Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnij sobie definicje, które pozwolą nam odpowiedzieć na zadane we wstępie pytanie.

Przeanalizuj przykłady.

Przedział liczbowy
Definicja: Przedział liczbowy

Przedział liczbowy, to podzbiórpodzbiór A zbioru Zpodzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Możemy go zapisać za pomocą nierówności, przy użyciu nawiasów lub zaznaczyć na osi liczbowej.

Przykład 1

Przypomnij sobie jakie przedziały liczboweprzedział liczbowyprzedziały liczbowe już znasz.

  • przedział ograniczony domknięty: x-5, 3

RVTJoVKtnR4ZY
-5x3
  • przedział ograniczony otwarty: x4, 12

RtYZDcobgyVu3
4<x<12
  • przedział ograniczony otwarto – domknięty: x2, 5

RLt17lI5F4R3l
2<x5
  • przedział ograniczony domknięto – otwarty: x-5, 4

RpmGRCSv8ZOhd
-5x<4
Podzbiór zbioru
Definicja: Podzbiór zbioru

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A należy do zbioru B.

Mówimy wtedy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i zapisujemy symbolicznie AB.

ABxAxB

Warto też pamiętać, że podzbiorem dowolnego zbioru A jest ten sam zbiór A.

A zatem również .

Możemy więc powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych jest przedziałem.

Jest to jednak przedział nieograniczony.

Zbiór liczb rzeczywistych możemy zapisać w postaci -, +.

Możemy ten przedział przedstawić na osi liczbowej:

RNhrONY0ft0Js

Wiesz, że na przedziałach możemy wykonywać działania.

Przeanalizuj przykłady przedstawiające sumę i iloczyn przedziału nieograniczonego -, + i przedziałów liczbowych ograniczonych. Różnicą tych przedziałów zajmiemy się w kolejnych materiałach.

Przykład 2

Zaznacz zbiory AB na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

A=-1, 4

B=

Rlqr0WxDuLt2Z

Suma przedziałów, czyli liczby, które należą do przedziału A lub do przedziału B.

AB=-, ==B

Iloczyn przedziałów, to liczby, które należą do przedziału A i do przedziału B.

AB=-1, 4=A

Przykład 3

Zaznacz zbiory AB na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

A=-2, 34, 8

B=

R1KU0j4heRkmY

AB=-, ==B

AB=-2, 34, 8=A

WNIOSEK:

  • Suma dowolnego przedziału ograniczonego A i przedziału nieograniczonego -, , jest równa przedziałowi nieograniczonemu -, .

  • Iloczyn dowolnego przedziału ograniczonego A i przedziału nieograniczonego -, , jest równy przedziałowi ograniczonemu A.

Przedział nieograniczony -,  jest też zbiorem rozwiązań równań i nierówności tożsamościowych.

Przykład 4

Rozwiąż równania.

a)

3x+4-x=-5+2x+9

2x+4=2x+4

2x-2x=4-4

0x=0

0=0

b)

2x-64=x-32 ·4

2x-6=2x-6

2x-2x=6-6

0x=0

0=0

c)

xx-4+2=2x-6x-2+x2

x2-4x+2=2x-6x+2+x2

x2-x2-4x+4x+2-2=0

0x=0

0=0

W wyniku przekształcania równań równoważnie, w każdym z nich otrzymaliśmy

0=0

To oznacza, że są to równania tożsamościowe, a więc są spełnione przez wszystkie liczby rzeczywiste.

Możemy zatem zapisać, że x-, .

Przykład 5

Rozwiąż nierówność.

4·x-3-12+4x-2

4x-12-12+4x-2

4x-4x-12+12-2

0x-2

0-2

Ta nierówność jest prawdziwa i nie zależy od liczby, którą podstawimy w miejsce x.

A zatem zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział -, .

Słownik

podzbiór A zbioru Z
podzbiór A zbioru Z

zbiór A zawarty w zbiorze Z; wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru Z

przedział liczbowy
przedział liczbowy

podzbiór zbioru liczb rzeczywistych