Przeczytaj

Zaczniemy od przypomnienia najważniejszych zależności, z których będziemy korzystać w tej lekcji.

Parzystość/nieparzystość funkcji trygonometrycznych: dla każdego $x \in ℝ$ zachodzi:

$\cos (- x) = \cos x$ - parzystość funkcji cosinusparzystość funkcji cosinusparzystość funkcji cosinus,
$\sin (- x) = - \sin x$ - nieparzystość funkcji sinusnieparzystość funkcji sinusnieparzystość funkcji sinus,
$tg (- x) = - tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ - nieparzystość funkcji tangensnieparzystość funkcji tangensnieparzystość funkcji tangens.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne prawdziwe dla $x \in ℝ$ :

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ oraz $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ .

Wzory redukcyjne prawdziwe dla $x \in ℝ$ :

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$

$tg (\frac{π}{2} - x) = \frac{1}{tg x}$ , $x \neq k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$

$\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$

$tg (\frac{π}{2} + x) = - \frac{1}{tg x}$ , $x \neq k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (π - x) = \sin x$

$\cos (π - x) = - \cos x$

$tg (π - x) = - tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (π + x) = - \sin x$

$\cos (π + x) = - \cos x$

$tg (π + x) = tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (\frac{3 π}{2} - x) = - \cos x$

$\cos (\frac{3 π}{2} - x) = - \sin x$

$tg (\frac{3 π}{2} - x) = \frac{1}{tg x}$ , $x \neq k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (\frac{3 π}{2} + x) = - \cos x$

$\cos (\frac{3 π}{2} + x) = \sin x$

$tg (\frac{3 π}{2} + x) = - \frac{1}{tg x}$ , $x \neq k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (2 π - x) = - \sin x$

$\cos (2 π - x) = \cos x$

$tg (2 π - x) = - tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$

$\sin (2 π + x) = \sin x$

$\cos (2 π + x) = \cos x$

$tg (2 π + x) = tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$

Okresowość funkcji trygonometrycznychokresowość funkcji trygonometrycznychOkresowość funkcji trygonometrycznych - okresem zasadniczym funkcji sinus i funkcji cosinus jest liczba $2 π$ , zaś okresem zasadniczym funkcji cosinus jest liczba $π$ .

$\sin (x + 2 k π) = \sin x$

$\cos (x + 2 k π) = \cos x$

$tg (x + k π) = tg x$ , $k \in ℤ$ , $x \neq \frac{π}{2} + m π$ , $m \in ℤ$

Analizując kolejne wzory redukcyjne, można zauważyć pewną prawidłowość. Zanim ją opiszemy, wprowadzimy pojęcie kofunkcji. Mówimy, że kofunkcją sinusa jest cosinus (i odwrotnie). Kofunkcją funkcji $f (x) = tg x$ , $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $k \in ℤ$ jest funkcja o wzorze $g (x) = \frac{1}{tg x}$ , $x \neq k π$ , $k \in ℤ$ (i odwrotnie).

Zauważmy teraz, że każde dodanie do lub odjęcie od argumentu funkcji trygonometrycznej liczby $\frac{π}{2}$ zamienia daną funkcję na kofunkcję. Prześledźmy to na przykładach:

$\sin (\frac{3 π}{2} + x) = \sin (\frac{π}{2} + (π + x)) = \cos (π + x) =$

$= \cos (\frac{π}{2} + (\frac{π}{2} + x)) = - \sin (\frac{π}{2} + x) = - \cos x$

$tg (π - x) = tg (\frac{π}{2} + (\frac{π}{2} - x)) = - \frac{1}{tg (\frac{π}{2} - x)} = - \frac{1}{\frac{1}{tg x}} = - tg x$

Całą procedurę można zapisać w postaci kilku kroków:

Zapisujemy argument funkcji trygonometrycznej w postaci $k \cdot \frac{π}{2} \pm x$ , $k \in ℤ$ , gdzie $x \in (0, \frac{π}{2})$ .
Ustalamy znak wartości rozważanego wyrażenia trygonometrycznego.
Jeśli $k$ jest liczbą nieparzystą, to funkcja przechodzi na kofunkcję, zaś jeśli $k$ jest liczbą parzystą, to funkcja zostaje bez zmian.

