Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Obliczenia związane z ciągami rozbieżnymi
Infografika
Powrót
Przeczytaj
Sprawdź się
Infografika
Polecenie
1
Zapoznaj się z infografiką i na jej podstawie wykonaj polecenie 2.
R1AqXaM9eQ4Vw
Infografika. Zadanie: W zależności od wartości parametru a większego od jeden, obliczymy granicę:
lim
n
→
∞
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
. Rozwiązanie. Skorzystamy z twierdzenia Stolza. Twierdzenie Stolza: Jeżeli dane są dwa ciągi
x
n
,
y
n
, przy czym
1
°
y
n
jest ściśle rosnący,
2
°
lim
n
→
∞
y
n
=
+
∞
,
3
°
istnieje
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
g
,
to
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
g
.
.
Korzystając z twierdzenia, zapiszemy:
x
=
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
oraz
y
=
n
·
a
n
+
1
, przy czym ciąg
y
n
jest rosnący i rozbieżny do
+
∞
. Zapiszemy granicę w następującej postaci:
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
lim
n
→
∞
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
-
n
-
1
·
a
n
=
upraszczamy ułamek, skracając licznik z mianownikiem
=
lim
n
→
∞
n
n
a
-
1
+
1
=
1
a
+
1
. Zatem mamy, że
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
lim
n
→
∞
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
=
1
a
+
1
. Skorzystaliśmy z twierdzenia Stolza.
Infografika. Zadanie: W zależności od wartości parametru a większego od jeden, obliczymy granicę:
lim
n
→
∞
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
. Rozwiązanie. Skorzystamy z twierdzenia Stolza. Twierdzenie Stolza: Jeżeli dane są dwa ciągi
x
n
,
y
n
, przy czym
1
°
y
n
jest ściśle rosnący,
2
°
lim
n
→
∞
y
n
=
+
∞
,
3
°
istnieje
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
g
,
to
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
g
.
.
Korzystając z twierdzenia, zapiszemy:
x
=
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
oraz
y
=
n
·
a
n
+
1
, przy czym ciąg
y
n
jest rosnący i rozbieżny do
+
∞
. Zapiszemy granicę w następującej postaci:
lim
n
→
∞
x
n
-
x
n
-
1
y
n
-
y
n
-
1
=
lim
n
→
∞
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
-
n
-
1
·
a
n
=
upraszczamy ułamek, skracając licznik z mianownikiem
=
lim
n
→
∞
n
n
a
-
1
+
1
=
1
a
+
1
. Zatem mamy, że
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
lim
n
→
∞
1
+
1
·
a
+
2
·
a
2
+
…
+
n
·
a
n
n
·
a
n
+
1
=
1
a
+
1
. Skorzystaliśmy z twierdzenia Stolza.
Polecenie
2
R1RRmPYmh2MZT
Granicą ciągu
lim
n
→
∞
n
a
n
+
1
a
+
a
2
2
+
…
+
a
n
n
dla parametru
a
>
1
, jest Możliwe odpowiedzi: 1.
1
a
-
1
, 2.
1
1
-
a
, 3.
1
a
+
1
, 4.
1
a