Warto przeczytać

Każde ciało obdarzone masą wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Oczywiście, wartość natężenia pola grawitacyjnego i kształt jego liniilinie pola grawitacyjnegolinii zależy od masy i kształtu ciała, które to pole wytwarza. Jakie jest pole grawitacyjne wytwarzane przez naszą planetę?

Zanim odpowiemy na postawione przed chwilą pytanie, wyobraźmy sobie nieskończenie wielką płaszczyznę (zob. Rys. 1.). Przyjmijmy, że jej masa jest jednorodnie rozłożona w każdym kierunku. Innymi słowy gęstość materii, z której zbudowana jest ta płaszczyzna w każdym punkcie jest taka sama. Stojąc na takiej płaszczyźnie będziemy odczuwać siłę grawitacji działającą pionowo w dół. W każdym kierunku, w którym się udamy, wartość tej siły będzie taka sama. Będzie tak, ponieważ pole grawitacyjne pochodzące od nieskończonej płaszczyzny o stałej gęstości jest jednorodnym polem grawitacyjnym, którego linielinie pola grawitacyjnegolinie są do siebie równoległe.

R10sz35kcryBw

Rys. 1. Na rysunku znajduje się pozioma linia. Nad linią narysowano w równych odległościach wiele pionowych linii pola grawitacyjnego, zakończonych strzałkami skierowanymi w dół. W trzech miejscach na różnych wysokościach nad poziomą linią narysowano 3 kulki o masie oznaczonej literą małe m. Przy każdej kulce narysowano wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół. Wektory mają jednakowe długości i oznaczone są literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i strzałką nad nią.

Właśnie w taki sposób, na co dzień, postrzegamy pole grawitacyjne naszej planety. Jesteśmy tak mali, w porównaniu z rozmiarem Ziemi (promień Ziemi wynosi ok. 6400 kilometrów!), że na co dzień wydaje nam się ona płaska, a wytwarzane przez nią pole - jednorodne. Oczywiście zakładając, że Ziemia wytwarza jednorodne pole grawitacyjne stosujemy pewne przybliżenie, które na swój sposób jest usprawiedliwione, gdy chcemy np. opisać ruch kopniętej piłki, która przeleci kilkadziesiąt metrów. Gdy jednak chcemy opisać ruch rakiety, która ma przelecieć na inny kontynent lub polecieć w kosmos, nie powinniśmy stosować tego przybliżenia. W takich sytuacjach trzeba pamiętać o tym, że Ziemia jest kulą, a wytwarzane przez nią pole grawitacyjne ma symetrię sferyczną - jest niejednorodnym polem grawitacyjnym. Ilustruje to Rys. 2.

R12Yl5FvPenR3

Rys. 2. Na rysunku znajduje się kula. Wokół powierzchni kuli narysowano linie zakończone strzałkami skierowanymi do środka kuli, które symbolizują linie pola grawitacyjnego. W dwóch miejscach na różnych wysokościach nad powierzchnią kuli narysowano 2 kulki o masie oznaczonej literą małe m. Przy każdej kulce narysowano wektor siły ciężkości skierowany do środka kuli. Wektor siły ciężkości kulki leżącej wyżej ma mniejszą długość i oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g 1 i strzałką nad nią. Wektor siły ciężkości kulki leżącej niżej ma większą długość i oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe g 2 i strzałką nad nią.

W jaki sposób symetria pola grawitacyjnego wpływa na poruszanie się w nim ciał obdarzonych masą? Aby to zrozumieć, najpierw przypomnimy dwa pojęcia z mechaniki: środek masy i środek ciężkości.

Środek masy, to punkt, który zachowuje się tak, jakby była w nim skupiona cała masa ciała lub układu ciał. Opisując ruch ciała (bryły sztywnej) opisujemy ruch postępowy jego środka masy oraz ruch obrotowy ciała dookoła środka masy (zob. e‑materiał pt. Jakim ruchem może poruszać się bryła sztywna? ). Położenie środka masy nie zależy od tego, czy ciało znajduje się w polu grawitacyjnym, czy nie. Wynika ono jedynie z geometrii ciała, czyli z tego, jak w przestrzeni rozłożona jest jego masa.

Środek ciężkości jest natomiast punktem, którego istnienie jest nierozłącznie związane z występowaniem pola grawitacyjnego. Jest to punkt, do którego umownie przykładamy wypadkową siłę ciężkości działającą na daną masę. Środek ciężkości zlokalizowany jest w takim miejscu w ciele, że przyłożenie wypadkowej siły ciężkości w tym właśnie punkcie powoduje identyczne skutki, jak przyłożenie składowych sił ciężkości do każdego punktu ciała z osobna.

