Rozwiązania:

a) W celu obliczenia $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^{-2}=\frac{9}{4}$.

Z równania wynika, że $a=\frac{2}{3}$ lub $a=-\frac{2}{3}$.

Ponieważ dla funkcji logarytmicznej $a>0$, zatem wzór funkcji ma postać $f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x+2\right)$.

b) Ponieważ $a=\frac{2}{3}$, zatem funkcja jest malejąca. Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x\in \left(-2,\infty \right)$. Z wykresu tej funkcji wiadomo, że wartości ujemne są przyjmowane dla argumentów większych od $1$.

Otrzymujemy nierówność $x+2>1$, zatem po uwzględnieniu dziedziny, funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(-1,\infty \right)$.