Slajd 1. Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji f na przedstawionym rysunku i spróbujmy zastanowić się, czym charakteryzują się punkty A i B. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Pod osią $X$ biegnie w dół, następnie w punkcie $\left(0;-2\right)$ odbija w górę. W punkcie $x=1$ przebija nad oś $X$ i biegnie w górę. W punkcie B o współrzędnych $\left(2;3\right)$ odbija w dół. W punkcie $x=3$ przebija pod oś $X$. Biegnie w dół i w punkcie A o współrzędnych $\left(4;-2\right)$ odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności. Slajd 2. Zauważmy, że dla punktu A o współrzędnych $x_A$ i $y_A$ można wskazać taki przedział otwarty do którego należy ten punkt, że wartość $f\left(x_A\right)$ jest najmniejszą wartością funkcji f w tym przedziale. Inaczej mówiąc, można wskazać takie otoczenie punktu $x_A$, że wartości funkcji f dla liczb z tego otoczenia są większe od $f\left(x_A\right)$. Mówimy wtedy, że funkcja f ma w punkcie $x_A$ minimum lokalne. Co zapisujemy za pomocą nierówności $f\left(x_A\right)\le f\left(x\right)$. Slajd 3. Jeśli spełniona jest relacja, że $f\left(x_A\right)$ jest mniejsze od $f\left(x\right)$ mówimy o minimum lokalnym właściwym $f\left(x_A\right)<f\left(x\right)$. Slajd 4. Zauważmy, że dla punktu B o współrzędnych $x_B$ i $y_B$ można wskazać taki do którego należy ten punkt, że wartość $f\left(x_B\right)$ jest największą wartością funkcji f w tym przedziale. Inaczej mówiąc, można wskazać takie otoczenie punktu $x_B$, że wartości funkcji dla liczb z tego otoczenia są mniejsze od $f\left(x_B\right)$. Mówimy wtedy, że funkcja f ma w punkcie $x_B$ maksimum lokalne. Co zapisujemy za pomocą nierówności $f\left(x_B\right)\ge f\left(x\right)$. Slajd 5. Jeśli spełniona jest relacja, że $f\left(x_B\right)$ jest większe od $f\left(x\right)$ mówimy o maksimum lokalnym właściwym $f\left(x_B\right)>f\left(x\right)$. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano poziomy wykres funkcji $y=2$. Zwróćmy uwagę, że zgodnie z tymi definicjami, funkcja stała ma w każdym punkcie minimum lokalne, natomiast w żadnym punkcie nie ma minimum lokalnego właściwego. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji, który biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w dół, następnie odbija w górę, w dół, znowu w górę, w dół, przebija oś $X$, następnie ponownie biegnie w górę, w dół i zmierza niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Zamalowanymi punktami zaznaczono ekstrema funkcji. ak łatwo zauważyć, funkcja może mieć kilka minimów i kilka maksimów. Może się też zdarzyć, że niektóre minima są większe od maksimów. Stąd też mówimy o minimach czy maksimach lokalnych. Często dla uproszczenia zamiast używać nazwy minimum lokalne właściwe funkcji czy maksimum lokalne właściwe funkcji mówimy krótko minimum funkcji czy maksimum funkcji. Slajd 8. Na ilustracji przedstawiono dwa układy współrzędnych z wykresami funkcji. Na płaszczyźnie układu pierwszego narysowano wykres funkcji f, który stanowi parabola, o ramionach skierowanych w dół. Na płaszczyźnie układu drugiego narysowano wykres funkcji g, który stanowi parabola, o ramionach skierowanych w górę. Zamalowanymi punktami zaznaczono wierzchołki obu funkcji. Maksimum i minimum lokalnego funkcji nie należy utożsamiać z największą i najmniejszą wartością funkcji na rozważanym zbiorze. Prawdziwy jednak jest następujący podany wniosek: Jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym przedziale i ma w tym przedziale tylko jedno ekstremum lokalne i jest to maksimum bądź minimum, to wówczas jest to jednocześnie największa bądź najmniejsza wartość funkcji na tym przedziale. Slajd 9. Na wykresie funkcji f, zamalowany punkt stanowi maksimum absolutne. Natomiast na wykresie funkcji g, na którym zamalowany punkt stanowi minimum absolutne. Wartość największa i najmniejsza funkcji na rozważanym zbiorze nazywane są ekstremami absolutnymi (lub globalnymi). Mówimy, że funkcja ma maksimum absolutne lub minimum absolutne. Slajd 10. Rozważmy następujący przykład. Korzystając z definicji uzasadnimy, że funkcja $f\left(x\right)=1-x^{50}$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x_0=0$. Zauważmy zatem, że $x^{50}>0$ dla $x\ne 0$. Zatem $f\left(0\right)=1>1-x^{50}$ dla $x\ne 0$. Oznacza to, że funkcja f ma w punkcie $x_0=0$ maksimum lokalne. Zobaczmy jak wygląda wykres funkcji. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią $Y$ od minus jedna druga do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w górę, przebijając w punkcie $x=-1$ nad oś X. Następnie wykres stanowi pozioma linia, odbija w dół, w punkcie $x=1$ przebija pod oś $X$ i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności.