Przeczytaj
Kiedy w matematyce często pojawia się jakieś wyrażenie lub działanie, matematycy próbują uprościć zapis szukając jakiegoś skrótu lub wprowadzając nowy symbol. Okazuje się, że w kombinatoryce, analizie matematycznej, matematyce dyskretnej i innych działach matematyki pojawiają się wyrażenia typu: , , czyli iloczyny kolejnych liczb naturalnych, w których najmniejszym czynnikiem jest liczba . Christian Kramp (francuski lekarz i matematyk) uznał, że wprowadzenie nowego działania i oznaczenie go symbolem uprości zapis skomplikowanych mnożeń.
iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do . Oznaczamy ją I czytamy “ silnia”. Z przyczyn praktycznych umawiamy się ponadto, że .
Definicję silni liczby naturalnejsilni liczby naturalnej możemy również zapisać symbolicznie:
Przydaje się również (zwłaszcza w informatyce) definicja rekurencyjna silni:
Obliczymy silnie kilku liczb naturalnych:
(z definicji)
(z definicji)
Zwróć uwagę na to, jak szybko rosną liczby pod wpływem silni. Poniżej znajduje się wykres, który to obrazuje. Znajduje się tam kilka punktów, których drugie współrzędne są równe silniom z ich pierwszych współrzędnych.
Zbadamy, ile kolejnych końcowych (licząc od rzędu jedności) zer ma liczba .
Z definicji silni wynika, że
Zauważmy najpierw, że zero na końcu liczby bierze się z pomnożenia liczb i . Każdy z czynników i wygeneruje jedno końcowe zero. Iloczyn liczb i (czyli ) również spowoduje pojawienie się zera na końcu liczby. Zatem liczba kończy się czterema zerami.
Zauważmy jeszcze, że aby uzyskać poprawny wynik, w iloczynie liczbę można zastąpić dowolną liczbą parzystą niepodzielną przez występującą w rozkładzie . Podobnie w iloczynie czynnik możemy zastąpić przez dowolną liczbę parzystą niepodzielną przez występującą w rozkładzie na czynniki liczby .
Obliczymy wartości liczbowe wyrażeń zawierających silnie.
Czasami w matematyce używa się również tzw. podwójnej silni.
Iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich o tej samej parzystości co niewiększych od . Oznaczamy ją i czytamy “ podwójna silnia”. Ponadto wprowadzamy umowę, że .
Definicję podwójnej silni możemy zapisać następująco:
, dla nieparzystych liczb naturalnych
, dla parzystych liczb naturalnych
Podwójna silnia liczby naturalnejPodwójna silnia liczby naturalnej ma też definicję rekurencyjną:
, dla liczb naturalnych większych lub równych
Obliczymy:
Zauważmy, że liczba nie jest równa liczbie .
Na przykład , zaś .
Słownik
iloczyn wszystkich liczb naturalnych od do włącznie, oznaczamy ją (czyt. “ silnia”); przyjmujemy dodatkowo, że
iloczyn wszystkich liczb naturalnych o tej samej parzystości co , od do włącznie, oznaczamy ją (czyt. “ podwójna silnia”); przyjmujemy dodatkowo, że