Przeczytaj
Przekształcanie wykresu funkcji jest ściśle powiązane nie tylko ze zmianą położenia wykresu tej funkcji, ale także zmianą jej własności.
W materiale omówimy przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem , gdzie oraz wzdłuż osi układu współrzędnych.
Wykres funkcji określonej wzorem otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w prawo () lub o jednostek w lewo ().
Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami oraz . W tym celu w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.
Wykresy tych funkcji przedstawiają się następująco:
Analizując położenie wykresów oraz wzory tych funkcji możemy zauważyć, że:
wykres funkcji możemy otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji o jednostki w prawo,
dziedziną funkcji jest zbiór , a dziedziną funkcji jest zbiór ,
miejscem zerowym funkcji jest , a miejscem zerowym funkcji jest ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta , a asymptotą wykresu funkcji jest prosta .
funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od , a funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od ,
funkcja przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów , a funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów .
Miejscem zerowym funkcji określonej wzorem jest liczba .
Dowód:
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność
, więc .
Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi .
W celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:
Zatem , czyli .
Funkcja przed i po przekształceniu jej wykresu w przesunięciu wzdłuż osi odciętych ma ten sam zbiór wartości oraz nie zmienia się jej monotoniczność.
Asymptotą wykresu funkcji określonej wzorem jest prosta o równaniu .
Mając dany wzór funkcji logarytmicznejfunkcji logarytmicznej oraz przesunięcie wzdłuż osi przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych, możemy wyznaczyć wzór tej funkcji po przekształceniu jej wykresu.
Wyznaczymy wzory funkcji po przesunięciu ich wykresów wzdłuż osi :
funkcja określona wzorem po przesunięciu jej wykresu o jednostki w lewo wyraża się wzorem ,
funkcja określona wzorem po przesunięciu jej wykresu o jednostki w prawo wyraża się wzorem .
Przesunięcie poziome wzdłuż osi odciętych wykresu funkcji logarytmicznej powoduje zmianę położenia asymptoty jej wykresu, co ma wpływ na zmianę różnych własności tej funkcji.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem .
Odczytamy z wykresu:
a) dziedzinę tej funkcji,
b) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,
c) miejsce zerowe tej funkcji,
Rozwiązania:
a) Dziedziną tej funkcji jest zbiór .
b) Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu .
c) Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba .
Bez rysowania wykresu funkcji logarytmicznej, tylko na podstawie podanego wzoru tej funkcji, możemy określić różne jej własności.
Określmy funkcję wzorem . Wyznaczymy:
a) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,
b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,
c) wartość funkcji dla argumentu .
Rozwiązania:
a) Asymptotą wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu , ponieważ wykres funkcji określonej wzorem otrzymujemy przez przesunięcie wykres funkcji określonej wzorem o jednostkę w prawo.
b) Wyznaczymy najpierw miejsce zerowe tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:
, zatem , czyli .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór .
Każda funkcja określona wzorem , gdy jest malejąca, zatem funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od .
c)
Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem należy punkt o współrzędnych . Wyznaczymy wzór tej funkcji, miejsce zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
W celu wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:
, zatem .
Wzór funkcji zapiszemy zatem w postaci:
.
Dla wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:
.
Zatem miejscem zerowym tej funkcji jest liczba .
Funkcja jest malejąca, a jej dziedziną jest zbiór , miejscem zerowym , zatem funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału .
Słownik
funkcja określona wzorem , gdzie oraz
przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w prawo () lub o jednostek w lewo ()