Infografika. Zadanie: W zależności od wartości parametru a większego od jeden, obliczymy granicę: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+1·a+2·a^2+\dots +n·a^n}{n·a^{n+1}}$. Rozwiązanie. Skorzystamy z twierdzenia Stolza. Twierdzenie Stolza: Jeżeli dane są dwa ciągi $\left\{x_n\right\}$, $\left\{y_n\right\}$, przy czym
$1°\left\{y_n\right\}$jest ściśle rosnący,
$2°\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=+\infty$,
$3°$ istnieje $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=g$,
to
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=g$..
Korzystając z twierdzenia, zapiszemy: $x=1+1·a+2·a^2+\dots +n·a^n$ oraz $y=n·a^{n+1}$, przy czym ciąg $\left(y_n\right)$ jest rosnący i rozbieżny do $+\infty$. Zapiszemy granicę w następującej postaci: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n·a^n}{n·a^{n+1}-\left(n-1\right)·a^n}=$ upraszczamy ułamek, skracając licznik z mianownikiem $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n\left(a-1\right)+1}=\frac{1}{a+1}$. Zatem mamy, że $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+1·a+2·a^2+\dots +n·a^n}{n·a^{n+1}}=\frac{1}{a+1}$. Skorzystaliśmy z twierdzenia Stolza.