Przeczytaj

Już wiesz

Dwie figury są symetryczne względem prostej $k$ , jeżeli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem tej prostej.

RTcnjpuXpeT1n

Grafika przedstawia dwa trójkąty. Pomiędzy trójkątami znajduje się pionowa prosta k. Z lewej strony prostej k znajduje się trójkąt o wierzchołkach A, B, C. Z prawej strony znajduje się lustrzane odbicie trójkąta ABC o wierzchołkach A’, B’, C’.

Prostą $k$ nazywamy osią symetrii.

Ważne!

Jeżeli punkt leży na prostej, która jest osią symetrii, wówczas jego obrazem w symetrii względem tej prostej jest ten sam punkt.

Obraz figury w symetrii względem danej prostej

Rozpatrzmy kilka przypadków wyznaczania obrazu figury w symetrii względem prostej $y = a x + b$ .

Obraz figury w symetrii względem osi $X$ , czyli prostej $y = 0$

Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne $(x, y)$ , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej $y = 0$ jest punkt o współrzędnych $(x, - y)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostejsymetria względem prostejsymetrii względem prostej o równaniu $y = 0$ .

RSIgyXOIvRUer

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 5 do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt o wierzchołkach: A, B, C. Punkt A ma współrzędne: nawias, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 2, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 3, 5, zamknięcie nawiasu

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia obrazu figury z rysunku w podanej symetrii wystarczy znaleźć współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta.

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (- 1, 3)$ ,

$B = (2, 2)$ ,

$C = (3, 5)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej $y = 0$ są punkty o współrzędnych:

$A' = (- 1, - 3)$ ,

$B' = (2, - 2)$ ,

$C' = (3, - 5)$ .

Zatem obraz danego trójkąta w podanej symetrii przedstawia się następująco:

R1TZZUCQCVzBb

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 5 do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa trójkąty. Pierwszy ma wierzchołki: A, B, C. Punkt A ma współrzędne: nawias, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 2, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 3, 5, zamknięcie nawiasu. Poniżej osi x znajduje się drugi trójkąt o wierzchołkach: A’, B’, C’. Punkt A’ ma współrzędne: nawias, minus 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Punkt B’ ma współrzędne: nawias, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C’ ma współrzędne: nawias, 3, minus 5, zamknięcie nawiasu.

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = x$

Jeżeli dowolny punkt, który należy do figury ma współrzędne $(x, y)$ , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej $y = x$ jest punkt o współrzędnych $(y, x)$ .

Przykład 2

Wyznaczymy obraz czworokąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu $y = x$ .

RtNdP0DUIgDe7

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 5 do pięciu. Na płaszczyźnie znajduje się czworokąt o wierzchołkach: A, B, C, D. Punkt A ma współrzędne: nawias, minus 4, minus 3, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 1, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Punkt D ma współrzędne: nawias, minus 4, 4, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:

$A = (- 4, - 3)$ ,

$B = (1, - 2)$ ,

$C = (2, 3)$ ,

$D = (- 4, 4)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej $y = x$ są punkty o współrzędnych:

$A' = (- 3, - 4)$ ,

$B' = (- 2, 1)$ ,

$C' = (3, 2)$ ,

$D' = (4, - 4)$ .

Obraz danego czworokąta w symetrii względem prostej $y = x$ przedstawia się następująco:

RT5gdTTbwFJYG

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 5 do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa czworokąty. Pierwszy o wierzchołkach: A, B, C, D. Punkt A ma współrzędne: nawias, minus 4, minus 3, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 1, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Punkt D ma współrzędne: nawias, minus 4, 4, zamknięcie nawiasu. Drugi o wierzchołkach: A’, B’, C’, D’. Punkt A’ ma współrzędne: nawias, minus 3, minus 4, zamknięcie nawiasu. Punkt B’ ma współrzędne: nawias, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Punkt C’ ma współrzędne: nawias, 3, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt D’ ma współrzędne: nawias, 4, minus 4, zamknięcie nawiasu.

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = b$

Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne $(x, y)$ , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej $y = b$ , gdzie $b \in ℝ$ jest punkt o współrzędnych $(x, 2 b - y)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy obraz pięciokąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu $y = - 2$ .

