Przeczytaj

Ciąg arytmetyczny jest pewną funkcją, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych lub zbiór liczb naturalnych. Zatem definicje określające monotoniczność ciągu arytmetycznegomonotoniczność ciągu arytmetycznegomonotoniczność ciągu arytmetycznego i sposoby określania tej monotoniczności, są analogiczne jak dla funkcji liczbowych.

Ciąg arytmetyczny rosnący

RkFoEaHrACnwC

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma n od minus jeden do dziewięciu. Oś pionowa an od minus czterech do pięciu. W układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: 1; -3, 2; -2, 3; -1, 4; 0, 5; 1, 6; 2, 7; 3, 8; 4, 9; 5.

Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = n - 4

gdzie $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ .

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest rosnący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych rosnących.

1

2

3

4

5

6

\dots

10

15

20

25

30

\dots

- 8

- 4

0

4

8

\dots

- 126

- 124

- 122

- 120

- 118

\dots

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym rosnącym różnica ciągu jest dodatnia.

Ciąg arytmetyczny rosnący

Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny rosnący

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem rosnącym, gdy $r > 0$ .

Przykład 1

Wykażemy, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 n + 7$ , gdzie $n \in ℕ_{+}$ , jest rosnący.

Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ (dla dowolnego $n \geq 1$ ).

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - (2 n + 7)$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 > 0$

Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ spełniony jest warunek $a_{n + 1} > a_{n}$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

Przykład 2

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym takim, że $a_{1} = 6$ , $a_{2} = t^{2} - 6$ , $a_{3} = t + 10$ . Znajdziemy wszystkie liczby $t$ , dla których ciąg ten jest ciągiem rosnącym.

Z definicji ciągu arytmetycznego wynika, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała.

Zatem

$a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}$

$t^{2} - 6 - 6 = t + 10 - t^{2} + 6$

$2 t^{2} - t - 28 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 1 + 224 = 225$

$t_{1} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{- 14}{4}$

$t_{2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Wyznaczymy różnicę ciągu dla każdej znalezionej wartości $t$ .

Dla $t_{1} = - \frac{14}{4}$ otrzymujemy:

$a_{1} = 6$

$a_{2} = {(- \frac{14}{4})}^{2} - 6 = \frac{100}{16}$

$r = \frac{100}{16} - 6 = \frac{1}{4}$

$r > 0$ – ciąg rosnący

Dla $t_{2} = 4$ otrzymujemy:

$a_{1} = 6$

$a_{2} = 4^{2} - 6 = 10$

$r = 10 - 6 = 4$

$r > 0$ – ciąg rosnący

Odpowiedź:

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem rosnącym dla $t \in \{- \frac{14}{4}, 4\}$ .

Ciąg arytmetyczny malejący

R1RxN0uRRPzSC

Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = - 2 n + 5

gdzie $n \in \{1, 2, 3, 4, \dots\}$

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest malejący.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych malejących.

18

10

2

- 6

- 14

\dots

100

96

92

88

84

80

\dots

- 20

- 22

- 24

- 26

- 28

\dots

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym malejącym różnica ciągu jest ujemna.

Ciąg arytmetyczny malejący

Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny malejący

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem malejącym, gdy $r < 0$ .

Przykład 3

Określimy, dla jakich wartości parametru $k$ ( $k \neq 0$ i $k \in R$ ) ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = - (k n + 3) + 4 (6 + k) n$ , gdzie $n \in \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ jest malejący.

Musimy znaleźć różnicę ciągu. W tym celu wyznaczamy dwa kolejne wyrazy ciągu.

$a_{1} = - k - 3 + 24 + 4 k = 3 k + 21$

$a_{2} = - 2 k - 3 + 48 + 8 k = 6 k + 45$

Wyznaczamy różnicę ciągu.

$r = a_{2} - a_{1}$

$r = 6 k + 45 - 3 k - 21 = 3 k + 24$

Aby ciąg był malejący, różnica ciągu musi być ujemna.

$3 k + 24 < 0$

$k < - 8$

Odpowiedź:

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest malejący, gdy $k < - 8$ .

Przykład 4

W ciągu arytmetycznym malejącym $(a_{n})$ stosunek wyrazu szóstego do trzeciego jest równy $7$ , a suma kwadratów wyrazów drugiego i czwartego jest równa $40$ . Wyznaczymy wzór ogólny ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$r$ – różnica ciągu.

Stąd:

$a_{6} = a + 5 r$

$a_{3} = a + 2 r$

$a_{2} = a + r$

$a_{4} = a + 3 r$

Zapisujemy równania wynikające z treści zadania.

$\frac{a_{6}}{a_{3}} = 7 \Rightarrow \frac{a + 5 r}{a + 2 r} = 7$

${a_{2}}^{2} + {a_{4}}^{2} = 40 \Rightarrow {(a + r)}^{2} + {(a + 3 r)}^{2} = 40$

Przekształcamy oba równania, sprowadzając je do najprostszej postaci.

$\{\begin{cases} a + 5 r = 7 a + 14 r \\ 2 a^{2} + 8 a r + 10 r^{2} = 40 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = - \frac{3 r}{2} \\ 2 a^{2} + 8 a r + 10 r^{2} - 40 = 0 \end{cases}$

Do drugiego równania podstawiamy wyznaczoną zmienną $a$ .

$\{\begin{cases} a = - \frac{3 r}{2} \\ 2 \cdot \frac{9}{4} r^{2} + 8 \cdot (- \frac{3 r}{2}) r + 10 r^{2} - 40 = 0 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie z uzyskanych równań.

$\frac{9}{2} r^{2} - 12 r^{2} + 10 r^{2} - 40 = 0$

$5 r^{2} - 80 = 0$

$r = 4$ lub $r = - 4$

Ciąg ma być malejący, zatem $r = - 4$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a = - \frac{3}{2} \cdot (- 4) = 6$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 6 + (n - 1) \cdot (- 4)$

$a_{n} = - 4 n + 10$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu:

$a_{n} = - 4 n + 10$ .

Ciąg arytmetyczny stały

R18WseVu5T3Ub

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych. Oś pozioma n od minus jeden do dziewięciu. Oś pionowa an od minus dwóch do dwóch. W układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: 0; -1, 1; -1, 2; -1, 3; -1, 4; -1, 5; -1, 6; -1, 7; -1, 8; -1, 9; -1.

Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , określonego wzorem ogólnym

a_{n} = - 1

gdzie $n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu ma tę samą wartość. O takim ciągu mówimy, że jest stały.

Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów arytmetycznych stałych.

3

3

3

3

3

3

\dots

- 7

- 7

- 7

- 7

- 7

\dots

100

100

100

100

100

100

\dots

Zauważmy, że w ciągu arytmetycznym stałym różnica jest równa $0$ .

Ciąg arytmetyczny stały

Twierdzenie: Ciąg arytmetyczny stały

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią.

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem stałym, gdy $r = 0$ .

Przykład 5

Znajdziemy taką liczbę $x$ , dla której ciąg $x^{2}$ , $2 x + 3$ , $12 - x$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym stałym.

W ciągu stałym wszystkie wyrazy są równe, zatem:

$2 x + 3 = 12 - x$

$3 x = 9$

$x = 3$

Ciąg ma postać: $(9, 9, 9)$ .

Odpowiedź:

Szukana liczba to $3$ .

Słownik

monotoniczność ciągu arytmetycznego

niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią; ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest ciągiem:

rosnącym, gdy $r > 0$ ,

malejącym, gdy $r < 0$ ,

stałym, gdy $r = 0$

Wprowadzenie

Animacja

Ciąg arytmetyczny rosnący

Ciąg arytmetyczny malejący

Ciąg arytmetyczny stały

Słownik