Mówimy, że funkcja $f\left(x\right)$ ma w punkcie $x_0$ minimum lokalne równe $f\left(x_0\right)$, gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_0$, że dla każdego argumentu z tego otoczenia

Mówimy, że funkcja $f\left(x\right)$ ma w punkcie $x_0$ maksimum lokalne równe $f\left(x_0\right)$, gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_0$, że dla każdego argumentu z tego otoczenia

Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla $x\ne x_0$ spełniona jest ostra nierówność $f\left(x_0\right)<f\left(x\right)$ lub $f\left(x\right)<f\left(x_0\right)$ to mówimy, że funkcja ma w punkcie $x_0$ maksimum (minimum) właściwe, w przeciwnym wypadku mówimy o maksimum (minimum) niewłaściwym.

Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji $f\left(x\right)$, która w punktach $\left(-2\right)$ i $2$ osiąga minimum lokalne, a w punkcie $1$ ma maksimum lokalne, przy czym $f\left(2\right)>f\left(-2\right)$.

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

RRKO1QBCGF5yw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dziesięciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności, niemal pionowo w dół. W punkcie $x=-3$ wykres przebija pod oś $X$ i biegnie niemal pionowo w dół. Odbija w górę dla x równego minus dwa i w punkcie $\left(0;0\right)$ przebija nad oś $X$. Biegnie w górę, odbija w dół dla x równego jeden, następnie ponownie w górę dla x równego $2\frac{1}{4}$ i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji $f\left(x\right)$, która w przedziałach $⟨-3, -1⟩$ oraz $⟨1, 3⟩$ ma minima lokalne, w przedziale $⟨-2, 0⟩$ ma maksimum lokalne, przy czym $\left(-2\right)$, $0$, $2$ są miejscami zerowymimiejsce zerowe funkcjimiejscami zerowymi tej funkcji.

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

R13tZZgM69Q36

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w dół. W punkcie $x=-2$, funkcja odbija od osi $X$. Biegnie w górę, odbija w dół dla x równego $-\frac{2}{3}$, a następnie w punkcie $\left(0;0\right)$ przebija pod oś $X$. Biegnie w dół do x równego jeden, następnie odbija w górę. W punkcie $x=2$ funkcja przebija nad oś $X$ i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności

Narysujemy przykład wykresu takiej funkcji $f\left(x\right)$, która posiada dwa (różnego typu) ekstrema lokalne oraz trzy miejsca zerowe, przy czym przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $\left(-1\right)$.

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

RvmxIAJMCxwUb

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do trzech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w dół. Przebija pod oś $X$, oraz odbija w górę, przecinając oś $Y$ w punkcie $y=-1$, a następnie przebija nad oś $X$. Biegnie w górę, odbija w dół i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności.

O funkcji $f\left(x\right)$ wiadomo, że w każdym z przedziałów $\left(-\infty , -5\right)$ i $\left(9, \infty \right)$ jest rosnąca, a w przedziałach $\left(-5, -3\right)$, $\left(-3, 5\right)$, $\left(5, 9\right)$ jest malejącafunkcja malejącamalejąca. Naszkicujemy przykład wykresu tej funkcji i wskażemy odcięte punktów w których ma ekstrema.

Rozwiązanie:

Przykładowe rozwiązanie przedstawia poniższy wykres.

RbH7tm7VCfXN0

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus piętnastu do piętnastu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dziesięciu do dwudziestu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji o asymptotach pionowych $x=-3$, oraz $x=5$. Wykres funkcji biegnie w następujący sposób. Pod osią $X$, od minus nieskończoności biegnie w górę do x równego minus pięć i poniżej y równego minus pięć, odbija w dół i biegnie niemal pionowo w dół wypłaszczając się do asymptoty. Następie wykres biegnie nad osią $X$, niemal pionowo w dół. Biegnie wzdłuż osi $X$ a następnie przebija pod oś w początku układu współrzędnych , biegnąc niemal pionowo w dół i wypłaszcza się do asymptoty $x=5$. Następnie nad osią $X$ biegnie w dół, odbija w górę na wysokości $y=15$ i biegnie do plus nieskończoności.

Uzasadnienie:

Funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca w przedziałach $\left(-\infty , -5\right)$ i $\left(9, \infty \right)$ oraz malejąca w przedziałach $\left(-5, -3\right)$, $\left(-3, 5\right)$, $\left(5, 9\right)$. W punktach o odciętych $\left(-5\right)$ i $9$ następuje zmiana monotoniczności, zatem w tych punktach funkcja posiada ekstrema. Z wykresu funkcji wnioskujemy, że są to odpowiednio maksimum lokalne i minimum lokalne.

Korzystając z definicji uzasadnimy, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych punktach:

a) $f\left(x\right)=2x^3-15x^2+36x-14$, w punkcie $x=2$,

b) $f\left(x\right)=\left|x\right|+x$, w punkcie $x=0$.

Rozwiązanie:

Ad a)

RWh0dWYTwJiuT

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dwóch do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do piętnastu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący po stronie dodatnich X-sów, w następujący sposób. Biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w górę. Na wysokości $y=13$ odbija delikatnie w dół, a następnie ponownie w górę i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Zauważmy, że dla każdego $x\in \left(-\infty , 3\right)$ zachodzi $f\left(x\right)<f\left(2\right)=14$, co oznacza, że funkcja ma w punkcie $x=2$ maksimum lokalne właściwe równe $14$.

Ad b)

RzeSO3xiTgjxy

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch półprostych. Pierwsza półprosta $\left(0;0\right)$, biegnie od minus nieskończoności do punktu $\left(0;0\right)$. Druga półprosta jest ukośna i biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ do plus nieskończoności przez punkty $\left(1;2\right)$, oraz $\left(2;4\right)$.

Zauważmy, że dla każdego $x⩾0$ mamy $f\left(x\right)=2x$ oraz dla każdego $x<0$ mamy $f\left(x\right)=0$. Otrzymujemy zatem $f\left(x\right)⩾f\left(0\right)=0$, co oznacza, że funkcja w punkcie $x=0$ ma minimum lokalne równe $0$.

taki argument $x$ należący do dziedziny funkcji dla którego $f\left(x\right)=0$

funkcja $f$ jest rosnąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów $x_1$ oraz $x_2$ należących do dziedziny funkcji, takich, że $x_1<x_2$, zachodzi warunek

funkcja $f$ jest malejąca, jeżeli dla dwóch dowolnych argumentów $x_1$ oraz $x_2$ należących do dziedziny funkcji, takich, że $x_1<x_2$, zachodzi warunek