Przeczytaj

Warto przeczytać

Ruch harmonicznyRuch harmoniczny to taki ruch drgającyruch drgający (ang. oscillation)ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Jej współrzędną wzdłuż osi równoległej do wychylenia można zapisać w postaci:

F_{x} = - m ω^{2} x,

gdzie $x$ – wychylenie, $m$ – masa, $ω$ – wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgańczęstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgańczęstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia (ku położeniu równowagi). W ruchu harmonicznym zależność wychylenia ( $x$ ) od czasu ( $t$ ) ma kształt sinusoidalny. Przykładową zależność prezentuje Rys. 1., gdzie okres drgańokres drgań (ang. oscillation period)okres drgań $T = 0,1\,\text{s}$ , natomiast amplitudaamplituda drgań (ang. amplitude)amplituda $A = 0,2\,\text{m}$ .

R1e7YHamjbB9R

Rys. 1. Na ilustracji przedstawiono wykres zależności wychylenia x w metrach od czasu t w sekundach w ruchu harmonicznym. Wartości wychylenia na osi pionowej zawierają się w przedziale od minus 0,30 do 0,30 metra. Wartości czasu na osi poziomej zawierają się w przedziale od zera do 0,23 sekundy. Wykres funkcji harmonicznej jest sinusoidalny i zaznaczono go czerwoną linią. Biegnie od zera rosnąco, osiąga maksimum dla wartości 0,20 metra, następnie maleje, przecina oś poziomą w 0,05 sekundy, osiąga minimum dla minus 0,20 metra i znów rośnie. Oś poziomą przecina jeszcze w 0,1 0,15 i 0,2. Z wykresu wynika, że okres drgań duże T jest równy 0,1 sekundy a amplituda duże A jest równa 0,2 metra. — Rys. 1. Wykres zależności wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym

Przykładem ruchu harmonicznego są drgania klocka przymocowanego do poziomej sprężyny, poruszającego się po gładkiej powierzchni, drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie przy niewielkich oporach ruchu, czy ruch wahadła matematycznegowahadła matematycznego.

Przykład 1: Czy ruch wahadła matematycznego jest ruchem harmonicznym?

Wahadło matematyczne to punktowa masa zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Dobrym przybliżeniem jest ciężarek lub kulka zawieszona na nici. Po odchyleniu wahadła od pionu i puszczeniu obserwujemy drgania wokół położenia równowagi. Ważną cechą wahadeł jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu, że amplituda drgań jest mała. Własność ta zwana jest izochronizmem drgańizochronizmem drgań. W ogólności jednak wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, ponieważ jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy.

R1ckL0nH6Tk2f

Rys. 2. Ilustracja prezentuje rozkład sił działających na wahadło. U góry narysowano poziomą czarną grubą linię. Na dole poziomą oś skierowaną w stronę prawą. Po środku osi zaznaczone jest zero, po prawej stronie od zera duża litera A, po lewej stronie zera minus duże A. Od linii górnej do osi dolnej poprowadzono przerywaną linię. Na lewo od przerywanej linii pod kątem alfa wychylono czarny punkt zaczepiony po środku górnej czarnej linii. Rozkład sił w tym punkcie jest następujący. Pionowo w dół skierowana jest czarna strzałka podpisana jako iloczyn m i wektora g. W prawo i w dół od czarnego punktu skierowana jest zielona strzałka opisana wektor duże F z indeksem dolnym s. W górę i w prawo, wzdłuż linii na której zawieszony jest czarny punkt skierowana jest czerwona strzałka wektor duże N. Natomiast w kierunku przeciwnym, w lewo i w dół też jest czerwona strzałka, ale podpisana wektor duże F z indeksem N. — Rys. 2. Rozkład sił działających na wahadło

Na kulkę wahadła o masie $m$ przy wychyleniu go z położenia równowagi o kąt $α$ działa siła ciężkości $m \vec{g}$ i siła napięcia nici $\vec{N}$ (Rys. 2.).

Siłę ciężkości rozkładamy na dwie składowe: styczną do toru kulki, o długości $m g | \sin α |$ i równoległą do nici, mającą wartość $m g | \cos α |$ . O ruchu wahadła decyduje składowa siły ciężkości styczna do toru. (Uwaga: druga składowa ciężaru jest równoważona przez siłę napięcia nici tylko w punktach maksymalnego wychylenia, jak na Rys. 2. W pozostałych punktach toru jej wartość jest mniejsza niż wartość naprężenia nici.)

