Ciąg arytmetyczny jest pewną funkcją, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych lub zbiór liczb naturalnych. Zatem definicje określające monotoniczność ciągu arytmetycznegomonotoniczność ciągu arytmetycznegomonotoniczność ciągu arytmetycznego i sposoby określania tej monotoniczności, są analogiczne jak dla funkcji liczbowych.

Ciąg arytmetyczny rosnący

RkFoEaHrACnwC

Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych wyrazów ciągu an, określonego wzorem ogólnym

an=n-4,

gdzie n1,2,3,.

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest rosnący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych rosnących.

1, 2, 3, 4, 5, 6,
10, 15, 20, 25, 30,
-8, -4, 0, 4, 8,
-126, -124, -122, -120, -118,

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym rosnącym różnica ciągu jest dodatnia.

Ciąg arytmetyczny rosnący
Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny rosnący

Niech n będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny an o różnicy r jest ciągiem rosnącym, gdy r>0.

Przykład 1

Wykażemy, że ciąg arytmetyczny an określony wzorem an=2n+7, gdzie n+, jest rosnący.

Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę an+1-an (dla dowolnego n1).

an+1-an=2n+1+7-2n+7

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

an+1-an=2n+2+7-2n-7

an+1-an=2>0

Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej n1 spełniony jest warunek an+1>an, co oznacza, że ciąg an jest rosnący.

Przykład 2

Ciąg an jest ciągiem arytmetycznym takim, że a1=6, a2=t2-6, a3=t+10. Znajdziemy wszystkie liczby t, dla których ciąg ten jest ciągiem rosnącym.

Z definicji ciągu arytmetycznego wynika, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała.

Zatem

a2-a1=a3-a2

t2-6-6=t+10-t2+6

2t2-t-28=0

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

=1+224=225

t1=1-154=-144

t2=1+154=164=4

Wyznaczymy różnicę ciągu dla każdej znalezionej wartości t.

Dla t1=-144 otrzymujemy:

a1=6

a2=-1442-6=10016

r=10016-6=14

r>0 – ciąg rosnący

Dla t2=4 otrzymujemy:

a1=6

a2=42-6=10

r=10-6=4

r>0 – ciąg rosnący

Odpowiedź:

Ciąg an jest ciągiem rosnącym dla t-144,4.

Ciąg arytmetyczny malejący

R1RxN0uRRPzSC

Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu arytmetycznego an, określonego wzorem ogólnym

an=-2n+5,

gdzie n1,2,3,4,

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest malejący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych malejących.

18, 10, 2, -6, -14,
100, 96, 92, 88, 84, 80,
-20, -22, -24, -26, -28,

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym malejącym różnica ciągu jest ujemna.

Ciąg arytmetyczny malejący
Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny malejący

Niech n będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny an o różnicy r jest ciągiem malejącym, gdy r<0.

Przykład 3

Określimy, dla jakich wartości parametru k (k0kR) ciąg arytmetyczny an określony wzorem ogólnym an=-kn+3+46+kn, gdzie n1,2,3,4, jest malejący.

Musimy znaleźć różnicę ciągu. W tym celu wyznaczamy dwa kolejne wyrazy ciągu.

a1=-k-3+24+4k=3k+21

a2=-2k-3+48+8k=6k+45

Wyznaczamy różnicę ciągu.

r=a2a1

r=6k+45-3k-21=3k+24

Aby ciąg był malejący, różnica ciągu musi być ujemna.

3k+24<0

k<-8

Odpowiedź:

Ciąg arytmetyczny an jest malejący, gdy k<-8.

Przykład 4

W ciągu arytmetycznym malejącym an stosunek wyrazu szóstego do trzeciego jest równy 7, a suma kwadratów wyrazów drugiego i czwartego jest równa 40. Wyznaczymy wzór ogólny ciągu.

Oznaczmy:
a – pierwszy wyraz ciągu,
r – różnica ciągu.

Stąd:

a6=a+5r

a3=a+2r

a2=a+r

a4=a+3r

Zapisujemy równania wynikające z treści zadania.

a6a3=7a+5ra+2r=7

a22+a42=40a+r2+a+3r2=40

Przekształcamy oba równania, sprowadzając je do najprostszej postaci.

a+5r=7a+14r2a2+8ar+10r2=40

a=-3r22a2+8ar+10r2-40=0

Do drugiego równania podstawiamy wyznaczoną zmienną a.

a=-3r22·94r2+8·-3r2r+10r2-40=0

Rozwiązujemy drugie z uzyskanych równań.

92r2-12r2+10r2-40=0

5r2-80=0

r=4 lub r=-4

Ciąg ma być malejący, zatem r=-4.

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

a=-32·-4=6

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

an=6+n-1·-4

an=-4n+10

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu:

an=-4n+10.

Ciąg arytmetyczny stały

R18WseVu5T3Ub

Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych  wyrazów ciągu an, określonego wzorem ogólnym

an=-1

gdzie n0,1,2,3,

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu ma tę samą wartość. O takim ciągu mówimy, że jest stały.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych stałych.

3, 3, 3, 3, 3, 3,
-7, -7, -7, -7, -7,
100, 100, 100, 100, 100, 100,

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym stałym różnica jest równa 0.

Ciąg arytmetyczny stały
Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny stały

Niech n będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny an o różnicy r jest ciągiem stałym, gdy r=0.

Przykład 5

Znajdziemy taką liczbę x, dla której ciąg x2, 2x+3, 12-x jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym  stałym.

W ciągu stałym wszystkie wyrazy są równe, zatem:

2x+3=12-x

3x=9

x=3

Ciąg ma postać: 9,9,9.

Odpowiedź:

Szukana liczba to 3.

Słownik

monotoniczność ciągu arytmetycznego
monotoniczność ciągu arytmetycznego

niech n będzie liczbą naturalną dodatnią; ciąg arytmetyczny an o różnicy r jest ciągiem:

  • rosnącym, gdy r>0,

  • malejącym, gdy r<0,

  • stałym, gdy r=0