R11cIe0DY9mMV

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 7 do trzech. Na płaszczyźnie znajduje figura o pięciu kątach o wierzchołkach: A, B, C, D, E. Punkt A ma współrzędne: nawias, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt D ma współrzędne: nawias, 0, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt E ma współrzędne: nawias, minus 3, 1, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków pięciokąta:

$A = (0, - 5)$ ,

$B = (1, - 3)$ ,

$C = (3, - 2)$ ,

$D = (0, 2)$ ,

$E = (- 3, 1)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej $y = - 2$ są punkty o współrzędnych:

$A' = (0, 1)$ ,

$B' = (1, - 1)$ ,

$C' = (3, - 2)$ ,

$D' = (0, - 6)$ ,

$E' = (- 3, - 5)$ .

Zatem obraz danego pięciokąta w symetrii względem prostej $y = - 2$ przedstawia się następująco:

RP43K6sFQuLAE

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 5 do 5 i poziomej osi x od minus 7 do trzech. Na płaszczyźnie znajdują się dwie figury o pięciu kątach. Pierwsza o wierzchołkach: A, B, C, D, E. Punkt A ma współrzędne: nawias, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt D ma współrzędne: nawias, 0, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt E ma współrzędne: nawias, minus 3, 1, zamknięcie nawiasu. Druga o wierzchołkach: A’, B’, C’, D’, E’. Punkt A’ ma współrzędne: nawias, 0, 1, zamknięcie nawiasu. Punkt B’ ma współrzędne: nawias, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Punkt C’ ma współrzędne: nawias, 3, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt D’ ma współrzędne: nawias, 0, minus 6, zamknięcie nawiasu. Punkt E’ ma współrzędne: nawias, minus 5, minus 3, zamknięcie nawiasu.

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = a x$ .

Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne $(x, y)$ , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej $y = a x$ jest punkt o współrzędnych $(\frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} x + \frac{2 a}{1 + a^{2}} y, \frac{2 a}{1 + a^{2}} x - \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} y)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu $y = 2 x$ .

R1MtHRfK5Xos5

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (2, - 1)$ ,

$B = (4, 2)$ ,

$C = (1, 5)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej $y = 2 x$ są punkty o współrzędnych:

$A' = (\frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot 2 + \frac{4}{1 + 4} \cdot (- 1), \frac{4}{1 + 4} \cdot 2 - \frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot (- 1)) = (- 2, 1)$ ,

$B' = (\frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot 4 + \frac{4}{1 + 4} \cdot 2, \frac{4}{1 + 4} \cdot 4 - \frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot 2) = (- \frac{4}{5}, \frac{22}{5})$ ,

$C' = (\frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot 1 + \frac{4}{1 + 4} \cdot 5, \frac{4}{1 + 4} \cdot 1 - \frac{1 - 4}{1 + 4} \cdot 5) = (\frac{17}{5}, \frac{19}{5})$ .

Zatem obraz danego trójkąta w symetrii względem prostej $y = 2 x$ przedstawia się następująco:

RIODa28Bri5uk

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 5 do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa trójkąty. Pierwszy o wierzchołkach: A, B, C. Punkt A ma współrzędne: nawias, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 1, 5, zamknięcie nawiasu. Drugi o wierzchołkach: A’, B’, C’. Punkt A’ ma współrzędne: nawias, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Punkt B’ ma wartość x pomiędzy minus 1 i 0, a wartość y pomiędzy 4 a 5. Punkt C’ ma wartość x pomiędzy 3 i 4, a wartość y również pomiędzy 3 i 4.

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = a x + b$ .

Wykorzystamy do tego:

równanie prostej prostopadłej do osi symetrii,
wzór na środek odcinka,
wzór na długość odcinka.

Przykład 5

Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostej $y = - x - 1$ .

R2N1WowNRQVdn

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:

$A = (- 1, - 4)$ ,

$B = (3, - 2)$ ,

$C = (1, 4)$ .

Obrazy tych punktów leżą na prostych prostopadłych do prostej $y = - x - 1$ .

Równanie prostej prostopadłej do tej prostej ma postać $y = x + b$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu $A'$ .

Ponieważ punkt $A = (- 1, - 4)$ należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: $y = x - 3$ .

Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:

$\{\begin{cases} y = - x - 1 \\ y = x - 3 \end{cases}$

Punkt przecięcia ma współrzędne $S = (1, - 2)$ .

Zauważmy, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $A' = (x, y)$ .

Korzystając ze wzoru na środek odcinka otrzymujemy równania:

$1 = \frac{- 1 + x}{2}$ ,

$- 2 = \frac{- 4 + y}{2}$ .

Z równań otrzymujemy: $A' = (3, 0)$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu $B'$ .

Ponieważ punkt $B = (3, - 2)$ należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: $y = x - 5$ .

Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:

$\{\begin{cases} y = - x - 1 \\ y = x - 5 \end{cases}$

Punkt przecięcia ma współrzędne $S = (2, - 3)$ .

Zauważmy, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $B B^{'}$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $B' = (x, y)$ .

Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy równania:

$2 = \frac{3 + x}{2}$ ,

$- 3 = \frac{- 2 + y}{2}$ .

Z równań otrzymujemy: $B' = (1, - 4)$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu $C'$ .

Ponieważ punkt $C = (1, 4)$ należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: $y = x + 3$ .

Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:

$\{\begin{cases} y = - x - 1 \\ y = x + 3 \end{cases}$

Punkt przecięcia ma współrzędne $S = (- 2, 1)$ .

Zauważmy, że punkt $S$ jest środkiem odcinka $C C^{'}$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $C' = (x, y)$ .

Korzystając ze wzoru na środek odcinka otrzymujemy równania:

$- 2 = \frac{1 + x}{2}$ ,

$1 = \frac{4 + y}{2}$ .

Z równań otrzymujemy: $C' = (- 5, - 2)$ .

Wobec tego obraz danego trójkąta w symetrii względem prostej $y = - x - 1$ przedstawia się następująco:

R1JyRgZjTuzh9

Przykład 6

Sprawdzimy, czy trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ z rysunku są symetryczne względem prostej $y = x$ .

R1UDaIQwuFdaa

Grafika przedstawia układ współrzędnych o pionowej osi y od minus 3 do 5 i poziomej osi x od minus 4 do sześciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa trójkąty. Pierwszy o wierzchołkach: A, B, C. Punkt A ma współrzędne: nawias, 0, 0, zamknięcie nawiasu. Punkt B ma współrzędne: nawias, 4, minus 2, zamknięcie nawiasu. Punkt C ma współrzędne: nawias, 5, 3, zamknięcie nawiasu. Drugi o wierzchołkach: A’, B’, C’. Punkt A’ ma współrzędne: nawias, 0, 0, zamknięcie nawiasu. Punkt B’ ma współrzędne: nawias, minus 2, 4, zamknięcie nawiasu. Punkt C’ ma współrzędne: nawias, 3, 4, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkątów $A B C$ i $A' B' C'$ :

$A = (0, 0)$ ,

$B = (4, - 2)$ ,

$C = (5, 3)$ ,

$A' = (0, 0)$ ,

$B' = (- 2, 4)$ ,

$C' = (3, 4)$ .

Zauważmy, że punkty $A$ i $A'$ oraz $B$ i $B'$ są symetryczne w symetrii względem prostej $y = x$ .

Punkty $C$ i $C'$ nie są symetryczne względem prostej $y = x$ , zatem trójkąty $A B C$ i $A' B' C'$ z rysunku nie są symetryczne względem prostej $y = x$ .

Słownik

symetria względem prostej

odwzorowanie geometryczne, które każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje taki punkt $P'$ , że oba punkty leżą po przeciwnych stronach tej prostej, na prostej prostopadłej i w równych odległościach od tej prostej

Wprowadzenie

Aplet

Obraz figury w symetrii względem danej prostej

Obraz figury w symetrii względem osi $X$ , czyli prostej $y = 0$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = x$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = b$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = a x$ .

Słownik

Wprowadzenie

Aplet

Przeczytaj

Obraz figury w symetrii względem danej prostej

Obraz figury w symetrii względem osi X, czyli prostej y=0

Obraz figury w symetrii względem prostej y=x

Obraz figury w symetrii względem prostej y=b

Obraz figury w symetrii względem prostej y=ax.

Słownik

Obraz figury w symetrii względem osi $X$ , czyli prostej $y = 0$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = x$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = b$

Obraz figury w symetrii względem prostej $y = a x$ .