Krok procedury	Przykład
Zapisujemy argument funkcji trygonometrycznej w postaci $k \cdot \frac{π}{2} \pm x$ , $k \in ℤ$ , gdzie $x \in (0, \frac{π}{2})$ .	$\cos \frac{18 π}{7} = \cos (5 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{14})$ .
Ustalamy znak wartości rozważanego wyrażenia trygonometrycznego.	Wartość wyrażenia $\cos \frac{18 π}{7}$ jest ujemna (drugie ramię kąta $5 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{14}$ leży w $II$ ćwiartce układu współrzędnych).
Jeśli $k$ jest liczbą nieparzystą, to funkcja przechodzi na kofunkcję, zaś jeśli $k$ jest liczbą parzystą, to funkcja zostaje bez zmian.	Ponieważ $k = 5$ jest liczbą nieparzystą, więc funkcja cosinus przechodzi na sinus: $\cos (5 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{14}) = - \sin \frac{π}{14}$ .

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia $\sin 12 ° + \sin 36 ° + \sin 192 ° + \sin 216 °$ .

$\sin 12 ° + \sin 36 ° + \sin 192 ° + \sin 216 ° =$ $= \sin 12 ° + \sin 36 ° + \sin (180 ° + 12 °) + \sin (180 ° + 36 °) =$ $= \sin 12 ° + \sin 36 ° - \sin 12 ° - \sin 36 ° = 0$

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia: $\frac{(\frac{1}{tg 44 °} + tg 226 °) \cos 406 °}{\cos 316 °} - \frac{1}{tg 72 ° \cdot tg 18 °}$ .

$\frac{(\frac{1}{tg 44 °} + tg 226 °) \cos 406 °}{\cos 316 °} - \frac{1}{tg 72 ° \cdot tg 18 °} =$ $= \frac{(\frac{1}{tg (90 ° - 46 °)} + tg (180 ° + 46 °)) \cos (360 ° + 46 °)}{\cos (270 ° + 46 °)} - \frac{1}{tg (90 ° - 18 °) \cdot tg 18 °} =$ $= \frac{(\frac{1}{\frac{1}{tg 46 °}} + tg 46 °) \cos 46 °}{\sin 46 °} - \frac{1}{\frac{1}{tg 18 °} \cdot tg 18 °} =$
$= \frac{(tg 46 ° + tg 46 °) \cos 46 °}{\sin 46 °} - \frac{1}{1} =$ $\frac{2 tg 46 ° \cdot \cos 46 °}{\sin 46 °} - \frac{1}{1} =$
$= \frac{2 \cdot \frac{\sin 46 °}{\cos 46 °} \cdot \cos 46 °}{\sin 46 °} - \frac{1}{1} =$ $\frac{2 \cdot \sin 46 °}{\sin 46 °} - \frac{1}{1} =$ $2 - 1 = 1$

Przykład 3

Wiedząc, że $\sin (π - t) = - \frac{2}{3}$ , $t \in (π, \frac{3 π}{2})$ , obliczymy:

a) $\sin (π + t)$

Zauważmy najpierw, że $\sin (π - t) = \sin t$ .
Zatem $\sin (π + t) = - \sin t = - (- \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$ .

b) $\cos (π - t)$

Ponieważ $\cos (π - t) = - \cos t$ oraz $\sin t = - \frac{2}{3}$ , skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 \Leftrightarrow {(- \frac{2}{3})}^{2} + \cos^{2} t = 1 \Leftrightarrow \cos^{2} t = \frac{5}{9}$ .

Ponieważ $t \in (π, \frac{3 π}{2})$ , więc $\cos t = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Zatem $\cos (π - t) = - \cos t = - (- \frac{\sqrt{5}}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

c) $tg (\frac{3 π}{2} + t)$

Mamy $tg (\frac{3 π}{2} + t) = - \frac{1}{tg t} = - \frac{\cos t}{\sin t}$ . Z poprzednich podpunktów mamy $\sin t = - \frac{2}{3}$ oraz $\cos t = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ , więc $- \frac{\cos t}{\sin t} = - \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{- \frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia $\sin \frac{π}{5} + \cos \frac{13 π}{10}$ .

$\sin \frac{π}{5} + \cos \frac{13 π}{10} = \sin \frac{2 π}{10} + \cos \frac{13 π}{10} = \sin (\frac{5 π}{10} - \frac{3 π}{10}) + \cos (\frac{10 π}{10} + \frac{3 π}{10}) =$ $= \sin (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) + \cos (π + \frac{3 π}{10}) =$ $\cos \frac{3 π}{10} - \cos \frac{3 π}{10} = 0$

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia sin $\sin 10 ° + \sin 20 ° + \sin 30 ° + \dots + \sin 360 °$ .

