Przeczytaj

Każda prosta umieszczona w układzie współrzędnych może zostać opisana tzw. równaniem ogólnym prostejrównanie ogólne prostejrównaniem ogólnym prostej postaci $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ i $B$ nie są równocześnie zerami.

Jeśli $B = 0$ , to równanie redukuje się do postaci $A x + C = 0$ , czyli $x = - \frac{C}{A}$ . Takie równanie opisuje prostą równoległą do osi $Y$ .

Jeśli $B \neq 0$ , to możemy wykonać kolejne przekształcenia:

$\begin{array}{l} A x + B y + C = 0 \\ B y = - A x - C \\ y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B} \end{array}$

Zatem współczynnik kierunkowy prostej opisanej wzorem ogólnym $A x + B y + C = 0$ jest równy - $\frac{A}{B}$ , o ile $B \neq 0$ .

Przykład 1

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostej o równaniu $2 x + 3 y = 5$ .

Ponieważ współczynnik przy zmiennej y jest różny od zera możemy wykonać następujące przekształcenia:

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 5 \\ 3 y = - 2 x + 5 \\ y = - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} \end{array}$

Zatem współczynnik kierunkowy prostej o równaniu $2 x + 3 y = 5$ jest równy $- \frac{2}{3}$ .

Przykład 2

Sprawdzimy, czy proste o równaniach $2 x - 3 y = 5$ i $6 x + 4 y = 7$ są prostopadłe.

Wyznaczymy współczynniki kierunkowe tych prostych:

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 5 \\ - 3 y = - 2 x + 5 \\ y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3} \end{array}$

Zatem współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy $\frac{2}{3}$ . Ponadto

$\begin{array}{l} 6 x + 4 y = 7 \\ 4 y = - 6 x + 7 \\ y = - \frac{6}{4} x + \frac{7}{4} \\ y = - \frac{3}{2} x + \frac{7}{4} \end{array}$

Zatem współczynnik kierunkowy drugiej prostej jest równy $- \frac{3}{2}$ .

Iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy $\frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1$ , więc proste są prostopadłe.

Słownik

współczynnik kierunkowy prostej

liczba $a$ we wzorze $y = a x + b$ zwanym równaniem kierunkowym prostej; określa nachylenie prostej

równanie ogólne prostej

równanie $A x + B y + C = 0$ , gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zeru

Wprowadzenie

Infografika

Słownik