Przeczytaj

Wykres ciągu to graficzne przedstawienie tego ciągu. Wykres ciagu liczbowego w układzie współrzędnych to zbiór uporządkowanych par, których pierwszym elementem jest liczba naturalna, należąca do dziedziny ciągu, a drugim – wyraz ciągu odpowiadający tej liczbie. Na wykres ciągu składają się wszystkie takie pary liczb.

Opisanie w ten sposób ciągu pozwala na określenie wielu jego własności, między innymi monotoniczności.

W tym materiale zajmiemy się ciągami liczbowymiciąg liczbowyciągami liczbowymi, a wykresy ciągów prezentować będziemy w układzie współrzędnych.

ciąg_liczbowy

Definicja: ciąg_liczbowy

Ciąg, w którym wszystkie wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym.

bg‑azure

Ciąg $(a_{n})$ określony dla $n \in ℕ_{+}$ nazywamy:

rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} > a_{n}$ ,

malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n + 1} < a_{n}$ ,

stałym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $n \in ℕ_{+}$ spełniona jest równość $a_{n + 1} = a_{n}$ .

Ważne!

Jeśli ciąg $(a_{n})$ określony jest dla $n \in A$ , gdzie A jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to monotoniczność ciagu określamy analogicznie jak wyżej.

Przykład 1

Rysunek przedstawia wykres czterowyrazowego ciągu $(a_{n})$ dla $n \in {1, 2, 3, 4}$ .

RLL3WhT4RarmT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do sześciu oraz pionowej osi an od minus jeden do dziewięciu. W układzie zaznaczono cztery punkty o następujących współrzędnych: nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik siedem zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik dziewięć zamknięcie nawiasu.

Na podstawie wykresu wnioskujemy, że ciąg ten jest rosnący. Żeby formalnie to udowodnić, wypisujemy na podstawie wykresu wszystkie wyrazy ciągu.

$a_{1} = 3$

$a_{2} = 5$

$a_{3} = 7$

$a_{4} = 9$

Porównujemy kolejne wyrazy.

$9 > 7 \Rightarrow a_{4} > a_{3}$

$7 > 5 \Rightarrow a_{3} > a_{2}$

$5 > 3 \Rightarrow a_{2} > a_{1}$

Każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, możemy zapisać:

${a_{n}}_{+ 1} > a_{n}$ dla każdej liczby $n \in {1, 2, 3, 4}$ .

Zatem ciąg jest rosnący.

Przykład 2

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = - \frac{16}{n + 4}$ dla $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ . Określimy monotoniczność ciągu.

R8lKeYxnDqNXw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do dwunastu oraz pionowej osi an od minus czterech do jeden. W układzie zaznaczono dwanaście punktów, wszystkie znajdują się w czwartej ćwiartce. Punkty biegną wzdłuż osi n od jeden do dwanaście, ich wartość an zmienia się stopniowo od mniej niż minus trzy do minus jeden. Wartości an mają tendencję rosnącą, im większa wartość n tym punkty znajdują się bliżej osi.

Zauważmy, że wyrazy tego ciągu rosną, choć nie tak szybko jak w poprzednim przykładzie. Na wykresie przedstawione są wszystkie wyrazy ciągu. Na podstawie wykresu stwierdzamy, że ciąg jest rosnący.

Przykład 3

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu nieskończonego ciągu $(a_{n})$ określonego dla $n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}$ .

Rx7FBIfXBvN9O

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do siedmiu oraz pionowej osi an od minus dwóch do pięciu. W układzie zaznaczono siedem punktów o następujących współrzędnych: nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

Ciąg jest nieskończony. Nie możemy więc wypisać i porównać wszystkich wyrazów ciągu. Odkryjemy regułę, według której tworzone są wyrazy ciągu, zapiszemy wzór ciągu i na jego podstawie określimy monotoniczność.

$1 \to 4 = - 1 + 5 = a_{1}$

$2 \to 3 = - 2 + 5 = a_{2}$

$3 \to 2 = - 3 + 5 = a_{3}$

$4 \to 1 = - 4 + 5 = a_{4}$

$5 \to 0 = - 5 + 5 = a_{5}$

$6 \to - 1 = - 6 + 5 = a_{6}$

$7 \to - 2 = - 7 + 5 = a_{7}$

Zauważmy, że każdy wyraz, począwszy od wyrazu $a_{1}$ , jest sumą liczby $5$ i liczby przeciwnej do numeru danego wyrazu.

