Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f\left(x\right)=a_{1}x+b_1$ oraz $f\left(x\right)=a_{2}x+b_2$ są równoległe, gdy zachodzi warunek:

Na rysunku przedstawiono proste równoległe, będące wykresami funkcji liniowych. Wyznaczymy wzory tych funkcji.

RpdVotlLc0MH6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do siedmiu i pionową osią Y od minus 4 do trzech. Zaznaczono dwie proste równoległe do siebie. Prosta f przecina oś X w punkcie 5 oraz ma wyraz wolny równy jeden. Prosta g ma wyraz wolny równy minus dwa.

Rozwiązanie

Niech $f\left(x\right)=ax+b$.

Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(5,0\right)$ i $\left(0,1\right)$, zatem do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}0=a·5+b\\ 1=a·0+b\end{array}\right.$.

Wobec tego $a=-\frac{1}{5}$ oraz $b=1$. Funkcja

$g$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{5}x+1$.

Niech $g\left(x\right)=ax+b_1$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a=-\frac{1}{5}$.

Wykres funkcji $g$ przecina oś rzędnych w punkcie $\left(0,-2\right)$, zatem $b_1=-2$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=-\frac{1}{5}x-2$.

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_1\left(x\right)=0,4x-2$, $f_2\left(x\right)=-\sqrt{2}x-2$, $f_3\left(x\right)=-\frac{2}{\sqrt{2}}x+3$, $f_4\left(x\right)=-x$, $f_5\left(x\right)=-x+8$, $f_6\left(x\right)=\frac{2}{5}x-3$.

Wypiszemy pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi.

Rozwiązanie

Pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi: $f_1$ i $f_6$, $f_2$ i $f_3$, $f_4$ i $f_5$.

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji liniowych zadanych wzorami $f\left(x\right)=\left(3m-2\right)x+5$ oraz $g\left(x\right)=\left(-m+3\right)x+1$ są równoległe.

Rozwiązanie

Proste, będące wykresami funkcji liniowych są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe $a$ we wzorach tych funkcji są takie same.

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3m-2=-m+3$, wobec tego $m=\frac{5}{4}$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$, jeżeli prosta, będąca wykresem tej funkcji jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{4}x-1$ oraz do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,\frac{2}{3}\right)$.

Rozwiązanie

Oznaczmy funkcję $g$ wzorem $g\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a=\frac{1}{4}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{4}x+b$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,\frac{2}{3}\right)$ należy do wykresu funkcji $g$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2}{3}=\frac{1}{4}·1+b$, wobec tego $b=\frac{5}{12}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{4}x+\frac{5}{12}$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$, $g$, $h$, $k$ po przecięciu w punktach $A$, $B$, $C$ i $D$ utworzyły romb $ABCD$, jak na poniższym rysunku.

Rbil9Y6o9elCd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 5 do pięciu i pionową osią Y od minus 5 do pięciu. Zaznaczono dwie pary prostych równoległych do siebie. Pierwsza para prostych f i g. Prosta f ma miejsce zerowe równe minus półtorej i wyraz wolny równy trzy. Prosta g ma miejsce zerowe równe półtorej oraz wyraz wolny równy minus trzy. Druga para prostych k i h. Prosta k ma miejsce zerowe równe minus półtorej i wyraz wolny równy minus trzy. Prosta h ma miejsce zerowe równe półtorej oraz wyraz wolny równy trzy. Proste przecinają się w miejscach zerowych oraz wyrazach wolnych tworząc punkty ABCD.

Wyznaczymy wzory tych funkcji.

Rozwiązanie

Wiemy, że proste, będące wykresami funkcji utworzyły romb. Mamy stąd dwie pary prostych równoległych, będących wykresami funkcji liniowych: $f$ i $g$ oraz $h$ i $k$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Niech $f\left(x\right)=ax+b$. Do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ i $\left(1,5\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}3=a·0+b\\ 5=a·1+b\end{array}\right.$.

Wobec tego $a=2$ i $b=3$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=2x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $g$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji $g$, to $a=2$.

Zatem $g\left(x\right)=2x+b$.

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(3,3\right)$, wobec tego do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=2·3+b$, zatem $b=-3$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=2x-3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $h$.

Niech $h\left(x\right)=ax+b$.

Do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ i $\left(-1,5\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}3=a·0+b\\ 5=a·\left(-1\right)+b\end{array}\right.$.

Wobec tego $a=-2$ oraz $b=3$.

Funkcja $h$ jest określona wzorem $h\left(x\right)=-2x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $k$.

Niech $k\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji $g$, to $a=-2$.

Zatem $k\left(x\right)=-2x+b$.

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(-3,3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=\left(-2\right)·\left(-3\right)+b$, wobec tego $b=-3$.

Funkcja $k$ wyraża się wzorem $k\left(x\right)=-2x-3$.

wykresy funkcji liniowych o takim samym współczynniku kierunkowym