Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostregofunkcje trygonometryczne kąta ostregofunkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i , przeciwprostokątnej długości oraz kącie ostrym .
RqMWTppyI5nFD Sinus kąta ostrego Definicja: Sinus kąta ostrego
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Zatem .
Cosinus kąta ostrego Definicja: Cosinus kąta ostrego
stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
Zatem .
Tangens kąta ostrego Definicja: Tangens kąta ostrego
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Zatem .
Wymienione funkcje trygonometryczne wykorzystamy do obliczania długości boków, wysokości i przekątnych w wielokątach.
Ponieważ długości są liczbami nieujemnymi, zatem w rozwiązaniach ujemne odpowiedzi będziemy pomijać.
Przykład 1
Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości , jeżeli jest kątem ostrym i .
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
R21y02996g4y5Ponieważ , to , zatem .
Jeżeli wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa, to
, wobec tego
, czyli
Zatem długości przyprostokątnych tego trójkąta wynoszą:
Przykład 2
Obliczymy długości odcinków i w trójkącie o wymiarach jak na rysunku, jeżeli wiadomo, że .
RdMlQ26OlstWERozwiązanie:
Ponieważ , zatem
, czyli
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy:
Stąd .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy:
Przykład 3
Obliczymy długości przekątnych w trapezie prostokątnym o podstawach długości i , jeżeli jest kątem ostrym trapezu i .
Rozwiązanie:
Narysujmy trapez prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
RmORVyxswgYUZZauważmy, że .
Ponieważ , to , czyli .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
.
Stąd
, zatem .
Wyznaczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, długości przekątnych i w tym trapezie.
, czyli
, czyli
Przykład 4
Obliczymy długości przekątnych w trapezie równoramiennym o podstawach długości i , jeżeli sinus kąta ostrego w tym trapezie wynosi .
Rozwiązanie:
Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
RJxBg5iH18BqXJeżeli , to , zatem .
Zauważmy, że .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
Równanie zapisujemy w postaci:
, zatem .
Zauważmy, że .
W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości, dlatego do wyznaczenia długości korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
Zatem , czyli .
Wobec tego .
Przykład 5
Obliczymy długość dłuższej przekątnej w rombie o kącie ostrym , jeżeli wysokość rombu ma długość , a cosinus kąta jest równy .
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
RySPJ7mUdN9TNPonieważ , zatem , więc .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
Wobec tego , zatem
Długość boku rombu wynosi
Do wyznaczenia długości przekątnej rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Zatem .
Słownik
funkcje trygonometryczne kąta ostregofunkcje trygonometryczne kąta ostrego
funkcje matematyczne, wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych