Ustalimy dla jakich wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$ granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{3n+1}$ jest:

(a) $0$,

(b) $3$,

(c) $+\infty$.

Rozwiązanie

Ponieważ mamy do czynienia z ilorazem wielomianówo granicy ilorazu ciągów wielomianowychilorazem wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez $n$ w najwyższej potędze, w jakiej występuje w mianowniku. Otrzymujemy:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{an+2}{3n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{a}{3}$.

(a) Granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{3n+1}$ jest $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0$.

(b) Granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{3n+1}$ jest $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{a}{3}=3$, czyli gdy $a=9$.

(c) Dla żadnych wartości parametru $a$ granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{3n+1}$ nie może być $+\infty$.

Ustalimy dla jakich wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$ granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}$ jest:

(a) $0$,

(b) $3$,

(c) $1$,

(d) $+\infty$.

Rozwiązanie

Rozważmy dwa przypadki:

Przypadek I:

Niech $a\ne 2$.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a+\frac{2}{n}}{a-2+\frac{1}{n}}=\frac{a}{a-2}$

(a) Granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}$ jest $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{a}{a-2}=0$, czyli gdy $a=0$.

(b) Granicą ciągu $a_n=\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}$ jest $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{a}{a-2}=3$, czyli gdy $a=3\left(a-2\right)$. Zatem $a=3$.

(c) Teraz rozważmy co by było, gdyby $\frac{a}{a-2}=1$.

Wówczas $a=a-2$, czyli powstaje równanie sprzeczne. Zatem ciąg $a_n=\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}$ nie może mieć granicy $1$. Jest to jedyna liczba, która nie może być granicą ciągu $\left(a_n\right)$. Wynika to z faktu, że zbiorem wartości funkcji homograficznej $f\left(a\right)=\frac{a}{a-2}$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

Przypadek II

Niech $a=2$.

Wówczas ciąg ma postać: $a_n=2n+2$ i jest ciągiem rozbieżnym do $+\infty$.

Odpowiedź:

Ciąg $a_n=\frac{an+2}{\left(a-2\right)n+1}$ jest:

(a) zbieżny do $0$ dla $a=0$,

(b) zbieżny do $3$ dla $a=3$,

(c) nie jest zbieżny do $1$ dla żadnej wartości parametru $a$.

(d) rozbieżnym do $+\infty$ dla $a=2$.

Określimy, jaka jest granic ciągu $a_n=\frac{a{n}^2+bn+c}{\left(2a+1\right)n+1}$ w zależności od wartości parametrów $a$, $b$, $c$

Rozwiązanie

Rozważmy przypadki.

Przypadek I

Niech $a=0$.

Wówczas ciąg ma postać $a_n=\frac{bn+c}{n+1}$.

Zatem $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{bn+c}{n+1}=\frac{b}{1}=b$, gdzie $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przypadek II

Niech $a=-\frac{1}{2}$.

Wówczas ciąg ma postać $a_n=-\frac{1}{2}{n}^2+bn+c$, czyli $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{n}^2+bn+c\right)=-\infty$, gdzie $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przypadek III

Niech $a>0$ lub $a<-\frac{1}{2}$.

Wówczas:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{n}^2+bn+c}{\left(2a+1\right)n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{an+b+\frac{c}{n}}{\left(2a+1\right)+\frac{1}{n}}=+\infty$.

Przypadek IV

Niech $a<0$ i $a>-\frac{1}{2}$.

Wówczas

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{n}^2+bn+c}{\left(2a+1\right)n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{an+b+\frac{c}{n}}{\left(2a+1\right)+\frac{1}{n}}=-\infty$.

Zbadamy zbieżność ciągu $a_n=\sqrt{n+a}-\sqrt{n}$ w zależności od wartości parametru $a\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie

Wykorzystamy zmianę postaci wyrażenia do obliczenia granicy:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}=$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+a-n}{\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}=\frac{a}{\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}$

Ponieważ ciągi $x_n=\sqrt{n+a}$ i $y_n=\sqrt{n}$ są ciągami rozbieżnymi do $+\infty$, zatem ciąg $x_n+y_n=\sqrt{n+a}+\sqrt{n}$ jest także rozbieżny do $+\infty$.

Na podstawie poznanego twierdzenia ciąg $a_n=\frac{a}{\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n}\right)}$ jest zbieżny do $0$ dla dowolnej rzeczywistej wartości parametru $a$.

Zbadamy zbieżność ciągu $(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}-n)$ w zależności od wartości parametrów $a$, $b$, $c$.

Rozwiązanie

Obliczymy

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}-n\right)$.

Korzystając ze wzoru: $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$, przekształcamy wzór ciągu:

$\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}-n=$

$=\frac{\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}-n\right)\left({\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}·n+n^2\right)}{{\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}\right)}^2+\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}·n+n^2}=$

$=\frac{{\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}\right)}^3-n^3}{n^2\left({\left(\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}+1\right)}=$

$=\frac{a{n}^2+bn+c}{n^2\left({\left(\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}+1\right)}=$

$=\frac{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}}{{\left(\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}+1}$

Zatem granicą ciągu z zadania, niezależnie od wartości parametrów $b$, $c$ jest:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+a{n}^2+bn+c}-n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}}{{\left(\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}+1}=\frac{a}{3}$

Niech

$x_n=a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +a_{1}n+a_0$, gdzie $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oraz $a_k\ne 0$,

$y_n=b_m{n}^m+b_{m-1}{n}^{m-1}+\cdots +b_{1}n+b_0$, gdzie $m\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oraz $b_m\ne 0$.

Wówczas

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a_k}{b_m}$, gdy $k=m$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=0$, gdy $k<m$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=+\infty$, gdy $k>m$ i $a_k>0$