Slajd 1. Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji f na przedstawionym rysunku i spróbujmy zastanowić się, czym charakteryzują się punkty A i B. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Pod osią X biegnie w dół, następnie w punkcie nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu odbija w górę. W punkcie x, równa się, jeden przebija nad oś X i biegnie w górę. W punkcie B o współrzędnych nawias, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu odbija w dół. W punkcie x, równa się, trzy przebija pod oś X. Biegnie w dół i w punkcie A o współrzędnych nawias, cztery, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności. Slajd 2. Zauważmy, że dla punktu A o współrzędnych x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego i y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego można wskazać taki przedział otwarty do którego należy ten punkt, że wartość f nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest najmniejszą wartością funkcji f w tym przedziale. Inaczej mówiąc, można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, że wartości funkcji f dla liczb z tego otoczenia są większe od f nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Mówimy wtedy, że funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego minimum lokalne. Co zapisujemy za pomocą nierówności f nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, mniejszy równy, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Slajd 3. Jeśli spełniona jest relacja, że f nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest mniejsze od f nawias, x, zamknięcie nawiasu mówimy o minimum lokalnym właściwym f nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Slajd 4. Zauważmy, że dla punktu B o współrzędnych x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego i y indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego można wskazać taki do którego należy ten punkt, że wartość f nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest największą wartością funkcji f w tym przedziale. Inaczej mówiąc, można wskazać takie otoczenie punktu x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, że wartości funkcji dla liczb z tego otoczenia są mniejsze od f nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Mówimy wtedy, że funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego maksimum lokalne. Co zapisujemy za pomocą nierówności f nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, większy równy, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Slajd 5. Jeśli spełniona jest relacja, że f nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest większe od f nawias, x, zamknięcie nawiasu mówimy o maksimum lokalnym właściwym f nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, większy niż, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano poziomy wykres funkcji y, równa się, dwa. Zwróćmy uwagę, że zgodnie z tymi definicjami, funkcja stała ma w każdym punkcie minimum lokalne, natomiast w żadnym punkcie nie ma minimum lokalnego właściwego. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji, który biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w dół, następnie odbija w górę, w dół, znowu w górę, w dół, przebija oś X, następnie ponownie biegnie w górę, w dół i zmierza niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Zamalowanymi punktami zaznaczono ekstrema funkcji. ak łatwo zauważyć, funkcja może mieć kilka minimów i kilka maksimów. Może się też zdarzyć, że niektóre minima są większe od maksimów. Stąd też mówimy o minimach czy maksimach lokalnych. Często dla uproszczenia zamiast używać nazwy minimum lokalne właściwe funkcji czy maksimum lokalne właściwe funkcji mówimy krótko minimum funkcji czy maksimum funkcji. Slajd 8. Na ilustracji przedstawiono dwa układy współrzędnych z wykresami funkcji. Na płaszczyźnie układu pierwszego narysowano wykres funkcji f, który stanowi parabola, o ramionach skierowanych w dół. Na płaszczyźnie układu drugiego narysowano wykres funkcji g, który stanowi parabola, o ramionach skierowanych w górę. Zamalowanymi punktami zaznaczono wierzchołki obu funkcji. Maksimum i minimum lokalnego funkcji nie należy utożsamiać z największą i najmniejszą wartością funkcji na rozważanym zbiorze. Prawdziwy jednak jest następujący podany wniosek: Jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym przedziale i ma w tym przedziale tylko jedno ekstremum lokalne i jest to maksimum bądź minimum, to wówczas jest to jednocześnie największa bądź najmniejsza wartość funkcji na tym przedziale. Slajd 9. Na wykresie funkcji f, zamalowany punkt stanowi maksimum absolutne. Natomiast na wykresie funkcji g, na którym zamalowany punkt stanowi minimum absolutne. Wartość największa i najmniejsza funkcji na rozważanym zbiorze nazywane są ekstremami absolutnymi (lub globalnymi). Mówimy, że funkcja ma maksimum absolutne lub minimum absolutne. Slajd 10. Rozważmy następujący przykład. Korzystając z definicji uzasadnimy, że funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, x indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego ma ekstremum lokalne w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero. Zauważmy zatem, że x indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego, większy niż, zero dla x, nie równa się, zero. Zatem f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, większy niż, jeden, minus, x indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego dla x, nie równa się, zero. Oznacza to, że funkcja f ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, zero maksimum lokalne. Zobaczmy jak wygląda wykres funkcji. Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jedna druga do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności niemal pionowo w górę, przebijając w punkcie x, równa się, minus, jeden nad oś X. Następnie wykres stanowi pozioma linia, odbija w dół, w punkcie x, równa się, jeden przebija pod oś X i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności.