Rozwiążemy nierówność $\left|x^2-3\right|<1$.

Korzystając z warunku $\left|x\right|<a\iff -a<x<a$ dla $a>0$ otrzymujemy:

$x^2-3<1 \wedge x^2-3>-1$

$x^2-4<0 \wedge x^2-2>0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)<0 \wedge \left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)>0$

$x\in \left(-2, 2\right) \wedge x\in \left(-\infty , -\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2}, \infty \right)$

Uwzględniając koniunkcję warunków mamy:

RIpB6U5PJtJOm

Na ilustracji zaznaczono oś $X$ z zaznaczonymi przedziałami i następującymi liczbami -2, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, oraz dwa . Czerwonym kolorem zacieniowano przedział pierwszy od minus nieskończoności do $-\sqrt{2}$, prawostronnie otwarty. Drugi przedział zacieniowano czerwonym kolorem, od $\sqrt{2}$ do plus nieskończoności, lewostronnie otwarty. Niebieskim kolorem zacieniowano trzeci przedział od minus dwóch do dwóch, lewostronnie, oraz prawostronnie otwarty.

Rozwiążemy nierówność $\left|x^2-2x-1\right|\ge 2$.

Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że $\left|x\right|\ge a\iff x\ge a \vee x\le -a$ dla $a\ge 0$.

Czyli mamy:

$x^2-2x-1\ge 2$ lub $x^2-2x-1\le -2$

$x^2-2x-3\ge 0$ lub $x^2-2x+1\le 0$

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)\ge 0$ lub ${\left(x-1\right)}^2\le 0$

$x\in \left(-\infty , -1\right.⟩\cup \left.⟨3, \infty \right)$ lub $x=1$

Uwzględniając alternatywę przypadków mamy:

$x\in \left(-\infty , -1\right.⟩\cup \left\{1\right\}\cup \left.⟨3, \infty \right)$

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , -1\right.⟩\cup \left\{1\right\}\cup \left.⟨3, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^2<\left|x\right|$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej mamy $\left|x\right|=\left\{\begin{array}{ll}x& \text{dla} x\ge 0\\ -x& \text{dla} x<0\end{array}\right.$.

1. $x\in \left(-\infty , 0\right)$

   $x^2<-x$

   $x^2+x<0$

   $x\left(x+1\right)<0$

   $x\in \left(-1,0\right)$, przy czym $\left(1,0\right)\in \left(-\mathrm{\infty },0\right)$.

2. $x\in \left.⟨0, \infty \right)$

   $x^2<x$

   $x^2-x<0$

   $x\left(x-1\right)<0$

   $x\in \left(0,1\right)$, przy czym $\left(0,1\right)\in ⟨0,\mathrm{\infty })$.

Uwzględniając alternatywę $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$, mamy $x\in \left(-1, 0\right)\cup \left(0, 1\right)$.

Rozwiążemy nierówność $x^2+3·\left|x\right|-4\le 0$.

Zauważmy, że $x^2={\left|x\right|}^2$, czyli ${\left|x\right|}^2+3·\left|x\right|-4\le 0$.

1. Dla $x\ge 0$ mamy $x^2+3x-4\le 0$

   $\left(x-1\right)\left(x+4\right)\le 0$

   $x\in ⟨-4, 1⟩$

   Rx0lHsmvWHDAB

   Na ilustracji zaznaczono oś $X$ z zaznaczonymi przedziałami i następującymi liczbami -4, 0, oraz jeden. Niebieskim kolorem zacieniowano przedział od minus czterech do jeden, lewostronnie, oraz prawostronnie domknięty. Czerwonym kolorem zacieniowano przedział od zera do plus nieskończoności, lewostronnie domknięty.

   

   $x\in ⟨0, 1⟩$

2. Dla $x<0$ mamy:

   ${\left(-x\right)}^2+3\left(-x\right)-4\le 0$

   $x^2-3x-4\le 0$

   $\left(x-4\right)\left(x+1\right)\le 0$

   $x\in ⟨-1, 4⟩$

   RpdIcEhvADPDY

   Na ilustracji zaznaczono oś $X$ z zaznaczonymi przedziałami i następującymi liczbami -1, 0, oraz cztery. Czerwonym kolorem zacieniowano przedział od minus nieskończoności do zera, prawostronnie otwarty. Niebieskim kolorem zacieniowano przedział od minus jeden do czterech, lewostronnie oraz prawostronnie domknięty.

   

   $x\in \left.⟨-1, 0\right)$

Uwzględniając alternatywę warunków $\left(1\right)$ i $\left(2\right)$ mamy $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨-1, 1⟩$.

Rozwiążemy nierówność $\left|4-x^2\right|>2x^2-5$.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$wartości bezwzględnej mamy:

$\left|4-x^2\right|=\left\{\begin{array}{ll}4-x^2& \text{dla} x\in ⟨-2, 2⟩\\ -\left(4-x^2\right)& \text{dla} x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(2, \infty \right)\end{array}\right.$

1. Jeżeli $x\in ⟨-2, 2⟩$

   $4-x^2>2x^2-5$

   $-3x^2+9>0 |:\left(-3\right)$

   $x^2-3<0$

   $\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)<0$

   $x\in \left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right)\in ⟨-2, 2⟩$

2. Jeżeli $x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$

   $-\left(4-x^2\right)>2x^2-5$

   $-4+x^2-2x^2+5>0$

   $-x^2+1>0$

   $\left(1-x\right)\left(1+x\right)>0$

   $x\in \left(-1, 1\right)\notin \left(-\infty , -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$ – nierówność sprzeczna

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$.