Przeczytaj

Wzór funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej:

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $x \in ℝ$ i $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$ . Wzór funkcji kwadratowej możemy zapisać:

w postaci kanonicznej:
$f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ ,
gdzie $p = - \frac{b}{2 a ,}$ , $q = - \frac{Δ}{4 a}$ oraz $Δ = b^{2} - 4 a c$ ;

w postaci iloczynowej:
$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,
gdy wyróżnik $Δ$ jest nieujemny oraz $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ są miejscami zerowymi funkcji.

Pokażemy przekształcenia postaci ogólnej funkcji kwadratowejFunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej prowadzące do postaci kanonicznej i przekształcenia z postaci kanonicznej do postaci iloczynowej, o ile postać ta istnieje.

Aby z postaci ogólnej funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

przejść do postaci kanonicznej, wykonujemy następujące działania:

dodajemy i odejmujemy $\frac{b^{2}}{4 a}$ ,

z wyrażenia $a x^{2} + b x$ wyłączamy $a$ przed nawias,

wyrażenie $\frac{b}{a} x$ zapisujemy w postaci $2 \cdot \frac{b}{2 a} x$ ,

wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ .

A zatem:

f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{4 a} + c

f (x) = a (x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

Po podstawieniu $Δ = b^{2} - 4 a c$ otrzymujemy:

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia: $p = - \frac{b}{2 a}$ i $q = - \frac{Δ}{4 a}$ ,

to postać kanoniczna wyraża się wzorem:

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

Z ostatniego zapisu wynika, że wykres funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ możemy otrzymać z wykresu funkcji $h (x) = a x^{2}$ w przesunięciu równoległym, w którym obrazem wierzchołka $W_{0} = (0, 0)$ paraboli o równaniu $y = a x^{2}$ jest punkt $W = (p, q)$ .

Przesunięcie równoległe o wektor

Twierdzenie: Przesunięcie równoległe o wektor

W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f (x) = a x^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ , o wektor $\vec{v} = [p, q]$ otrzymujemy wykres funkcji $g (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Oznacza to, że wierzchołek $W$ paraboli ma współrzędne: $p = - \frac{b}{2 a}$ i $q = - \frac{Δ}{4 a}$ .

Wykorzystując postać kanoniczną funkcji kwadratowej zapiszemy wzór funkcji w postaci iloczynowej oraz podamy warunki, w których taki zapis jest możliwy. Mamy zatem:

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}]

W ostatnim przekształceniu wyłączyliśmy $a$ przed nawias i zapisaliśmy $\frac{Δ}{4 a^{2}}$ jako ${(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ . Zapis $Δ = {(\sqrt{Δ})}^{2}$ jest możliwy tylko w sytuacji, gdy $Δ \geq 0$ .

Kontynuując przekształcanie, wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów $n^{2} - k^{2} = (n - k) (n + k)$ :

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a})

Oznaczając $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Jeśli $Δ = 0$ , to:

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

Oznaczając $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ otrzymujemy:

f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}

Przykład 1

Zapiszemy wzór funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ w postaci ogólnej i iloczynowej.

Rozwiązanie

Przekształcenie do postaci ogólnej.

$I$ sposób:

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$

$f (x) = (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$

$II$ sposób

Wykorzystujemy informacje o wartościach $p$ i $q$ :

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ , zatem: $a = 1$ , $p = - 3$ , $q = - 4$ .

Wykorzystamy wzór: $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Podstawiając: $a = 1$ i $p = - 3$ otrzymujemy:

$- 3 = - \frac{b}{2 \cdot 1}$ , czyli: $b = 6$ .

Ponadto $Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 c$ , zaś $q = - \frac{Δ}{4 a}$ , zatem, po podstawieniu:

$- 4 = - \frac{36 - 4 c}{4 \cdot 1}$ , co daje: $c = 5$ .

Zatem postać ogólna funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ to:

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ .

Przekształcenie do postaci iloczynowej

$I$ sposób:

Wykorzystamy wyliczone wartości współczynników: $a = 1$ , $b = 6$ i $c = 5$ oraz wzory:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ ,

stąd:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 + 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 - 4}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$ .