Wnioskujemy, że :

$a_{n} = - n + 5$ dla $n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}$ .

Określimy wyraz $a_{n + 1}$ .

$a_{n + 1} = - (n + 1) + 5 = - n - 1 + 5$

${a_{n}}_{+ 1} = - n + 5 - 1$

${a_{n}}_{+ 1} = a_{n} - 1$

Zatem każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego, poprzez odjęcie liczby $1$ .

${a_{n}}_{+ 1} - a_{n} = - 1 < 0$

Na przykład dla wyrazu $a_{1}$ otrzymujemy: $a_{1} = 4$ i $a_{2} = 3$ , stąd $a_{2} - a_{1} = - 1$ .

Różnica kolejnych wyrazów jest ujemna – ciąg jest malejący.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiono wykres ciągu $(a_{n})$ dla $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .\}$ .

RyuSCtZ7LXrKE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do dziewięciu oraz pionowej osi an od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono dziewięć punktów o następujących współrzędnych: nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik zero pól zamknięcie nawiasu.

Na podstawie rysunku wnioskujemy, że dla każdej liczby $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .\}$ spełniona jest nierówność ${a_{n}}_{+ 1} \leq a_{n}$ . Wynika z tego, że ciąg jest nierosnący.

O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.

Przykład 5

Wyrazami ciągu $(a_{n})$ są reszty z dzielenia kolejnych liczb naturalnych dodatnich przez $4$ .

R1w9Zab8oxNUN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do jedenastu oraz pionowej osi an od minus jeden do czterech. W układzie zaznaczono dziewięć punktów o następujących współrzędnych: nawias jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik zero pól zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ , ale np. $a_{5} < a_{3}$ . Zatem ciąg nie jest monotoniczny.

Przykład 6

Wykres ciągu $(a_{n})$ określonego dla $n \in ℕ_{+}$ leży na prostej przedstawionej na rysunku. Udowodnimy, że jest to ciąg rosnący.

R1c9ZxiCPVlRo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej x od minus pięciu do pięciu oraz pionowej osi y od minus pięciu do czterech. W układzie zaznaczono ukośną prostą, która przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu oraz nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem nieskończonym, nie możemy więc porównać wszystkich wyrazów ciągu. Zatem, aby wykazać monotoniczność ciągu, określamy najpierw jego wzór ogólny.

R8C97j3LJjKjy

Znajdziemy równanie prostej, na której leży wykres ciągu. W tym celu odczytujemy z wykresu współrzędne dwóch punktów należących do prostej: $A = (1, - 1), B = (2, 1)$ .

Podstawiamy współrzędne wyznaczonych punktów do równania prostej.

$y = a x + b$

$A = (1, - 1)$ , to $- 1 = a \cdot 1 + b \Rightarrow b = - a - 1$

$B = (2, 1)$ , to $1 = a \cdot 2 + b \Rightarrow b = 1 - 2 a$

$- a - 1 = 1 - 2 a$

$a = 2$

$b = - 2 - 1 = - 3$

Równanie prostej: $y = 2 x - 3$ .

Zapisujemy wzór ogólny ciągu: $a_{n} = 2 n - 3$ .

Zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

${a_{n}}_{+ 1} - a_{n} = 2 (n + 1) - 3 - 2 n + 3 = 2 n + 2 - 3 - 2 n + 3 = 2 > 0$

Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia – ciąg jest rosnący.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono wykres ciągu $(a_{n}) = |\frac{n^{2}}{10} - 4|$ .

R17VU8NO5jgeb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych składający się z osi poziomej n od zera do dziesięciu oraz pionowej osi an od minus jeden do sześciu. W układzie zaznaczono dziesięć punktów, układają się one w kształt przypominający literę V, wszystkie znajdują się w pierwszej ćwiartce. Współrzędne n o punktów od jeden do sześć mają tendencję malejącą, rozpoczynają się w punkcie jeden średnik mniej niż cztery zamknięcie nawiasu i kończą w punkcie nawias sześć średnik więcej niż zero, od tego punktu wartości an zaczynają stopniowo rosnąć aż do punktu nawias dziesięć średnik sześć zamkniecie nawiasu.

Dla $n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ciąg jest malejący, a dla $n \in \{7, 8, 9, . . .\}$ ciąg jest rosnący. Zatem ciag nie jest monotoniczny.

Słownik

ciąg liczbowy

ciąg, w którym wszystkie wyrazy są liczbami

Wprowadzenie

Animacja

Słownik