Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na poniższym wykresie przedstawiono fragment pewnej funkcji.

RV4tFZftZv3W6

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Biegnie w górę, przebija nad oś X, i w punkcie A0;1 odbija w dół. W punkcie B odbija delikatnie w górę. W punkcie C odbija w dół, który jest na poziomie punku A i dalej przebija pod oś X w punkcie x równa się 2,5. W punkcie D odbija w górę, który znajduje się na wysokości poniżej minus 1, a następnie w punkcie E na poziomie powyżej minus jeden w dół. W punkcie F 5,-1 odbija ponownie w górę i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

RY6mTHA4f2ucv

Ćwiczenie 2

Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe w zależności od tego czy przedstawiona na ilustracji funkcja posiada dane ekstremum.

R1eM04Tdfy8dg

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w górę do punktu C-2;0. Następnie biegnie niemal pionowo w górę do punktu B, który znajduje się na wysokości powyżej 4, po czym odbija w dół. Biegnie do punktu A1;0, gdzie od osi X odbija w górę i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

Rt8w99SWXOMyP

RikQLYDEjTc9P

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w dół do punktu C-2;0. W punkcie C przebija pod oś X i biegnie do punktu D, który jest na wysokości poniżej minus trzy. W punkcie D odbija w górę i w punkcie 0;0 przebija nad oś X, biegnąc w górę do punktu , który jest na wysokości poniżej dwóch. B. W punkcie B odbija w dół, po czym w punkcie A1;0 odbija od osi X i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności.

R7ql73FpWha9x

Ćwiczenie 3

Na poniższym wykresie przedstawiono fragment pewnej funkcji.

R5eP2Sdzu65Os

R1MkwzxgARD7P

RmR8ubLuyCZN82

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

f (x_{0}) = f (x)

, minimum lokalne,

f (x_{0}) ⩾ f (x)

30 x^{30}

, niewłaściwym,

f (x_{0}) ⩽ f (x)

, maksimum lokalne, ekstremum ostre, ekstremum słabe, marginalne, ekstremum, skrajne, ostra, właściwe, nieostra. Polecenie: Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwe wyrazy. Funkcja

f (x)

ma w punkcie

x_{0}

należącym do dziedziny funkcji, luka do uzupełnienia równe

f (x_{0})

, gdy można wskazać takie otoczenie punktu

x_{0}

, że dla każdego argumentu z tego otoczenia luka do uzupełnienia . Funkcja

f (x)

ma w punkcie

x_{0}

luka do uzupełnienia równe

f (x_{0})

, gdy można wskazać takie otoczenie punktu

x_{0}

, należącego do dziedziny funkcji, że dla każdego argumentu z tego otoczenia luka do uzupełnienia . Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla

x \neq x_{0}

spełniona jest luka do uzupełnienia nierówność

f (x_{0}) < f (x)

lub

f (x) < f (x_{0})

to mówimy, że funkcja ma w punkcie

x_{0}

maksimum (minimum) luka do uzupełnienia w przeciwnym wypadku mówimy o maksimum (minimum) luka do uzupełnienia . Maksimum i minimum określamy terminem luka do uzupełnienia . Ekstremum po łacinie oznacza luka do uzupełnienia .

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwe wyrazy.

niewłaściwym, skrajne, $30 x^{30}$ , ekstremum ostre, $f (x_{0}) ⩾ f (x)$ , właściwe, $f (x_{0}) = f (x)$ , ekstremum słabe, marginalne, $f (x_{0}) ⩽ f (x)$ , minimum lokalne, ostra, nieostra, ekstremum

Funkcja $f (x)$ ma w punkcie $x_{0}$ należącym do dziedziny funkcji, maksimum lokalne równe $f (x_{0})$ , gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_{0}$ , że dla każdego argumentu z tego otoczenia . Funkcja $f (x)$ ma w punkcie $x_{0}$ równe $f (x_{0})$ , gdy można wskazać takie otoczenie punktu $x_{0}$ , należącego do dziedziny funkcji, że dla każdego argumentu z tego otoczenia . Jeśli istnieje takie otoczenie, w którym dla $x \neq x_{0}$ spełniona jest nierówność $f (x) < f (x_{0})$ lub $f (x_{0}) < f (x)$ to mówimy, że funkcja ma w punkcie $x_{0}$ maksimum (minimum) w przeciwnym wypadku mówimy o maksimum (minimum) . Maksimum i minimum określamy terminem . Ekstremum po łacinie oznacza .

Ćwiczenie 5

Narysuj wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie trzy ekstrema lokalne: w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ – maksimum lokalne, w punkcie $x_{3} = 0$ – minimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Opisz wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie trzy ekstrema lokalne: w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ – maksimum lokalne, w punkcie $x_{3} = 0$ – minimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Wybierzmy dwa dowolne punkty $(x_{1}, y_{1})$ oraz $(x_{2}, y_{2})$ , odcięta pierwszego punktu należy do przedziału $x_{1} \in (- 1, 0)$ , odcięta drugiego do przedziału $x_{2} \in (0, 1)$ oraz punkty mają takie same rzędne (bo $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ), czyli $y_{1} = y_{2}$ .

