Przeczytaj

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera,
$c_{1}$ i $c_{1}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca jednocześnie oba równania danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Ważne!

Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się (są równoległe),

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Przykład 1

Dany jest układ równań

$\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań do najprostszej postaci.

$2 x - y = 0$ i $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $3 x - 3 + y = 2 y$

$y = 2 x$ i $y = 3 x - 3$

R30QHJHJWgYWc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 3 do siedmiu oraz z osią poziomą od minus 3 do sześciu. Zaznaczono na nim dwie proste. Pierwsza posiada miejsce zerowe w początku układu współrzędnych, a druga w punkcie jeden i przecina oś Y w punkcie minus trzy. Proste przecinają się w punkcie 3;6.

Wykresy tych równań przecinają się w jednym punkcie $A = (3, 6)$ .

Współrzędne tego punktu tworzą parę liczb, która spełnia oba równania: $2 x - y = 0$ oraz $3 \cdot (x - 1) + y = 2 y$ .

Para $(3, 6)$ jest jedynym rozwiązaniem układu.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 3 \cdot (x - 1) + y = 2 y \end{cases}$ ma jedno rozwiązanie. Taki układ nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.

Oznaczony układ równań

Definicja: Oznaczony układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym (układem równań niezależnych).

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek

a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0

Przykład 2

Sprawdzimy, czy podany układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest układem oznaczonym.

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 5 \\ - 3 x + y = - 4 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 3$
$b_{1} = 2$
$a_{2} = - 3$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 3) = 9 \neq 0$
A zatem ten układ jest układem oznaczonymukładem oznaczonym.
$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + y = 12 \end{cases}$
Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .
$a_{1} = 10$
$b_{1} = - 5$
$a_{2} = - 2$
$b_{2} = 1$
Sprawdzamy czy zachodzi warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .
$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = 0$
A zatem ten układ nie jest układem oznaczonym.

Przykład 3

Sprawdzimy, która z podanych par liczb $(2, 4)$ , $(4, 2)$ spełnia układ równań

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = 4 \\ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = 2 \end{cases}$ .

Aby sprawdzić, czy para liczb spełnia układ równań, musimy wyznaczyć wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po prawej i lewej stronie każdego z równań układu i porównać je.

Jeśli lewa strona równania będzie równa prawej $(L = P)$ , w każdym z dwóch równań, to para spełnia układ równań, a więc jest jego rozwiązaniem.

Sprawdźmy czy para liczb $(2, 4)$ spełnia każde z równań. Pierwsze równanie.
$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot (4 + 1) = 1 + \frac{10}{3} \neq 4 = P_{1}$
A zatem para liczb $(2, 4)$ nie spełnia tego równania.
Nie jest więc rozwiązaniem układu równańrozwiązaniem układu równań.

Sprawdźmy czy para liczb $(4, 2)$ spełnia każde z równań.
Pierwsze równanie.
$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{2}{3} \cdot (2 + 1) = 2 + \frac{6}{3} = 4 = P_{1}$
A zatem para spełnia to równanie.
Drugie równanie.
$L_{2} = \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{3} - \frac{4 \cdot 2 - 3}{5} = 3 - 1 = 2 = P_{2}$
A zatem para liczb $(4, 2)$ spełnia również drugie równanie.

Para $(4, 2)$ spełnia każde z równań, a więc jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (y + 1) = 4 \\ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = 2 \end{cases}$ .

Przykład 4

Policzymy, dla jakich wartości parametrów $m$ oraz $n$ para liczb $\{\begin{cases} x = - 10 \\ y = 12, 5 \end{cases}$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 8 x - (m + 1) y = - 15 \\ (n - 2) x + 4 y = 15 \end{cases}$ .

Obliczamy wartość parametru $m$ , podstawiając wartości $x = - 10$ oraz $y = 12, 5$ do pierwszego równania.