W jednorodnym polu grawitacyjnym położenie środka masy ciała pokrywa się z położeniem jego środka ciężkości. Chcąc to zilustrować, przyjrzyjmy się układowi dwóch kul o masach $m_1=1\text{ kg}$ i $m_2=2\text{ kg}$, które są ze sobą połączone sztywnym prętem o długości $L=1\text{ m}$, którego masę zaniedbujemy (Rys. 3.). Jednorodne pole grawitacyjne jest w tym układzie reprezentowane przez stałe przyspieszenie ziemskie $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

R1UFyHVru6umT

Rys. 3. Na rysunku znajdują się dwie kule połączone poziomym prętem. Długość pręta oznaczono literą wielkie L. Środek pręta zaznaczono czarnym punktem. Kula z lewej strony jest mniejsza, a jej masa oznaczona jest literą małe m z indeksem dolnym 1. Kula z prawej jest większa, a jej masa oznaczona jest literą małe m z indeksem dolnym 2. Do środka każdej kuli przyłożony jest wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół. Wektor z lewej strony jest krótszy i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią równa się litera małe m z indeksem dolnym 1 razy litera małe g ze strzałką nad nią. Wektor z prawej strony jest dłuższy i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią równa się litera małe m z indeksem dolnym 2 razy litera małe g ze strzałką nad nią.

Wprowadźmy układ współrzędnych o początku w środku lewej kuli o masie $m_1$. Położenie środka masy tego układu jest dane wzorem:

Położenie środka masy zaznaczono małą, pomarańczową kropką na Rys. 4.

Rym1zXzMEIF8p

Rys. 4. Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku trzeciego. Na prawo od czarnego punktu wyznaczającego środek pręta dorysowano żółty punkt oznaczający środek masy układu ciał. Odległość żółtego punktu od lewego końca pręta oznaczono literą małe x z indeksem dolnym małe s.

Aby przekonać się o tym, że środek masy badanego układu rzeczywiście pokrywa się z jego środkiem ciężkości, zbadamy siły i momenty sił (składowe i wypadkowe) występujące w tym układzie.

Po pierwsze, wartości odpowiednich sił grawitacji są równe:

Ostatnia z powyższych sił to siła wypadkowa, będąca sumą sił składowych działających na obydwie masy układu. Gdzie powinna być ona przyłożona, aby wypadkowy moment siły był równy sumie składowych momentów sił? Aby to rozstrzygnąć zauważmy, że składowe momenty sił są, co do wartości, równe:

mają ten sam kierunek (obydwa są prostopadłe do płaszczyzny rysunku), ale są przeciwnie skierowane. Oznacza to, że wypadkowy moment siły tego układu, jako całości, jest równy zero:

Aby różna od zera wypadkowa siła grawitacji $\overrightarrow{F_w}$ dawała zerowy moment siły, punkt jej przyłożenia, który jest z definicji środkiem ciężkości, musi się pokrywać ze środkiem masy układu (Rys. 5.). Wniosek ten kończy nasze rozważania, w których pokazaliśmy, że w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

R1UufMsrBmfxM

Rys. 5. Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku czwartego. Dodatkowo w żółtym punkcie oznaczającym środek masy przyłożony jest pionowy, skierowany w dół, wektor wypadkowy sił ciężkości. Wektor oznaczony jest równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym w i strzałką nad nią równa się litera wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią plus litera wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią.

W niejednorodnym polu grawitacyjnym położenie środka masy, na ogół, nie pokrywa się z położeniem środka ciężkości. Z tego powodu pojęcia te nie powinny być ze sobą utożsamiane. Dlaczego tak się dzieje?

RwWgoe3wTu0yQ

Rys. 6. Na rysunku znajduje się duża kula. Wokół powierzchni kuli narysowano linie zakończone strzałkami skierowanymi do środka kuli, które symbolizują linie pola grawitacyjnego kuli. Nad kulą narysowano mniejszą kulkę z zaznaczonym żółtym punktem środkiem masy pokrywającym się ze środkiem kulki. Pod środkiem masy na linii łączącej środki obu kul narysowano czerwony punkt oznaczający środek ciężkości mniejszej kuli. Do środka ciężkości przyłożona jest siła grawitacji skierowana do środka dużej kuli i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym gw i strzałką nad nią.

Zastanówmy się, co by się stało gdybyśmy np. dużą kulę o stałej gęstości umieścili w niejednorodnym polu grawitacyjnym, np. takim, w którym siła maleje z odległością od źródła pola (zob. Rys. 6). Środek masy takiej kuli nie zależy od pola. A ponieważ kula ma stałą gęstość, pokrywa się on z jej środkiem geometrycznym. Inaczej jest ze środkiem ciężkości kuli. Ponieważ siła grawitacji maleje z wysokością (czyli odległością od masy wytwarzającej pole grawitacyjne), to na część kuli znajdującą się wyżej działa mniejsza siła grawitacji, niż na jej część położoną niżej. Oznacza to, że punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości będzie przesunięty względem jej środka masy w kierunku źródła pola grawitacyjnego. Innymi słowy, w niejednorodnym polu grawitacyjnym, takim jak pole centralne, środek masy i środek ciężkości kuli będą się się znajdowały w innych punktach.

Słowniczek