Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

RVwW20c2Hfhq9
Rys. 1. Wielkości charakteryzujące zwierciadło kuliste.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na Rys. 1. przedstawiono schemat zwierciadła kulistego wklęsłego oraz charakteryzujących go wielkości. Każde zwierciadło charakteryzuje promień krzywizny r. Dokładnie w jego połowie znajduje się ognisko zwierciadłaognisko zwierciadłaognisko zwierciadła (stanowiące geometryczny punkt przecięcia się wszystkich promieni przyosiowych odbitych od jego powierzchni, które padały równolegle do osi optycznej). Odległość ogniskaogniskowaogniska od powierzchni zwierciadła nazywa się odległością ogniskową i oznacza literą f:

f=r2,

gdzie

f – odległość ogniskowaogniskowaogniskowa[m],

r – promień krzywizny zwierciadła [m].

Ważnymi przy omawianiu niniejszego tematu wielkościami będą także:

– odległość przedmiotu od zwierciadła oznaczana zwyczajowo literą x,

– odległość obrazu od zwierciadła oznaczana jako y.

Spróbujmy znaleźć zależność pomiędzy f, xy. Przyjrzyjmy się konstrukcji obrazu dla położenia x > 2f (Rys. 2.). Oznaczmy wierzchołek zwierciadła jako W.

Riiu0wMucaXVZ
Rys. 2. Obraz powstający w zwierciadle wklęsłym dla x > 2f.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Możemy zauważyć dwie pary trójkątów podobnych: 

Δ A W B Δ A W B ,   Δ A O B Δ A O B

Z podobieństwa Δ A W B Δ A W B   wynika, że:

ABAB=BWBW=yx.

Z podobieństwa   Δ A O B Δ A O B można zapisać:

ABAB=BOBO=2fyx2f.

Porównując oba powyższe wyrażenia otrzymujemy zależność:

yx=2fyx2f.

Po wykonaniu przekształceń matematycznych mamy:

y(x2f)=x(2fy),
xy2fy=2fxxy,
2xy=2fx+2fy.

Dzieląc ostatnie wyrażenie przez 2fxy uzyskujemy wyrażenie:

1f=1x+1y.

Otrzymana zależność wiąże trzy ważne wielkości: ogniskową zwierciadłaognisko zwierciadłaogniskową zwierciadła, odległość przedmiotu x i odległość obrazu y. Zastanówmy się, w jaki sposób opisać zależność y od x. Przekształcając ostatnie równanie mamy:

1y=1f1x=xffx,

czyli:

y=fxxf.
RTxuYy0Dg3JRJ
Rys. 3. Wykres zależności y(x) dla f > 0 (dla zwierciadła kulistego wklęsłego).
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na Rys. 3. przedstawiona została zależność y(x). Przyjrzyjmy się tutaj sytuacjom skrajnym. W przypadku:

- obszaru x < 0, nie odpowiada on usytuowaniu żadnego rzeczywistego źródła światła – mamy wówczas do czynienia z tak zwanym przedmiotem pozornym (wypada za zwierciadłem), co jest bardzo rzadką sytuacją,

- punktu x = 0, warto zauważyć, że trudno jest ustawić przedmiot dokładnie „na powierzchni zwierciadła”,

- punktu x = f – usytuowanie przedmiotu jest możliwe, jednak obraz nie powstaje.

Z wykresu można również wywnioskować, że dla:

  • x ∈ (0, f) → y ∈ (-∞,0) – powstaje obraz pozorny i powiększony,

  • x ∈ (f, +∞) → y ∈ (f, +∞) – powstaje obraz rzeczywisty.

Ten rzeczywisty obraz może być

  • powiększony, gdy x ∈ (f, 2f ). Zwróćmy uwagę, że wtedy wyrażenie opisujące położenie obrazu y przyjmuje zawsze wartość większą od 2f. Na przykład dla x = 1 , 5 · f otrzymujemy:

y=f1f1,5f=3f,
  • dla x > 2f – obraz jest zmniejszony.

Stosunek ABAB liniowych rozmiarów obrazu ( A B = h o ) i przedmiotu ( A B = h p ) oznaczmy literą p i nazwijmy powiększeniem liniowym:

p=hohp.

Korzystając z Rys. 2. możemy zauważyć, że z podobieństwa trójkątów, o którym była mowa wcześniej, wynika, że stosunek wysokości obrazu do wysokości przedmiotu jest równy stosunkowi odległości obrazu do odległości przedmiotu od zwierciadła:

p=|yx|.

We worze tym zapisujemy powiększenie jako wartość bezwzględną ilorazu y i x, gdyż wielkości te mogą przyjmować wartości ujemne. Stosunek dwóch wysokości hIndeks dolny ohIndeks dolny p nie może być zaś mniejszy od zera.

ognisko zwierciadła
ognisko zwierciadła

(ang. focus) geometryczny punkt przecięcia się wszystkich promieni przyosiowych padających na zwierciadło równolegle do osi optycznej po odbiciu od powierzchni tego zwierciadła

ogniskowa
ogniskowa

(ang. focal length) odległość ogniska od wierzchołka zwierciadła.