Rr3xScMH3utBL

Rys. 3. Na ilustracji przedstawiono, jak wygląda odpowiadające kątowi alfa położenie x na osi poziomej. Przedstawiono oś poziomą x na którą prostopadle od góry pada linia przerywana. U góry tej linii poprowadzona jest druga linia ciągła skierowana w dół i w prawo, odchylona od linii przerywanej pod kątem alfa. Długość tej linii to l. Na końcu linii ciągłej zaznaczono strzałkę skierowaną pionowo w dół podpisaną m razy wektor g. Są jeszcze dwie strzałki zaczepione w tym samym punkcie. Czerwona, skierowana w lewo równolegle do osi x i niebieska skierowana w lewo i nieco w dół. Niebieski wektor to składowa siły ciężkości styczna do toru wahadła, linia kreskowana poprowadzona od końca wektora niebieskiego do końca wektora czarnego - jej rzut na oś X. — Rys. 3. Odpowiadające kątowi $α$ położenie $x$ na osi poziomej. Niebieski wektor to składowa siły ciężkości styczna do toru wahadła, czerwony - jej rzut na oś OX. Ma on dla małych kątów wychylenia wartość proporcjonalną do wychylenia

Z Rys. 3. wynika, że dla dowolnego $x\in [-A,A]$ i kąta wychylenia $α$ mamy

$\sin\alpha = x/l\ ,$

gdzie $l$ to długość nici wahadła. Dla małych kątów $α$

$\sin\alpha\approx \alpha\ \Rightarrow \alpha\approx \frac{x}{l}\ ,$

gdzie $x$ to wychylenie równe (w tym przybliżeniu) długości łuku. Siła powodująca ruch kulki wahadła ma zatem współrzędną w kierunku $x$ równą

F_{S x} = - m g \frac{x}{l},

więc

F_{S x} \sim x .

Dla małych kątów siła jest więc proporcjonalna do wychylenia i zwrócona do położenia równowagi, zatem wahadło jest - w przybliżeniu - oscylatorem harmonicznymoscylatorem harmonicznym.

Przykład 2: Badanie ruchu metodą pomiarów wideo.

Technika pomiarów wideo polega na rejestracji danych pomiarowych z kolejnych klatek filmu, na którym nagrano ruch. Najbardziej znane bezpłatne oprogramowanie do pomiarów wideo to Tracker. Można go pobrać ze strony [http://physlets.org/tracker]

Przy nagrywaniu filmu trzeba umieścić w polu widzenia kamery linijkę lub inny przedmiot o znanych wymiarach, aby wykonać kalibrację oprogramowania do pomiaru rzeczywistych odległości. Przed rozpoczęciem naboru danych należy dobrać odpowiedni układ współrzędnych. Szybkość nagrywania filmu (liczba klatek na sekundę) określa skalę czasu. Odczytywanie położenia ciała na kolejnych klatkach filmu pozwala na tworzenie wykresów zależności położenia od czasu. Program Tracker posiada funkcję automatycznego rozpoznawania wskazanych elementów obrazu. Umożliwia to automatyczne śledzenie i rejestrację położenia wybranego punktu poruszającego się ciała (na przykład środka masy) na kolejnych klatkach filmu. Otrzymane dane pomiarowe mogą być dalej przetwarzane w programie lub za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Pozwala to na tworzenie nowych wykresów: na przykład zależności prędkości, siły, energii potencjalnej i kinetycznej od czasu, czy zależności siły od położenia.

Obejrzyj film przedstawiający, jak zbadać ruch wahadła matematycznego metodą pomiarów wideo. To wszystko możesz wykonać samodzielnie.

Słowniczek

ruch drgający (ang. oscillation)

okresowo powtarzający się ruch, odbywający się po tym samym torze.

amplituda drgań (ang. amplitude)

wartość maksymalnego wychylenia z położenia równowagi.

okres drgań (ang. oscillation period)

czas $T$ jednego pełnego drgania.

częstotliwość drgań (ang. oscillation frequency)

określa, ile drgań wykonuje ciało w jednostce czasu (np. w ciągu sekundy):

f = \frac{1}{T},

natomiast jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc: $1 Hz = 1 / s$

częstość kołowa drgań (ang. angular/radian frequency)

(ozn. $ω$ ) - stała określająca, ile pełnych drgań wykonuje ciało w ciągu 2 $π$ jednostek czasu (np. 2 $π$ sekund), tj.:

ω = 2 π f .

ruch harmoniczny (ang. simple harmonic motion)

ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona w jego stronę, co w języku współrzędnych zapisujemy jako

F_{x} = - m ω^{2} x,

gdzie $x$ – wychylenie, $m$ – masa ciała, $ω$ – stała, zwana częstością kołową drgań.

W ruchu harmonicznym zależność wychylenia od czasu opisana jest funkcją trygonometryczną (np. sinus lub cosinus).

oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)

ciało poruszające się ruchem harmonicznym.

drgania izochroniczne (ang. isochronous oscillation)

(gr. isos – równy i chronos – czas) – to własność drgań polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy.

wahadło matematyczne (ang. simple gravity pendulum)

to idealne wahadło, definiowane jako punktowa masa zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest ciężarek zawieszony na nici. Uwaga: ruch takiego wahadła nie jest izochroniczny.

Wprowadzenie

Film (standardowy)

Warto przeczytać

Słowniczek