Przeczytaj
Przypomnij sobie definicje, które pozwolą nam odpowiedzieć na zadane we wstępie pytanie.
Przeanalizuj przykłady.
Przedział liczbowy, to podzbiórpodzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Możemy go zapisać za pomocą nierówności, przy użyciu nawiasów lub zaznaczyć na osi liczbowej.
Przypomnij sobie jakie przedziały liczboweprzedziały liczbowe już znasz.
przedział ograniczony domknięty:
przedział ograniczony otwarty:
przedział ograniczony otwarto – domknięty:
przedział ograniczony domknięto – otwarty:
Zbiór jest podzbiorem zbioru , jeśli każdy element zbioru należy do zbioru .
Mówimy wtedy, że zbiór zawiera się w zbiorze i zapisujemy symbolicznie .
Warto też pamiętać, że podzbiorem dowolnego zbioru jest ten sam zbiór .
A zatem również .
Możemy więc powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych jest przedziałem.
Jest to jednak przedział nieograniczony.
Zbiór liczb rzeczywistych możemy zapisać w postaci .
Możemy ten przedział przedstawić na osi liczbowej:
Wiesz, że na przedziałach możemy wykonywać działania.
Przeanalizuj przykłady przedstawiające sumę i iloczyn przedziału nieograniczonego i przedziałów liczbowych ograniczonych. Różnicą tych przedziałów zajmiemy się w kolejnych materiałach.
Zaznacz zbiory i na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.
Suma przedziałów, czyli liczby, które należą do przedziału lub do przedziału .
Iloczyn przedziałów, to liczby, które należą do przedziału i do przedziału .
Zaznacz zbiory i na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.
WNIOSEK:
Suma dowolnego przedziału ograniczonego i przedziału nieograniczonego , jest równa przedziałowi nieograniczonemu .
Iloczyn dowolnego przedziału ograniczonego i przedziału nieograniczonego , jest równy przedziałowi ograniczonemu .
Przedział nieograniczony jest też zbiorem rozwiązań równań i nierówności tożsamościowych.
Rozwiąż równania.
a)
b)
c)
W wyniku przekształcania równań równoważnie, w każdym z nich otrzymaliśmy
To oznacza, że są to równania tożsamościowe, a więc są spełnione przez wszystkie liczby rzeczywiste.
Możemy zatem zapisać, że .
Rozwiąż nierówność.
Ta nierówność jest prawdziwa i nie zależy od liczby, którą podstawimy w miejsce .
A zatem zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział .
Słownik
zbiór zawarty w zbiorze ; wszystkie elementy zbioru należą do zbioru
podzbiór zbioru liczb rzeczywistych