Przekształcanie wykresu funkcji jest ściśle powiązane nie tylko ze zmianą położenia wykresu tej funkcji, ale także zmianą jej własności.

W materiale omówimy przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem fx=logax, gdzie a0,11, oraz x>0 wzdłuż osi X układu współrzędnych.

przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi X
Definicja: przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi X

Wykres funkcji określonej wzorem gx=logax-p otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji fx=logaxp jednostek w prawo (p>0) lub o p jednostek w lewo (p<0).

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami fx=log14x oraz gx=log14x-2. W tym celu w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

x

14

1

4

16

fx

1

0

-1

-2

x

94

3

6

18

gx

1

0

-1

-2

Wykresy tych funkcji przedstawiają się następująco:

RksuhYDev1bhb

Analizując położenie wykresów oraz wzory tych funkcji możemy zauważyć, że:

  • wykres funkcji g możemy otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji f2 jednostki w prawo,

  • dziedziną funkcji f jest zbiór x0,, a dziedziną funkcji g jest zbiór x3,,

  • miejscem zerowym funkcji f jest 1, a miejscem zerowym funkcji g jest 3,

  • asymptotą wykresu funkcji f jest prosta x=0, a asymptotą wykresu funkcji g jest prosta x=2.

  • funkcja f przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od 1, a funkcja g przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od 3,

  • funkcja f przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów x0,1, a funkcja g przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów x2,3.

Miejsce zerowe funkcji fx=logax-p
Twierdzenie: Miejsce zerowe funkcji fx=logax-p

Miejscem zerowym funkcji określonej wzorem fx=logax-p jest liczba x=p+1.

Dowód:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność
x-p>0, więc x>p.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.

W celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

0=logax-p

Zatem x-p=a0, czyli x=p+1.

Funkcja przed i po przekształceniu jej wykresu w przesunięciu wzdłuż osi odciętych ma ten sam zbiór wartości oraz nie zmienia się jej monotoniczność.

asymptota wykresu funkcji określonej wzorem fx=logax-p
Własność: asymptota wykresu funkcji określonej wzorem fx=logax-p

Asymptotą wykresu funkcji określonej wzorem fx=logax-p jest prosta o równaniu x=p.

Mając dany wzór funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej oraz przesunięcie wzdłuż osi Xprzekształcenie wykresu funkcji f(x - p)przesunięcie wzdłuż osi X układu współrzędnych, możemy wyznaczyć wzór tej funkcji po przekształceniu jej wykresu.

Przykład 1

Wyznaczymy wzory funkcji po przesunięciu ich wykresów wzdłuż osi X:

  • funkcja określona wzorem fx=log2x po przesunięciu jej wykresu o 3 jednostki w lewo wyraża się wzorem fx=log2x+3,

  • funkcja określona wzorem fx=log12x po przesunięciu jej wykresu o 4 jednostki w prawo wyraża się wzorem gx=log12x-4.

Przesunięcie poziome wzdłuż osi odciętych wykresu funkcji logarytmicznej powoduje zmianę położenia asymptoty jej wykresu, co ma wpływ na zmianę różnych własności tej funkcji.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem fx=log3x+2.

RD9py6wPas8dD

Odczytamy z wykresu:

a) dziedzinę tej funkcji,

b) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

c) miejsce zerowe tej funkcji,

Rozwiązania:

a) Dziedziną tej funkcji jest zbiór x-2,.

b) Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu x=-2.

c) Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba -1.

Bez rysowania wykresu funkcji logarytmicznej, tylko na podstawie podanego wzoru tej funkcji, możemy określić różne jej własności.

Przykład 3

Określmy funkcję f wzorem fx=log12x-1. Wyznaczymy:

a) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,

c) wartość funkcji dla argumentu 9.

Rozwiązania:

a) Asymptotą wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x=1, ponieważ wykres funkcji określonej wzorem fx=log12x-1 otrzymujemy przez przesunięcie wykres funkcji określonej wzorem fx=log12x1 jednostkę w prawo.

b) Wyznaczymy najpierw miejsce zerowe tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

0=log12x-1, zatem 120=x-1, czyli x=2.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór x1,.

Każda funkcja określona wzorem fx=logax, gdy a0,1 jest malejąca, zatem funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od 2.

c) f9=log129-1=log128=-3

Przykład 4

Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem fx=log13x+p należy punkt o współrzędnych 8,-2. Wyznaczymy wzór tej funkcji, miejsce zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

W celu wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:

-2=log138+p, zatem p=1.

Wzór funkcji zapiszemy zatem w postaci:

fx=log13x+1.

Dla wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

0=log13x+1.

Zatem miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 0.

Funkcja jest malejąca, a jej dziedziną jest zbiór x-1,, miejscem zerowym 0, zatem funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału -1,0.

Słownik

funkcja logarytmiczna
funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem fx=logax, gdzie a0,11, oraz x>0

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)
przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)

przesunięcie wykresu funkcji fxp jednostek w prawo (p>0) lub o p jednostek w lewo (p<0)