Przeczytaj
Dwie figury są symetryczne względem prostej , jeżeli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem tej prostej.
Prostą nazywamy osią symetrii.
Jeżeli punkt leży na prostej, która jest osią symetrii, wówczas jego obrazem w symetrii względem tej prostej jest ten sam punkt.
Obraz figury w symetrii względem danej prostej
Rozpatrzmy kilka przypadków wyznaczania obrazu figury w symetrii względem prostej .
Obraz figury w symetrii względem osi , czyli prostej
Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej jest punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostejsymetrii względem prostej o równaniu .
Rozwiązanie:
Do wyznaczenia obrazu figury z rysunku w podanej symetrii wystarczy znaleźć współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta.
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:
,
,
.
Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej są punkty o współrzędnych:
,
,
.
Zatem obraz danego trójkąta w podanej symetrii przedstawia się następująco:
Obraz figury w symetrii względem prostej
Jeżeli dowolny punkt, który należy do figury ma współrzędne , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej jest punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy obraz czworokąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu .
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków czworokąta:
,
,
,
.
Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej są punkty o współrzędnych:
,
,
,
.
Obraz danego czworokąta w symetrii względem prostej przedstawia się następująco:
Obraz figury w symetrii względem prostej
Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej , gdzie jest punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy obraz pięciokąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu .
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków pięciokąta:
,
,
,
,
.
Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej są punkty o współrzędnych:
,
,
,
,
.
Zatem obraz danego pięciokąta w symetrii względem prostej przedstawia się następująco:
Obraz figury w symetrii względem prostej .
Jeżeli dowolny punkt należący do figury ma współrzędne , to obrazem tego punktu w symetrii względem prostej jest punkt o współrzędnych .
Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostej o równaniu .
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:
,
,
.
Obrazem tych punktów w symetrii względem prostej są punkty o współrzędnych:
,
,
.
Zatem obraz danego trójkąta w symetrii względem prostej przedstawia się następująco:
Obraz figury w symetrii względem prostej .
Wykorzystamy do tego:
równanie prostej prostopadłej do osi symetrii,
wzór na środek odcinka,
wzór na długość odcinka.
Wyznaczymy obraz trójkąta z rysunku w symetrii względem prostej .
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkąta:
,
,
.
Obrazy tych punktów leżą na prostych prostopadłych do prostej .
Równanie prostej prostopadłej do tej prostej ma postać .
Wyznaczymy współrzędne punktu .
Ponieważ punkt należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: .
Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:
Punkt przecięcia ma współrzędne .
Zauważmy, że punkt jest środkiem odcinka .
Oznaczmy współrzędne punktu .
Korzystając ze wzoru na środek odcinka otrzymujemy równania:
,
.
Z równań otrzymujemy: .
Wyznaczymy współrzędne punktu .
Ponieważ punkt należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: .
Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:
Punkt przecięcia ma współrzędne .
Zauważmy, że punkt jest środkiem odcinka .
Oznaczmy współrzędne punktu .
Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy równania:
,
.
Z równań otrzymujemy: .
Wyznaczymy współrzędne punktu .
Ponieważ punkt należy do prostej prostopadłej, zatem podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: .
Wyznaczamy punkt przecięcia tych dwóch prostych poprzez rozwiązanie układu równań:
Punkt przecięcia ma współrzędne .
Zauważmy, że punkt jest środkiem odcinka .
Oznaczmy współrzędne punktu .
Korzystając ze wzoru na środek odcinka otrzymujemy równania:
,
.
Z równań otrzymujemy: .
Wobec tego obraz danego trójkąta w symetrii względem prostej przedstawia się następująco:
Sprawdzimy, czy trójkąty i z rysunku są symetryczne względem prostej .
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy współrzędne wierzchołków trójkątów i :
,
,
,
,
,
.
Zauważmy, że punkty i oraz i są symetryczne w symetrii względem prostej .
Punkty i nie są symetryczne względem prostej , zatem trójkąty i z rysunku nie są symetryczne względem prostej .
Słownik
odwzorowanie geometryczne, które każdemu punktowi przyporządkowuje taki punkt , że oba punkty leżą po przeciwnych stronach tej prostej, na prostej prostopadłej i w równych odległościach od tej prostej