$8 x - (m + 1) y = - 15$

$8 \cdot (- 10) - (m + 1) \cdot 12, 5 = - 15$

$- (m + 1) \cdot 12, 5 = - 15 + 80$

$- 12, 5 \cdot (m + 1) = 65 |: (- 12, 5)$

$m + 1 = - 5, 2$

$m = - 6, 2$

Obliczamy wartość parametru $n$ , podstawiając wartości $x = - 10$ oraz $y = 12, 5$ do drugiego równania.

$(n - 2) x + 4 y = 15$

$(n - 2) \cdot (- 10) + 4 \cdot 12, 5 = 15$

$- 10 \cdot (n - 2) = 15 - 50$

$n - 2 = - 35 : (- 10)$

$n = 3, 5 + 2$

$n = 5, 5$

Para liczb $\{\begin{cases} x = - 10 \\ y = 12, 5 \end{cases}$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 8 x - (m + 1) y = - 15 \\ (n - 2) x + 4 y = 15 \end{cases}$ dla $\{\begin{cases} m = - 6, 2 \\ n = 5, 5 \end{cases}$ .

Przykład 5

Jedną z par spełniających równanie liniowe z dwiema niewiadomymi $3 x - 5 y = 9$ jest $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ .

Znajdziemy równanie, które będzie wraz z danym tworzyło układ równań, którego rozwiązaniem jest również para liczb $(- 2, - 3)$ .

R16HibkhaaSb6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 5 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do sześciu. Zaznaczono na nim prostą mającą miejsce zerowe w punkcie trzy. Zaznaczono punkt na prostej o współrzędnych -2;-3.

Na rysunku przedstawiliśmy wykres równania $3 x - 5 y = 9$ oraz zaznaczyliśmy punkt o współrzędnych $(- 2, - 3)$ .

Ponieważ przez ten punkt możemy przeprowadzić nieskończenie wiele prostych, więc nasze zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Możemy np. dopisać równania: $x = - 2$ , $y = - 3$ , czy też $y = \frac{3}{2} x$ .

Możemy też do równania kierunkowego prostej $y = a x + b$ podstawić $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ oraz dowolnie wybrany współczynnik $b$ , np. $b = 3$ i wyznaczyć równanie.

Otrzymujemy wtedy:

$y = a x + b$

$- 3 = - 2 a + 3$

$2 a = 3 + 3$

$a = 3$

A zatem układem równań spełniającym warunki zadania będzie również układ równań $\{\begin{cases} 3 x - 5 y = 9 \\ y = 3 x + 3 \end{cases}$ .

Przykład 6

Układy równań liniowych są bardzo pomocne przy rozwiązywaniu zadań z treścią.

Na widowni teatru znajduje się $300$ miejsc siedzących. Na niedzielny spektakl sprzedano $80 %$ biletów. Cena biletu ulgowego wynosi $25 zł$ , a normalnego o $5 zł$ więcej. Oblicz, ile sprzedano biletów normalnych a ile ulgowych, jeśli łączna kwota, za którą sprzedano bilety wynosiła $6800 zł$ .

Zaczynamy od analizy zadania:

cena biletu ulgowego – $25 zł$

cena biletu normalnego – $30 zł$

liczba uczestników $80 %$ z $300$ czyli
$0, 8 \cdot 300 = 240$

łączna kwota, za którą sprzedano bilety – $6800 zł$

liczba sprzedanych biletów ulgowych – $x$

liczba sprzedanych biletów normalnych – $y$

Zapiszemy układ równań pozwalający rozwiązać zadanie.

$\{\begin{cases} x + y = 240 \\ 25 x + 30 y = 6800 \end{cases}$

Taki układ pozwoli nam obliczyć, ile sprzedano biletów normalnych, a ile ulgowych.

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy $\{\begin{cases} x = 80 \\ y = 160 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy podane liczby spełniają warunki zadania.)

A zatem sprzedano $80$ biletów ulgowych oraz $160$ biletów normalnych.

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

to każda para liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

oznaczony układ równań (układ równań niezależnych)

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik