Slajd pierwszy
Rozwiążemy nierówność
${\left(2x+3\right)}^2-6\left|2x+3\right|+8\le 0$.
Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej. Ponieważ $a^2={\left|a\right|}^2$, dla dowolnego a należącego do zbioru liczb rzeczywistych, możemy zapisać nierówność
${\left|2x+3\right|}^2-6\left|2x+3\right|+8\le 0$.
Aby doprowadzić do nierówności kwadratowej, dokonujemy podstawienia. Podstawiając
${\left|2x+3\right|}^2=t$, dla $t\ge 0$,
otrzymujemy nierówność
$t^2-6t+8\le 0$.
Wyznaczamy deltę.
$\mathrm{\Delta }=36-32=4$.
$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=2$
Stąd
$t_1=\frac{6-2}{2}=2$, $t_2=\frac{6+2}{2}=4$.
Otrzymujemy przedział $t\in\langle 2;4\rangle$.

Slajd drugi
Zbiór rozwiązań nierówności zapiszemy za pomocą nierówności.
$t\ge 2$ i $t\le 4$.
Otrzymujemy
$\left|2x+3\right|=t$, dla $t\ge 0$.
Stąd otrzymujemy
$\left|2x+3\right|\ge 2$ i $\left|2x+3\right|\le 4$.

Slajd trzeci
Zajmiemy się teraz rozwiązaniem pierwszej nierówności. Rozwiążemy nierówność $\left|2x+3\right|\ge 2$.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej $\left|x\right|\ge a$, co jest równoważne z
$x\ge a$ lub $x\le -a$, dla $a\ge 0$.
Mamy warunek pierwszy.
$2x+3\ge 2$.
Otrzymujemy
$2x\ge -1$,
dalej
$x\ge -\frac{1}{2}$.
Otrzymujemy przedział $x\in\langle -\frac{1}{2};\infty)$ Warunek drugi.
$2x+3\le -2$
Otrzymujemy $2x\le -5$,
dalej
$x\le -\frac{5}{2}$.
Otrzymujemy przedział $x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle$. Z alternatywy warunku pierwszego i drugiego mamy
$x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle\cup x\in\langle -\frac{1}{2};\infty)$

Slajd czwarty
Zajmiemy się teraz rozwiązaniem drugiej nierówności. Rozwiążemy nierówność $\left|2x+3\right|\le 4$.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej $\left|x\right|\le a$, co jest równoważne z
$-a\le x\le a$, dla $a\ge 0$.
Rozwiążemy nierówności i wyznaczymy koniunkcję rozwiązań. Stąd mamy warunek trzeci.
$2x+3\le 4$.
Otrzymujemy
$2x\le 1$,
dalej
$x\le \frac{1}{2}$.
Otrzymujemy przedział $x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle$.
Warunek czwarty.
$2x+3\ge -4$.
Otrzymujemy
$2x\ge -7$,
dalej
$x\ge -\frac{7}{2}$.
Otrzymujemy przedział $x\in\langle-\frac{7}{2};\infty)$.
Z koniunkcji warunku trzeciego i czwartego mamy
$x\in\langle-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\rangle$.

Slajd piąty
Rozwiązaniem nierówność ${\left(2x+3\right)}^2-6\left|2x+3\right|+8\le 0$.
Jest to koniunkcja warunków $[x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle\cup\langle - \frac{1}{2};\infty)]\wedge[x\in\langle - \frac{7}{2};\frac{1}{2}\rangle]$.
Na osi zaznaczono przedziały z koniunkcji i zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności, którym jest suma $\langle - \frac{7}{2};- \frac{5}{2}\rangle\cup\langle - \frac{1}{2};\frac{1}{2}\rangle.$