Przeczytaj
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Układ taki przyjmuje postać:
gdzie:
oraz – oznaczają niewiadome,
, , oraz – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio oraz , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb i oraz i jest różna od zera,
i – nazywamy wyrazami wolnymi.
Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania danego układu równań.
Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.
Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.
Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:
proste przecinają się w jednym punkcie,
proste pokrywają się (są równoległe),
proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
Dany jest układ równań
.
Narysujemy wykres każdego z równań.
Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.
i
i
i
Wykresy tych równań przecinają się w jednym punkcie .
Współrzędne tego punktu tworzą parę liczb, która spełnia oba równania: oraz .
Para jest jedynym rozwiązaniem układu.
A zatem układ równań ma jedno rozwiązanie. Taki układ nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym (układem równań niezależnych).
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi
jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek
Sprawdzimy, czy podany układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest układem oznaczonym.
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych oraz .
Sprawdzamy czy zachodzi warunek .
A zatem ten układ jest układem oznaczonymukładem oznaczonym.
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych oraz .
Sprawdzamy czy zachodzi warunek .
A zatem ten układ nie jest układem oznaczonym.
Sprawdzimy, która z podanych par liczb , spełnia układ równań
.
Aby sprawdzić, czy para liczb spełnia układ równań, musimy wyznaczyć wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po prawej i lewej stronie każdego z równań układu i porównać je.
Jeśli lewa strona równania będzie równa prawej , w każdym z dwóch równań, to para spełnia układ równań, a więc jest jego rozwiązaniem.
Sprawdźmy czy para liczb spełnia każde z równań. Pierwsze równanie.
A zatem para liczb nie spełnia tego równania.
Nie jest więc rozwiązaniem układu równańrozwiązaniem układu równań.
Sprawdźmy czy para liczb spełnia każde z równań.
Pierwsze równanie.
A zatem para spełnia to równanie.
Drugie równanie.
A zatem para liczb spełnia również drugie równanie.
Para spełnia każde z równań, a więc jest rozwiązaniem układu równań .
Policzymy, dla jakich wartości parametrów oraz para liczb jest rozwiązaniem układu równań .
Obliczamy wartość parametru , podstawiając wartości oraz do pierwszego równania.
Obliczamy wartość parametru , podstawiając wartości oraz do drugiego równania.
Para liczb jest rozwiązaniem układu równań dla .
Jedną z par spełniających równanie liniowe z dwiema niewiadomymi jest .
Znajdziemy równanie, które będzie wraz z danym tworzyło układ równań, którego rozwiązaniem jest również para liczb .
Na rysunku przedstawiliśmy wykres równania oraz zaznaczyliśmy punkt o współrzędnych .
Ponieważ przez ten punkt możemy przeprowadzić nieskończenie wiele prostych, więc nasze zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Możemy np. dopisać równania: , , czy też .
Możemy też do równania kierunkowego prostej podstawić oraz dowolnie wybrany współczynnik , np. i wyznaczyć równanie.
Otrzymujemy wtedy:
A zatem układem równań spełniającym warunki zadania będzie również układ równań .
Układy równań liniowych są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią.
Na widowni teatru znajduje się miejsc siedzących. Na niedzielny spektakl sprzedano biletów. Cena biletu ulgowego wynosi , a normalnego o więcej. Oblicz, ile sprzedano biletów normalnych a ile ulgowych, jeśli łączna kwota, za którą sprzedano bilety wynosiła .
Zaczynamy od analizy zadania:
cena biletu ulgowego –
cena biletu normalnego –
liczba uczestników z czyli
łączna kwota, za którą sprzedano bilety –
liczba sprzedanych biletów ulgowych –
liczba sprzedanych biletów normalnych –
Zapiszemy układ równań pozwalający rozwiązać zadanie.
Taki układ pozwoli nam obliczyć, ile sprzedano biletów normalnych, a ile ulgowych.
Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy .
(Sprawdź, czy podane liczby spełniają warunki zadania.)
A zatem sprzedano biletów ulgowych oraz biletów normalnych.
Słownik
układ równań postaci
to każda para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie
układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb