Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Granice jednostronne - przypomnienie

Przypomnijmy definicję granic jednostronnych funkcji w punkcie w sensie Heinego.

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego
Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba jest granicą lewostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco

Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego
Definicja: Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba jest granicą prawostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco

Intuicyjnie powyższe definicje oznaczają, że wyznaczając np. granicę lewostronną funkcji w pewnym punkcie, dążymy do tego punktu jedynie z jego lewej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty mniejsze od tego punktu.

R1dKsK9V9MNMX

Analogicznie w przypadku granicy prawostronnej funkcji w punkcie dążymy do tego punktu jedynie z jego prawej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty większe od tego punktu.

R3xga7FpwGEUr

Związek granic jednostronnych z granicą funkcji w punkcie

Poniższe twierdzenie podaje związek pomiędzy granicami jednostronnymi funkcji w punkcie oraz granicą funkcji w punkcie.

o istnieniu granicy funkcji w punkcie
Twierdzenie: o istnieniu granicy funkcji w punkcie

Jeśli posiada w punkcie granicę lewo- oraz prawostronną oraz granice te są równe, to wówczas posiada ona także granicę w tym punkcie oraz

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, tzn. jeśli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie, to posiada w tym punkcie również granice jednostronne. Ponadto granice te są sobie równe i dodatkowo równe wartości granicy funkcji w tym punkcie.

Przykład 1

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

f(x)={3x+4dla  x-12x2dla  x>-1

posiada granicę w punkcie . Obliczymy w tym celu granice jednostronne funkcji w tym punkcie. Weźmy najpierw dowolny ciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz Wówczas . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Zatem

Niech teraz ciąg argumentów będzie taki, że dla każdego oraz Wówczas . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Zatem również w tym przypadku

Ponieważ granice jednostronne funkcji w punkcie są takie same i równe , więc funkcja posiada granicę w tym punkcie oraz

Przykład 2

Niech funkcja dana będzie wzorem

f(x)={42x+1dla  x1234xdla  x<12

Sprawdzimy czy dana funkcja posiada granicę w punkcie . W tym celu weźmy ciąg argumentów funkcji taki, że oraz . Wówczas i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

Wynika stąd, że

Niech teraz ciąg argumentów funkcji będzie taki, że oraz . Wówczas . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy

Oznacza to, że

Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punkcie są różne. Wnioskujemy stąd, że funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.

Przykład 3

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

posiada granicę w punkcie . Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej możemy rozpatrzeć przypadki

  1. Jeśli , to wówczas oraz

  1. Jeśli , to wówczas oraz

Wzór funkcji możemy zatem zapisać w postaci

f(x)={x-6dla  x>16xdla  x<1

Weźmy teraz dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz . Wówczas . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika zatem, że

Stąd . Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcjiciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz , otrzymujemy . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika tym razem, że

Stąd . Ponieważ granice jednostronne funkcji w punkcie są różne, więc funkcja ta nie posiada granicy w tym punkcie.

Przykład 4

Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem

posiada granicę w punkcie . Zauważmy, że dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tzn. . Na początek zapiszemy powyższy wzór bez użycia wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

  1. Jeśli , to wówczas

  1. Jeśli , to wówczas

Zatem wzór funkcji możemy zapisać w postaci

f(x)={6x+2dla  x062-xdla  x<0

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji w punkcie . Niech najpierw będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji takim, że dla każdego oraz . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Stąd .

Niech teraz będzie dowolnym ciągiem argumentówciąg argumentów funkcjiciągiem argumentów funkcji takim, że dla każdego oraz . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy

Stąd . Ponieważ granica lewostronna funkcji w punkcie jest równa granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie więc funkcja ta posiada granicę w punkcie oraz

Słowniczek

wartość bezwzględna liczby
wartość bezwzględna liczby

wartość bezwzględną (moduł) liczby definiujemy następująco

|x|={xdla  x0xdla  x<0
ciąg argumentów funkcji
ciąg argumentów funkcji

ciąg którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji , tzn. ciąg spełniający warunek