Przeczytaj
Granice jednostronne - przypomnienie
Przypomnijmy definicję granic jednostronnych funkcji w punkcie w sensie Heinego.
Powiemy, że liczba jest granicą lewostronną funkcji : w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco
Powiemy, że liczba jest granicą prawostronną funkcji : w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco
Intuicyjnie powyższe definicje oznaczają, że wyznaczając np. granicę lewostronną funkcji w pewnym punkcie, dążymy do tego punktu jedynie z jego lewej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty mniejsze od tego punktu.
Analogicznie w przypadku granicy prawostronnej funkcji w punkcie dążymy do tego punktu jedynie z jego prawej strony, tzn. uwzględniamy tylko argumenty większe od tego punktu.
Związek granic jednostronnych z granicą funkcji w punkcie
Poniższe twierdzenie podaje związek pomiędzy granicami jednostronnymi funkcji w punkcie oraz granicą funkcji w punkcie.
Jeśli : posiada w punkcie granicę lewo – oraz prawostronną oraz granice te są równe, to wówczas posiada ona także granicę w tym punkcie oraz
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, tzn. jeśli funkcja posiada granicę w pewnym punkcie, to posiada w tym punkcie również granice jednostronne. Ponadto granice te są sobie równe i dodatkowo równe wartości granicy funkcji w tym punkcie.
Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem
posiada granicę w punkcie . Obliczymy w tym celu granice jednostronne funkcji w tym punkcie. Weźmy najpierw dowolny ciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz . Wówczas . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy
Zatem
Niech teraz ciąg argumentów będzie taki, że dla każdego oraz . Wówczas . Stąd oraz z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy
Zatem również w tym przypadku
Ponieważ granice jednostronne funkcji w punkcie są takie same i równe , więc funkcja posiada granicę w tym punkcie oraz
Niech funkcja : dana będzie wzorem
Sprawdzimy czy dana funkcja posiada granicę w punkcie . W tym celu weźmy ciąg argumentów funkcji taki, że oraz . Wówczas i z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy
Wynika stąd, że
Niech teraz ciąg argumentów funkcji będzie taki, że oraz . Wówczas . Stąd oraz z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych dostajemy
Oznacza to, że
Jak widzimy granice jednostronne funkcji w punkcie są różne. Wnioskujemy stąd, że funkcja nie posiada w tym punkcie granicy.
Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem
posiada granicę w punkcie . Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej możemy rozpatrzeć przypadki
Jeśli , to wówczas oraz
Jeśli , to wówczas oraz
Wzór funkcji możemy zatem zapisać w postaci
Weźmy teraz dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz . Wówczas . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika zatem, że
Stąd . Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg argumentówciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz , otrzymujemy . Z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych wynika tym razem, że
Stąd . Ponieważ granice jednostronne funkcji w punkcie są różne, więc funkcja ta nie posiada granicy w tym punkcie.
Sprawdzimy czy funkcja dana wzorem
posiada granicę w punkcie . Zauważmy, że dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tzn. . Na początek zapiszemy powyższy wzór bez użycia wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki
Jeśli , to wówczas
Jeśli , to wówczas
Zatem wzór funkcji możemy zapisać w postaci
Wyznaczymy granice jednostronne funkcji w punkcie . Niech najpierw będzie dowolnym ciągiem argumentówciągiem argumentów funkcji takim, że dla każdego oraz . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy
Stąd .
Niech teraz będzie dowolnym ciągiem argumentówciągiem argumentów funkcji takim, że dla każdego oraz . Wówczas korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów zbieżnych otrzymujemy
Stąd . Ponieważ granica lewostronna funkcji w punkcie jest równa granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie więc funkcja ta posiada granicę w punkcie oraz
Słownik
wartość bezwzględną (moduł) liczby definiujemy następująco
ciąg którego wszystkie wyrazy należą do dziedziny funkcji , tzn. ciąg spełniający warunek