Zatem:

$f (x) = 1 \cdot (x - (- 1)) (x - (- 5))$

$f (x) = 1 \cdot (x + 1) (x + 5)$ .

$II$ sposób

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

${(x + 3)}^{2} - 4 = ((x + 3) - 2) ((x + 3) + 2) =$

$= (x + 3 - 2) (x + 3 + 2) = (x + 1) (x + 5)$

$f (x) = (x + 1) (x + 5)$

Przykład 2

Wzór pewnej funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej jest taki sam. Znajdziemy wzór tej funkcji, jeżeli wiadomo, że $f (- 1) = 4$ oraz $f (0) = - 3$ .

Rozwiązanie

Przypomnijmy, jak wygląda wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej.

Postać ogólna: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Postać kanoniczna: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Aby wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej był taki sam, to współczynniki $b$ i $p$ muszą być równe $0$ oraz $c = q$ .

Z treści zadania wiemy, że $f (- 1) = 4$ i $f (0) = - 3$ . Musimy ułożyć i rozwiązać odpowiedni układ równań.

$\{\begin{cases} a \cdot {(- 1)}^{2} + c = 4 \\ a \cdot 0^{2} + c = - 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 7 \\ c = - 3 \end{cases}$

Zatem postać ogólna i kanoniczna tej funkcji, to $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, gdy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji to $W = (2, - 5)$ oraz jedno z miejsc zerowych, to $x = 4$ .

Rozwiązanie

Na początku zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ . Z treści zadania wiemy, że $p = 2$ oraz $q = - 5$ . Zatem $f (x) = a {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Musimy wyznaczyć teraz współczynnik $a$ . Ponieważ dla argumentu $x = 4$ funkcja przyjmuje wartość równą $0$ , to

$0 = a {(4 - 2)}^{2} - 5$

$4 a = 5$

$a = \frac{5}{4}$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej, to $f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Przejdziemy teraz do postaci ogólnej wzoru funkcji $f$ :

$f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5 = \frac{5}{4} (x^{2} - 4 x + 4) - 5 = \frac{5}{4} x^{2} - 5 x$ .

Przykład 4

Napiszemy postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo, że dla argumentu $(- 3)$ osiąga wartość równą $6$ , jednym z jej miejsc zerowych jest liczba $5$ , dla argumentu 2 osiaga wartość najmniejszą równą $- \frac{27}{8}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $5$ . Musimy ułożyć odpowiednie równanie:

$25 a + 5 b + c = 0$ .

Ponadto funkcja dla argumentu $2$ osiąga wartość najmniejszą równą $- \frac{27}{8}$ . Zatem $p = \frac{- b}{2 a} = 2$ oraz $q = \frac{- Δ}{4 a} = - \frac{27}{8}$ .

Funkcja dla argumentu $(- 3)$ osiąga wartość równą $6$ , więc ${(- 3)}^{2} \cdot a + (- 3) \cdot b + c = 6$ .

Na tej podstawie układamy układ równań i obliczamy wartości szukanych współczynników.

$\{\begin{cases} 25 a + 5 b + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 9 a - 3 b + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 25 a - 20 a + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 9 a + 12 a + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 a + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 21 a + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = \frac{3}{8} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = - \frac{15}{8} \end{cases}$

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, to $f (x) = \frac{3}{8} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{15}{8}$ .

Zapiszemy teraz wzór funkcji $f (x) = \frac{3}{8} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{15}{8}$ w postaci iloczynowej.

Wykorzystamy wyliczone wartości współczynników: $a = \frac{3}{8}$ , $b = - \frac{3}{2}$ i $c = - \frac{15}{8}$ oraz wzory: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

$x_{1} = \frac{- (- \frac{3}{2}) + \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{15}{8})}}{2 \cdot \frac{3}{8}} = 5$

$x_{2} = \frac{- (- \frac{3}{2}) - \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{15}{8})}}{2 \cdot \frac{3}{8}} = - 1$

Zatem wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, to $f (x) = \frac{3}{8} (x - 5) (x + 1)$ .

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, przy czym $a \neq 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik