iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do $n$. Oznaczamy ją $\mathrm{n}!$ I czytamy “$n$ silnia”. Z przyczyn praktycznych umawiamy się ponadto, że $0!=1$.

Obliczymy silnie kilku liczb naturalnych:

$0!=1$ (z definicji)

$1!=1$ (z definicji)

$2!=1·2=2$

$3!=1·2·3=6$

$4!=1·2·3·4=24$

$5!=1·2·3·4·5=120$

$6!=1·2·3·4·5·6=720$

Zwróć uwagę na to, jak szybko rosną liczby pod wpływem silni. Poniżej znajduje się wykres, który to obrazuje. Znajduje się tam kilka punktów, których drugie współrzędne są równe silniom z ich pierwszych współrzędnych.

RcBsBESBxdX1Z

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą N, na rysunku znajduje się jej fragment od zera do sześciu, przy czym liczby opisujące oś N występują co jedną drugą. Oś pionowa opisana jest jako N silnia. Zaczyna się w zerze i jest opisana do liczby siedemset pięćdziesiąt. Tutaj liczby opisujące oś występują co pięćdziesiąt. Ilustracja przedstawia przyrost silni za pomocą oznaczonych punktów, przy czym liczby osi poziomej to liczby poddane działaniu silni, a liczby osi pionowej to wartości silni. Na rysunku zaznaczone są punkty: dla silni zero punkt zero jeden, dla silni jeden punkt jeden jeden, dla silni dwa punkt dwa dwa, dla silni trzy punkt trzy sześć, dla silni cztery punkt cztery dwadzieścia cztery, dla silni pięć punkt pięć sto dwadzieścia, dla silni sześć punkt sześć siedemset dwadzieścia.

Zbadamy, ile kolejnych końcowych (licząc od rzędu jedności) zer ma liczba $24!$.

Z definicji silni wynika, że $24!=1·2·3·4·5·\dots ·9·10·11·\dots ·14·15·16·\dots ·19·20·21·22·23·24$

Zauważmy najpierw, że zero na końcu liczby bierze się z pomnożenia liczb $2$ i $5$$\left(2·5\right)=10$. Każdy z czynników $10$ i $20$ wygeneruje jedno końcowe zero. Iloczyn liczb $15$ i $4$ (czyli $60$) również spowoduje pojawienie się zera na końcu liczby. Zatem liczba $24!$ kończy się czterema zerami.

Zauważmy jeszcze, że aby uzyskać poprawny wynik, w iloczynie $2·5$ liczbę $2$ można zastąpić dowolną liczbą parzystą niepodzielną przez $5$ występującą w rozkładzie $24!$. Podobnie w iloczynie $15·4$ czynnik $4$ możemy zastąpić przez dowolną liczbę parzystą niepodzielną przez $5$ występującą w rozkładzie na czynniki liczby $24!$.

Obliczymy wartości liczbowe wyrażeń zawierających silnie.

$\left(5-3\right)!=2!=2$

$5!-3!=120-6=114$

$\left(6-2\right)!=4!=24$

$6!-2!=720-2=718$

$\left(3+2\right)!=5!=120$

$3!+2!=6+2=8$

$\left(4+2\right)!=6!=720$

$4!+2!=24+2=26$

Iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich o tej samej parzystości co $n$ niewiększych od $n$. Oznaczamy ją $n!!$ i czytamy “$n$ podwójna silnia”. Ponadto wprowadzamy umowę, że $0!!=1$.

Obliczymy:

$5!!=5·3·1=15$

$6!!=6·4·2=48$

iloczyn wszystkich liczb naturalnych od $1$ do $n$ włącznie, oznaczamy ją $n!$ (czyt. “$n$ silnia”); przyjmujemy dodatkowo, że $0!=1$

iloczyn wszystkich liczb naturalnych o tej samej parzystości co $n$, od $1$ do $n$ włącznie, oznaczamy ją $n!!$ (czyt. “$n$ podwójna silnia”); przyjmujemy dodatkowo, że $0!!=1$