Przeczytaj
W tym materiale przeanalizujemy przykłady ilustrujące badanie zbieżności ciągu w zależności od wartości parametrów.
Ustalimy dla jakich wartości parametru granicą ciągu jest:
(a) ,
(b) ,
(c) .
Rozwiązanie
Ponieważ mamy do czynienia z ilorazem wielomianówilorazem wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez w najwyższej potędze, w jakiej występuje w mianowniku. Otrzymujemy:
.
(a) Granicą ciągu jest wtedy i tylko wtedy, gdy .
(b) Granicą ciągu jest wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy .
(c) Dla żadnych wartości parametru granicą ciągu nie może być .
Ustalimy dla jakich wartości parametru granicą ciągu jest:
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) .
Rozwiązanie
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek I:
Niech .
(a) Granicą ciągu jest wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy .
(b) Granicą ciągu jest wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy . Zatem .
(c) Teraz rozważmy co by było, gdyby .
Wówczas , czyli powstaje równanie sprzeczne. Zatem ciąg nie może mieć granicy . Jest to jedyna liczba, która nie może być granicą ciągu . Wynika to z faktu, że zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór .
Przypadek II
Niech .
Wówczas ciąg ma postać: i jest ciągiem rozbieżnym do .
Odpowiedź:
Ciąg jest:
(a) zbieżny do dla ,
(b) zbieżny do dla ,
(c) nie jest zbieżny do dla żadnej wartości parametru .
(d) rozbieżnym do dla .
Określimy, jaka jest granic ciągu w zależności od wartości parametrów , ,
Rozwiązanie
Rozważmy przypadki.
Przypadek I
Niech .
Wówczas ciąg ma postać .
Zatem , gdzie i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Przypadek II
Niech .
Wówczas ciąg ma postać , czyli , gdzie i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Przypadek III
Niech lub .
Wówczas:
.
Przypadek IV
Niech i .
Wówczas
.
Zbadamy zbieżność ciągu w zależności od wartości parametru .
Rozwiązanie
Wykorzystamy zmianę postaci wyrażenia do obliczenia granicy:
Ponieważ ciągi i są ciągami rozbieżnymi do , zatem ciąg jest także rozbieżny do .
Na podstawie poznanego twierdzenia ciąg jest zbieżny do dla dowolnej rzeczywistej wartości parametru .
Zbadamy zbieżność ciągu w zależności od wartości parametrów , , .
Rozwiązanie
Obliczymy
.
Korzystając ze wzoru: , przekształcamy wzór ciągu:
Zatem granicą ciągu z zadania, niezależnie od wartości parametrów , jest:
Słownik
Niech
, gdzie oraz ,
, gdzie oraz .
Wówczas
, gdy ,
, gdy ,
, gdy i