Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla spełniona jest ostra nierówność lub to mówimy, że funkcja ma w punkcie maksimum (minimum) właściwe, w przeciwnym wypadku mówimy o maksimum (minimum) niewłaściwym.
Maksimum i minimum określamy terminem ekstremum. Ekstremum po łacinie oznacza skrajne.
Wniosek:
Funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie, w którym następuje zmiana jej monotoniczności.
Przykład 1
Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji , która w punktach i osiąga minimum lokalne, a w punkcie ma maksimum lokalne, przy czym .
Rozwiązanie:
Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.
RRKO1QBCGF5yw
Przykład 2
Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji , która w przedziałach oraz ma minima lokalne, w przedziale ma maksimum lokalne, przy czym , , są miejscami zerowymimiejsce zerowe funkcjimiejscami zerowymi tej funkcji.
Rozwiązanie:
Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.
R13tZZgM69Q36
Przykład 3
Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji , która posiada dwa (różnego typu) ekstrema lokalne oraz trzy miejsca zerowe, przy czym przecina oś w punkcie o rzędnej .
Rozwiązanie:
Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.
RvmxIAJMCxwUb
Przykład 4
O funkcji wiadomo, że w każdym z przedziałów i jest rosnąca, a w przedziałach , , jest malejącafunkcja malejącamalejąca. Naszkicujemy przykład wykresu tej funkcji i wskażemy odcięte punktów w których ma ekstrema.
Rozwiązanie:
Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.
RbH7tm7VCfXN0
Uzasadnienie:
Funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca w przedziałach i oraz malejąca w przedziałach , , . W punktach o odciętych i następuje zmiana monotoniczności, zatem w tych punktach funkcja posiada ekstrema. Z wykresu funkcji wnioskujemy, że są to odpowiednio maksimum lokalne i minimum lokalne.
Przykład 5
Korzystając z definicji uzasadnimy, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych punktach:
a) , w punkcie ,
b) , w punkcie .
Rozwiązanie:
Ad a)
RWh0dWYTwJiuT
Zauważmy, że dla każdego zachodzi , co oznacza, że funkcja ma w punkcie maksimum lokalne właściwe równe .
Ad b)
RzeSO3xiTgjxy
Zauważmy, że dla każdego mamy oraz dla każdego mamy . Otrzymujemy zatem , co oznacza, że funkcja w punkcie ma minimum lokalne równe .
Słownik
miejsce zerowe funkcji
miejsce zerowe funkcji
taki argument należący do dziedziny funkcji dla którego
funkcja rosnąca
funkcja rosnąca
funkcja jest rosnąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów oraz należących do dziedziny funkcji, takich, że , zachodzi warunek
funkcja malejąca
funkcja malejąca
funkcja jest malejąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów oraz należących do dziedziny funkcji, takich, że , zachodzi warunek