Punkty te będą reprezentowały maksima naszej funkcji.

Następnie zaznaczamy punkt minimum.

Odcięta tego punktu to $x_{3} = 0$ . Ponieważ funkcja ma dokładnie $3$ ekstrema lokalne, to z definicji minimum lokalnego właściwego i z ciągłości funkcji $f$ mamy, że $f (x_{3}) < f (x_{1})$ . Zatem rzędna $y_{3} < y_{1}$ .

Aby funkcja ciągła miała ekstrema jedynie we wskazanych punktach, powinna być rosnąca w przedziałach $(- 1, x_{1})$ , $(0, x_{2})$ oraz malejąca w przedziałach $(x_{1}, 0)$ , $(x_{2}, 1)$ .

Przykład wykresu funkcji przedstawia poniższy rysunek.

R1EEpsHWJdbV3

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie w górę. W punkcie x=-1 przebija nad oś X, biegnie w górę i odbija w dół do punktu 0;0. W punkcie 0;0 odbija w górę, ponownie w dół i w punkcie x=1 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności.

Ćwiczenie 6

Narysuj wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie $2$ minima lokalne w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ , zaś w punkcie $x_{3} = 0$ ma jedyne maksimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Opisz wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie $2$ minima lokalne w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ , zaś w punkcie $x_{3} = 0$ ma jedyne maksimum lokalne, przy czym $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Punkty te będą reprezentowały minima naszej funkcji.

Następnie zaznaczamy punkt maksimum.

Odcięta tego punktu to $x_{3} = 0$ . Ponieważ funkcja jest ciągła i ma dokładnie $3$ ekstrema lokalne, to z definicji maksimum lokalnego właściwego mamy, że $f (x_{3}) > f (x_{1})$ . Zatem rzędna $y_{3} > y_{1}$ .

Aby funkcja ciągła miała ekstrema tylko we wskazanych punktach, powinna być malejąca w przedziałach $(- 1, x_{1})$ , $(0, x_{2})$ oraz rosnąca w przedziałach $(x_{1}, 0)$ , $(x_{2}, 1)$ .

Przykład wykresu funkcji przedstawia poniższy rysunek.

R6O1PMvN0qMmU

Ćwiczenie 7

Narysuj wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie $2$ ekstrema lokalne w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ , zaś jej jedynym miejscem zerowym jest $x_{3} = 0$ , przy czym $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ .

Opisz wykres takiej funkcji ciągłej, która ma dokładnie $2$ ekstrema lokalne w punktach $x_{1} \in (- 1, 0)$ i $x_{2} \in (0, 1)$ , zaś jej jedynym miejscem zerowym jest $x_{3} = 0$ , przy czym $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ .

Wybierzmy dwa dowolne punkty $(x_{1}, y_{1})$ oraz $(x_{2}, y_{2})$ , odcięta pierwszego punktu należy do przedziału $x_{1} \in (- 1, 0)$ , odcięta drugiego do przedziału $x_{2} \in (0, 1)$ oraz punkty mają „przeciwne” rzędne (bo $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ ), czyli $y_{1} = - y_{2}$ . Punkty te będą reprezentowały jedyne ekstrema naszej funkcji.

Następnie zaznaczamy punkt $(0, 0)$ , bo $x_{3} = 0$ jest jedynym miejscem zerowym naszej funkcji.

Aby funkcja ciągła miała ekstrema tylko we wskazanych punktach, np. maksimum w $x_{1}$ oraz minimum w $x_{2}$ , powinna być rosnąca w przedziałach $(- 1, x_{1})$ , $(x_{2}, 1)$ oraz malejąca w przedziałach $(x_{1}, x_{2})$ .

Przykład wykresu funkcji przedstawia poniższy rysunek.

RJT1rrJY5tFsX

Ćwiczenie 8

Korzystając z definicji pokaż, że funkcja $f (x) = |x + 1| + 2$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Zauważmy, że $f (- 1) = 2 < |x + 1| + 2 = f (x)$ dla każdego $x \neq - 1$ .

Oznacza to, z definicji, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0} = - 1$ minimum lokalne właściwe.

Ćwiczenie 9

Korzystając z definicji pokaż, że funkcja $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x_{0} = 0$ .

Zauważmy, że $f (0) = 1$ oraz $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} < 1$ dla każdego $x \neq 0$ .

Mamy zatem $f (0) > f (x)$ dla każdego $x \neq 0$ .

Oznacza to, z definicji, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_{0} = 0$ maksimum lokalne właściwe.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela