Przeczytaj

Przypomnij sobie definicje, które pozwolą nam odpowiedzieć na zadane we wstępie pytanie.

Przeanalizuj przykłady.

Przedział liczbowy

Definicja: Przedział liczbowy

Przedział liczbowy, to podzbiórpodzbiór $A$ zbioru $Z$ podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Możemy go zapisać za pomocą nierówności, przy użyciu nawiasów lub zaznaczyć na osi liczbowej.

Przykład 1

Przypomnij sobie jakie przedziały liczboweprzedział liczbowyprzedziały liczbowe już znasz.

przedział ograniczony domknięty: $x \in ⟨- 5, 3⟩$

RGXONPE7C4PO9

Ilustracja przedstawia oś iks na której zaznaczono przedział obustronnie domknięty od minus pięć do trzy.

- 5 \leq x \leq 3

przedział ograniczony otwarty: $x \in (4, 12)$

RNKQ7MXX4V6JM

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział obustronnie otwarty od cztery do dwanaście.

4 < x < 12

przedział ograniczony otwarto – domknięty: $x \in (2, 5⟩$

R8FFFON2BQ5AP

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział prawostronnie domknięty od dwa do pięć.

2 < x \leq 5

przedział ograniczony domknięto – otwarty: $x \in ⟨- 5, 4)$

R1B9FJM7XSESO

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział lewostronnie domknięty od minus pięć do cztery.

- 5 \leq x < 4

Podzbiór zbioru

Definicja: Podzbiór zbioru

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$ , jeśli każdy element zbioru $A$ należy do zbioru $B$ .

Mówimy wtedy, że zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $B$ i zapisujemy symbolicznie $A \subset B$ .

A \subset B \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B)

Warto też pamiętać, że podzbiorem dowolnego zbioru $A$ jest ten sam zbiór $A$ .

A zatem również $ℝ \subset ℝ$ .

Możemy więc powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ jest przedziałem.

Jest to jednak przedział nieograniczony.

Zbiór liczb rzeczywistych możemy zapisać w postaci $(- \infty, + \infty)$ .

Możemy ten przedział przedstawić na osi liczbowej:

R1Z1V5Z4UGZBH

Ilustracja przedstawia oś iks, na której lewy koniec podpisano symbolem minus nieskończoności, a prawy koniec symbolem nieskończoności. Wszystkie punkty na osi wyróżniono kolorem i podpisano symbolem R.

Wiesz, że na przedziałach możemy wykonywać działania.

Przeanalizuj przykłady przedstawiające sumę i iloczyn przedziału nieograniczonego $(- \infty, + \infty)$ i przedziałów liczbowych ograniczonych. Różnicą tych przedziałów zajmiemy się w kolejnych materiałach.

Przykład 2

Zaznacz zbiory $A$ i $B$ na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

$A = (- 1, 4)$

$B = ℝ$

RVFMG6N2GC9TQ

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono zbiór liczb rzeczywistych od minus nieskończoności do nieskończoności opisany jako B oraz przedział obustronnie otwarty od minus jeden do cztery opisany jako A.

Suma przedziałów, czyli liczby, które należą do przedziału $A$ lub do przedziału $B$ .

$A \cup B = (- \infty, \infty) = ℝ = B$

Iloczyn przedziałów, to liczby, które należą do przedziału $A$ i do przedziału $B$ .

$A \cap B = (- 1, 4) = A$

Przykład 3

Zaznacz zbiory $A$ i $B$ na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

$A = (- 2, 3) \cup ⟨4, 8)$

$B = ℝ$

R1CQ12E7PQZR3

Ilustracja przedstawia oś iks ze zbiorem liczb rzeczywistych opisanym jako B=R oraz dwa przedziały: przedział obustronnie otwarty od minus dwa do trzy oraz przedział lewostronnie domknięty od cztery do osiem opisane jako A.

$A \cup B = (- \infty, \infty) = ℝ = B$

$A \cap B = (- 2, 3) \cup ⟨4, 8) = A$

WNIOSEK:

Suma dowolnego przedziału ograniczonego $A$ i przedziału nieograniczonego $(- \infty, \infty)$ , jest równa przedziałowi nieograniczonemu $(- \infty, \infty)$ .
Iloczyn dowolnego przedziału ograniczonego $A$ i przedziału nieograniczonego $(- \infty, \infty)$ , jest równy przedziałowi ograniczonemu $A$ .

Przedział nieograniczony $(- \infty, \infty)$ jest też zbiorem rozwiązań równań i nierówności tożsamościowych.

Przykład 4

Rozwiąż równania.

$3 x + 4 - x = - 5 + 2 x + 9$

$2 x + 4 = 2 x + 4$

$2 x - 2 x = 4 - 4$

$0 x = 0$

$0 = 0$

$\frac{2 x - 6}{4} = \frac{x - 3}{2} |\cdot 4$

$2 x - 6 = 2 x - 6$

$2 x - 2 x = 6 - 6$

$0 x = 0$

$0 = 0$

$x (x - 4) + 2 = 2 x - (6 x - 2) + x^{2}$

$x^{2} - 4 x + 2 = 2 x - 6 x + 2 + x^{2}$

$x^{2} - x^{2} - 4 x + 4 x + 2 - 2 = 0$

$0 x = 0$

$0 = 0$

W wyniku przekształcania równań równoważnie, w każdym z nich otrzymaliśmy

$0 = 0$

To oznacza, że są to równania tożsamościowe, a więc są spełnione przez wszystkie liczby rzeczywiste.

Możemy zatem zapisać, że $x \in (- \infty, \infty)$ .

Przykład 5

Rozwiąż nierówność.

$4 \cdot (x - 3) \geq - 12 + 4 x - 2$

$4 x - 12 \geq - 12 + 4 x - 2$

$4 x - 4 x \geq - 12 + 12 - 2$

$0 x \geq - 2$

$0 \geq - 2$

Ta nierówność jest prawdziwa i nie zależy od liczby, którą podstawimy w miejsce $x$ .

A zatem zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział $(- \infty, \infty)$ .

Słownik

podzbiór

A

zbioru

Z

podzbiór

A

zbioru

Z

zbiór $A$ zawarty w zbiorze $Z$ ; wszystkie elementy zbioru $A$ należą do zbioru $Z$

przedział liczbowy

podzbiór zbioru liczb rzeczywistych

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik