stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\sin \alpha =\frac{a}{c}$.

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\cos \alpha =\frac{b}{c}$.

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Zatem $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$.

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $12$, jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym i $\mathrm{tg}\alpha =3$.

Rozwiązanie:

Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

R21y02996g4y5

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, pionowej przyprostokątnej $b$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $12$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami $a$ i $b$ oraz kąt $\alpha$ między bokami $a$ i przeciwprostokątną.

Ponieważ $\mathrm{tg}\alpha =3$, to $\frac{b}{a}=3$, zatem $b=3·a$.

Jeżeli wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa, to

$a^2+b^2={12}^2$, wobec tego

$a^2+{\left(3·a\right)}^2={12}^2$, czyli $10a^2=144$

Zatem długości przyprostokątnych tego trójkąta wynoszą:

$a=\frac{12}{\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{10}}{10}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$

$b=3·\frac{6\sqrt{10}}{5}=\frac{18\sqrt{10}}{5}$

Obliczymy długości odcinków $x,y$ i $h$ w trójkącie o wymiarach jak na rysunku, jeżeli wiadomo, że $\mathrm{tg}\alpha =2$.

RdMlQ26OlstWE

Rysunek przedstawia trójkąt o ramionach o długościach: lewe $3$ oraz prawe $9$. Z górnego wierzchołka upuszchono na podstawę wysokość $h$ i oznaczono między podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła podstawę na dwie części: lewa to $x$, a prawa to $y$. W ten sposób powstały dwa trójkąty prostokątne o wspólnym boku. Trójkąt prostokątny lewy składa się z następujących boków: przyprostkokątnych $x$ oraz $h$ i przeciwprostokątnej o długości $6$, przy czym między przeciwprostokątną a bokiem $x$ zaznaczono kąt $\alpha$. Trójkąt prostokątny prawy składa się z następujących boków: przyprostkokątnych $y$ oraz $h$ i przeciwprostokątnej o długości $9$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $\mathrm{tg}\alpha =2$, zatem

$\frac{h}{x}=2$, czyli $h=2·x$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy:

$h^2+x^2=6^2$

${\left(2·x\right)}^2+x^2=6^2$

$5x^2=36$

$x^2=\frac{36}{5}$

$x=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Stąd $h=2·\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy:

$h^2+y^2=9^2$

${\left(\frac{12\sqrt{5}}{5}\right)}^2+y^2=9^2$

$\frac{144}{5}+y^2=81$

$y^2=\frac{261}{5}$

$y=\frac{3\sqrt{145}}{5}$

Obliczymy długości przekątnych w trapezie prostokątnym o podstawach długości $9$ i $6$, jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym trapezu i $\cos \alpha =\frac{1}{4}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy trapez prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RmORVyxswgYUZ

Rysunek przedstawia trapez prostokątny o prawym ukośnym ramieniu o długości $r$ oraz podstawach o długościach: górna $6$ i dolna $9$. Z górnego prawego wierzchołka upuszchono linią przerywaną wysokość $h$ i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego prawą część opisano jako $x$. Wewnątrz trapezu poprowadzono dwie przekątne: przekątna $f$ biegnie od lewego górnego wierzchołka do prawego dolnego, a przekątna $e$ biegnie od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka trapezu. Między ramieniem $r$ a kawałkiem podstawy dolnej $x$ zaznaczono kąt $\alpha$.

Zauważmy, że $x=9-6=3$.

Ponieważ $\cos \alpha =\frac{1}{4}$, to $\frac{3}{r}=\frac{1}{4}$, czyli $r=12$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$h^2+x^2=r^2$.

Stąd

$h^2+3^2={12}^2$, zatem $h=3\sqrt{15}$.

Wyznaczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, długości przekątnych $e$ i $f$ w tym trapezie.

$e^2={\left(3\sqrt{15}\right)}^2+6^2$

$e^2=171$, czyli $e=\sqrt{171}=3\sqrt{19}$

$f^2=9^2+{\left(3\sqrt{15}\right)}^2$

$f^2=216$, czyli $f=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$

Obliczymy długości przekątnych w trapezie równoramiennym o podstawach długości $12$ i $20$, jeżeli sinus kąta ostrego w tym trapezie wynosi $\frac{2}{5}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RJxBg5iH18BqX

Rysunek przedstawia trapez prostokątny o lewym ukośnym ramieniu $x$ oraz podstawach o długościach: górna $12$ i dolna $20$. Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość $h$ i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewą część opisano jako $y$. Wewnątrz trapezu poprowadzono przekątną $d$ biegnącą od lewego górnego wierzchołka do prawego dolnego wierzchołka trapezu. Między ramieniem $x$ a kawałkiem podstawy dolnej $y$ zaznaczono kąt $\alpha$.

Jeżeli $\sin \alpha =\frac{2}{5}$, to $\frac{h}{x}=\frac{2}{5}$, zatem $x=\frac{5}{2}·h$.

Zauważmy, że $y=\left(20-12\right):2=4$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$4^2+h^2={\left(\frac{5}{2}·h\right)}^2$

Równanie zapisujemy w postaci:

$h^2=\frac{64}{21}$, zatem $h=\frac{8}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{21}}{21}$.

Zauważmy, że $z=20-4=16$.

W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości, dlatego do wyznaczenia długości $d$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2=h^2+z^2$

Zatem $d^2={\left(\frac{8}{\sqrt{21}}\right)}^2+{16}^2$, czyli $d^2=\frac{5440}{21}$.

Wobec tego $d=\frac{8\sqrt{85}}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{1785}}{21}$.

Obliczymy długość dłuższej przekątnej w rombie o kącie ostrym $\alpha$, jeżeli wysokość rombu ma długość $4$, a cosinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{1}{3}$.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RySPJ7mUdN9TN

Rysunek przedstawia romb o boku $a$. Z górnego lewego wierzchołka upuszchono wysokość o długości $4$ i oznaczono między dolną podstawą a wysokością kąt prosty. Wysokość podzieliła dolną podstawę na dwie części, z czego lewą część opisano jako $x$. Tak powstał trókąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ i $4$ oraz o przeciwprostokątnej $a$. Wewnątrz rombu poprowadzono przekątną $d$ biegnącą od lewego dolnego wierzchołka do prawego górnego wierzchołka rombu. Między lewym bokiem $a$ a kawałkiem podstawy dolnej $x$ zaznaczono kąt $\alpha$. Z prawego górnego wierzchołka poprowadzono linią przerywaną pionową wysokość i przedłużono podstawę figury o odcinke $x$ również linią przerywaną i zaznaczono między nimi kat prosty.

Ponieważ $\cos \alpha =\frac{1}{3}$, zatem $\frac{x}{a}=\frac{1}{3}$, więc $a=3·x$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:

$4^2+x^2=a^2$

Wobec tego $4^2+x^2={\left(3·x\right)}^2$, zatem

$16=8x^2$

$x^2=2$

$x=\sqrt{2}$

Długość boku rombu wynosi

$a=3·\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Do wyznaczenia długości przekątnej $d$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2=4^2+{\left(a+x\right)}^2$

$d^2=4^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

$d^2=48$

Zatem $d=4\sqrt{3}$.

funkcje matematyczne, wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych