę $A B C$ .

Ponieważ prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $D E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B$ jest prostopadła do $E F$ .

Proste $A B$ , $C E$ i $E F$ leżą w jednej płaszczyźnie oraz prosta $A B$ jest prostopadła do prostej $C E$ oraz $E F$ . Zatem proste $C E$ i $E F$ się pokrywają. Stąd punkt $F$ leży na prostej $C E$ .

Słownik

rzut prostopadły punktu na płaszczyznę

punkt przecięcia prostej prostopadłej do tej płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt z tą płaszczyzną

Wprowadzenie

Aplet

Słownik