Zauważmy, że

$\sin 100 ° + \sin 110 ° + \sin 120 ° + \dots + \sin 170 ° =$ $= \sin (90 ° + 10 °) + \sin (90 ° + 20 °) + \sin (90 ° + 30 °) + \dots + \sin (90 ° + 80 °) =$ $= \cos 10 ° + \cos 20 ° + \cos 30 ° + \dots + \cos 80 °$

$\sin 190 ° + \sin 200 ° + \sin 210 ° + \dots + \sin 260 ° =$ $= \sin (180 ° + 10 °) + \sin (180 ° + 20 °) + \sin (180 ° + 30 °) + \dots$ $+ \sin (180 ° + 80 °) = - \sin 10 ° - \sin 20 ° - \sin 30 ° - \dots - \sin 80 °$

$\sin 280 ° + \sin 290 ° + \sin 300 ° + \dots + \sin 350 ° =$ $= \sin (270 ° + 10 °) + \sin (270 ° + 20 °) + \sin (270 ° + 30 °) + \dots$ $+ \sin (270 ° + 80 °) = - \cos 10 ° - \cos 20 ° - \cos 30 ° - \dots - \cos 80 °$

Zatem

$\sin 10 ° + \dots + \sin 80 ° + \sin 90 ° + \sin 100 ° + \dots + \sin 170 ° + \sin 180 ° +$ $+ \sin 190 ° + \dots + \sin 260 ° + \sin 270 ° + \sin 280 ° + \dots + \sin 350 ° + \sin 360 ° =$ $= \sin 10 ° + \dots + \sin 80 ° + \sin 90 ° + \cos 10 ° + \dots + \cos 80 ° + \sin 180 ° +$ $- \sin 10 ° - \dots - \sin 80 ° + \sin 270 ° - \cos 10 ° - \dots - \cos 80 ° + \sin 360 ° =$ $= \sin 90 ° + \sin 180 ° + \sin 270 ° + \sin 360 ° = 1 + 0 - 1 + 0 = 0$ .

Przykład 6

Porównamy liczby $\cos 87 °$ i $tg 183 °$ .

Zauważmy, że $\cos 87 ° = \cos (90 ° - 3 °) = \sin 3 °$ oraz $tg 183 ° = tg (180 ° + 3 °) = tg 3 °$ .

Aby porównać liczby $\cos 87 °$ i $tg 183 °$ , wystarczy porównać liczby $\sin 3 °$ i $tg 3 °$ . W tym celu zbadamy znak różnicy tych wyrażeń: $\sin 3 ° - tg 3 ° = \sin 3 ° - \frac{\sin 3 °}{\cos 3 °} = \sin 3 ° \cdot (1 - \frac{1}{\cos 3 °}) = \sin 3 ° \cdot \frac{\cos 3 ° - 1}{\cos 3 °}$ . Ponieważ dla $α \in (0 °, 90 °)$ mamy $0 < \sin α < 1$ oraz $0 < \cos α < 1$ , więc $\cos 3 ° - 1 < 0$ . Stąd $\sin 3 ° \cdot \frac{\cos 3 ° - 1}{\cos 3 °} < 0$ , więc $\sin 3 ° - tg 3 ° < 0 \Leftrightarrow \sin 3 ° < tg 3 °$ .

Słownik

okresowość funkcji trygonometrycznych

okresem podstawowym funkcji sinus i funkcji cosinus jest liczba $2 π$ ; okresem zasadniczym funkcji tangens jest liczba $π$

parzystość funkcji cosinus

funkcja cosinus jest funkcją parzystą, co oznacza, że dla dowolnego $x \in ℝ$ zachodzi równość $\cos (- x) = \cos x$

nieparzystość funkcji sinus

funkcja sinus jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że dla dowolnego $x \in ℝ$ zachodzi równość $\sin (- x) = - \sin x$

nieparzystość funkcji tangens

funkcja tangens jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że dla dowolnego $x \in ℝ ∖ \{\frac{π}{2} + k π : k \in ℤ\}$ zachodzi równość $tg (- x) = - tg x$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik