Przeczytaj
Fakty związane z okręgami
Przez dane trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić dokładnie jeden okrąg lub równoważnie, na dowolnym trójkącie można opisać dokładnie jeden okrąg.
Tematem tego materiału jest okrąg dziewięciu punktówokrąg dziewięciu punktów, więc mamy natychmiastowy wniosek, że jeżeli wybierzemy dowolne trzy niewspółliniowe punkty z dziewięciu, to wyznaczymy ten sam okrąg tak jak każda inna trójka.
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest prosty.
Jeśli kąt wpisany jest prosty, to jest kątem opartym na średnicy okręgu.
Jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu, to wierzchołki tego trójkąta leżą na tym okręgu.
Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.
Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Odcinek Eulera
Prosta Eulera dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:
ortocentrumortocentrum tego trójkąta (punkt przecięcia prostych zawierających jego wysokości),
środek okręgu opisanego (punkt przecięcia symetralnych jego boków),
środek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowychśrodkowych).
Odcinek Eulera, jest to odcinek , gdzie jest środkiem okręgu opisanego a jest ortocentrum tego trójkąta. Jeśli trójkąt jest równoboczny to odcinek Eulera jest jednym punktem.
Środek ciężkości trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym dzieli odcinek Euleraodcinek Eulera w stosunku i leży w odległości jednej trzeciej od , a jeśli trójkąt jest równoboczny to pokrywa się z odcinkiem Eulera zredukowanym do jednego punktu.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt nie leży na prostej Eulera, a w przypadku, gdy trójkąt jest równoboczny to pokrywa się z odcinkiem Eulera zredukowanym do jednego punktu.
Okręgiem dziewięciu punktów w trójkącie nazywamy okrąg przechodzący przez środki boków tego trójkąta , , , spodki wysokości , , oraz środki , , odcinków łączących punkt przecięcia wysokości trójkąta (ortocentrum) z wierzchołkami trójkąta.
Na rysunku wprowadzone są oznaczenia interesujących punktów.
Punkty niebieskie są środkami boków.
oznacza środek boku , czyli środek boku leżący naprzeciwko punktu . Analogicznie i .
Punkty czerwone są spodkami wysokości.
oznacza spodek wysokości opuszczonej z punktu na bok . Analogicznie i .
Punkt żółty jest punktem przecięcia wysokości. Dla uproszczenia będziemy stosowali nazwę ortocentrum.
Punkty zielone są środkami odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.
oznacza środek odcinka . Analogicznie , .
Na rysunkach przedstawiony jest ten sam trójkąt i okręgi opisane odpowiednio, na środkach boków trójkąta, środkach odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum, spodkach wysokości.
Na rysunku poniżej zaznaczone są omawiane punkty w trójkącie rozwartokątnym . Ortocentrum leży wtedy poza trójkątem .
Na poniższym rysunku zaznaczone są omawiane punkty w trójkącie prostokątnym .
Kąt prosty jest przy wierzchołku . Wtedy punkty , , , pokrywają się z wierzchołkiem . Własność ta wynika z faktu, że przyprostokątne są wysokościami trójkąta, więc wierzchołek jest ich punktem przecięcia. Ponadto, odcinek jest punktem, więc pokrywa się z i z .
Zauważmy też, że pokrywa się z , bo odcinki i są tym samym odcinkiem.
Podobnie .
Pokażemy, że okrąg dziewięciu punktów dla trójkąta równobocznego jest okręgiem wpisanym w ten trójkąt. Stąd środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.
Rozwiązanie
Rozważmy okrąg wpisany w ten trójkąt. Jego środek leży w ortocentrum trójkąta. Stąd spodki wysokości są punktami styczności okręgu wpisanego i boków trójkąta i pokrywają się z odpowiednimi środkami boków. Zatem okrąg wpisany w trójkąt równoboczny jest okręgiem, na którym leżą spodki wysokości i środki boków, więc jest to okrąg dziewięciu punktów. Ponieważ promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi jedną trzecią wysokości, a odległość środka tego okręgu od dowolnego wierzchołka trójkąta ma długość dwóch trzecich wysokości, to środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.
Linia środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta.
Trójkąt, którego boki są liniami środkowymi będziemy nazywali trójkątem środkowym.
Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy. Jeżeli odcinek łączący dwa boki trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego boku, to odcinek ten jest linią środkową w trójkącie.
Trójkąt środkowy w trójkącie jest podobny do trójkąta w skali .
Trójkąty wyznaczone przez linie środkowe są przystające do trójkąta środkowego.
Przy oznaczeniach przyjętych w tym materiale, wskażemy linie środkowe w trójkącie i wyznaczymy ich długości na podstawie długości boków trójkąta. Wskażemy też pary boków odpowiednich.
Rozwiązanie
Ponieważ odcinek łączy środki boków i , to jest równoległy do boku i . Ponadto, bok trójkąta środkowego odpowiada bokowi trójkąta .
Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowego.
Pokażemy trójkąty przystające wyznaczone przez linie środkowe oraz boki odpowiadające.
Rozwiązanie
Trójkąt jest trójkątem środkowym. Trójkąty , , są przystające do trójkąta środkowego. Bokom trójkąta środkowego odpowiadają boki pozostałych trójkątów oznaczone tym samym kolorem.
Środek dowolnego boku trójkąta środkowego jest środkiem odcinka łączącego spodek wysokości trójkąta środkowego opuszczonej na ten bok i spodek wysokości trójkąta przystającego opuszczonej na ten wspólny bok obu trójkątów.
Przy oznaczeniach jak na rysunku należy pokazać, że środek odcinka jest środkiem odcinka .
Punkty , , , , leżą na jednym odcinku w położeniu jak na rysunku. Ponieważ trójkąty i są przystające, to . Stąd jest środkiem odcinka .
Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowego.
W trójkącie odcinek jest równoległy do boku i .
Odcinek jest równoległy do wysokości .
Analogiczna własność zachodzi dla trójkątów i .
Na rysunku zaznaczony jest trójkąt .
Z definicji punkt jest środkiem boku , a punkt jest środkiem odcinka .
Stąd jest linią środkową w trójkącie . Stąd mamy, że oraz . Przy czym ostatnie dwie równości wynikają z definicji jako środka odcinka .
Ponieważ odcinek jest równoległy do boku , a bok leży na wysokości , to z przechodniości relacji równoległości odcinek jest równoległy do wysokości .
Przedstawione własności zachodzą również dla trójkątów i .
Twierdzenie główne
W trójkącie , środki , , jego boków, spodki wysokości , , oraz środki , , odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta leżą na jednym okręgu.
Popatrzmy na rysunek.
Jeśli trójkąt jest równoboczny, to okrąg dziewięciu punktów jest okręgiem wpisanym w ten trójkąt. Środki boków pokrywają się z odpowiednimi spodkami wysokości, więc dziewięć charakterystycznych punktów redukuje się do sześciu i wszystkie leżą na okręgu wpisanym w ten trójkąt.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny, to możemy wybrać trzy niewspółliniowe punkty, na przykład , , .
Prowadzimy okrąg przez punkty , , . Trójkąt zaznaczony jest na zielono.
Punkt leży na wysokości poprowadzonej na bok , a punkt leży na boku . Stąd kąt jest kątem prostym. Z własności okręgu wynika, że jest kątem opartym na średnicy okręgu, więc odcinek jest średnicą tego okręgu.
Teraz rozważmy trójkąt .
jest równoległy do jako linia środkowa w trójkącielinia środkowa w trójkącie. Ponadto, na mocy twierdzenia o trójkątach, których jednym wierzchołkiem jest ortocentrum jest równoległy do . Zatem jest prostopadły do , a to oznacza, że kąt jest kątem prostym w trójkącie o przeciwprostokątnej równej średnicy okręgu. Z własności okręgu wynika, że punkt leży na okręgu.
Pokazaliśmy więc, punkt leży na okręgu wyznaczonym przez punkty , , .
Analogiczne rozważanie prowadzimy dla trójkąta .
Wynika z nich, że również punkt leży na tym okręgu.
Stąd punktów , , , , leży na jednym okręgu.
Teraz powtarzamy całe rozumowanie dla okręgu poprowadzonego przez punkty , , oraz dla okręgu poprowadzonego przez punkty , , .
Ostatecznie dostajemy, że
punktów , , , , leży na jednym okręgu.
punktów , , , , leży na jednym okręgu.
punktów , , , , leży na jednym okręgu.
Ponieważ na każdym z okręgów leżą te same punkty , , i ponieważ dokładnie jeden okrąg można poprowadzić przez niewspółliniowe punkty, to wszystkie punktów leży na tym samym okręgu. To kończy dowód.
Pokażemy, że jeśli punkt jest równoodległy od wybranych dwóch spodków wysokości trójkąta i jednocześnie jest równoodległy od środków wybranych dwóch boków trójkąta takich, że przynajmniej jeden z nich jest różny od wybranych spodków wysokości, to jest środkiem okręgu dziewięciu punktów.
Rozwiązanie
Okrąg dziewięciu punktów jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie środkowym trójkąta i okręgiem opisanym na trójkącie o wierzchołkach w spodkach wysokości tego trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków.
Jeśli punkt jest równoodległy od wybranych dwóch spodków wysokości trójkąta to leży na symetralnej trójkąta o wierzchołkach w spodkach wysokości.
Jeśli punkt jest równoodległy od wybranych dwóch środków boków trójkąta to leży na symetralnej trójkąta środkowego. Jeśli przynajmniej jeden z tych środków jest różny od wybranych spodków wysokości, to symetralne przecinają się w jednym punkcie, którym jest środek okręgu dziewięciu punktów. Stąd od razu wynika, że odległość punktu od dowolnego spodka wysokości jest równa odległości tego punktu od środka dowolnego boku trójkąta.
Własności okręgu dziewięciu punktów
Średnicą okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta jest każdy z odcinków , , .
W dowodzie twierdzenia o okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta wykazaliśmy, że jest średnicą okręgu poprowadzonego przez punkty , , , a stąd też jest średnicą okręgu dziewięciu punktów. Przez analogię pozostałe odcinki , są też średnicami okręgu dziewięciu punktów.
Odcinek łączący środek boku trójkąta ze środkiem odcinka , gdzie jest ortocentrum trójkąta ma długość . Wyznaczymy promień okręgu dziewięciu punktów dla tego trójkąta.
Rozwiązanie
Opisany odcinek to , więc . Z własności średnicy okręgu dziewięciu punktów jest średnicą okręgu dziewięciu punktów, więc długość promienia tego okręgu wynosi .
Promień okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta jest równy połowie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Na okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta leżą środki boków tego trójkąta, więc okrąg ten jest opisany na trójkącie środkowym o którym wiemy, że jest podobny do trójkąta w skali .
Stąd .
Średnica okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta ma długość . Pokażemy, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie też ma długość .
Rozwiązanie
Rzeczywiście, średnica okręgu dziewięciu punktów ma długość dwa razy większą od jego promienia. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie też ma długość dwa razy większą od promienia okręgu dziewięciu punktów, więc ma długość równą długości średnicy okręgu dziewięciu punktów.
Związek okręgu dziewięciu punktów wyznaczonych dla danego trójkąta z symetralnymi boków trójkąta i środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie
Rozważania tej części oprzemy na rysunku, w którym linie niebieskie zawierają wysokości, linie zielone są symetralnymi boków, a linie pomarańczowe są symetralnymi linii środkowych w trójkącie.
Symetralna boku trójkąta środkowego w trójkącie
jest równoległa do symetralnej odpowiadającego boku trójkąta oraz do prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną na ten odpowiadający bok,
leży między prostymi i ,
jest równoodległa od tych prostych.
Z własności środków boków trójkąta środkowego, środek odcinka jest środkiem odcinka , więc .
Prosta jest prostopadła do boku , bo jest symetralną tego boku, prosta też jest prostopadła do boku , bo zawiera wysokość opuszczoną na ten bok. Ostatecznie prosta jest prostopadła do boku , bo jest prostopadła do odcinka , który jest równoległy do .
To dowodzi, że proste , , są równoległe oraz odległość prostej od każdej z prostych i , jest równa i wynosi . Stąd też prosta leży między prostymi i .
Analogicznie dla pozostałych boków trójkąta środkowegotrójkąta środkowego.
Środek okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta jest środkiem odcinka Eulera , gdzie jest ortocentrum tego trójkąta, a jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Ortocentrum jest punktem przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta. Środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta. Stąd i z równoległości odpowiednich prostych wynika, że zaznaczony na poniższym rysunku czworokąt jest równoległobokiem. Z własności symetralnych boków trójkąta środkowego wynika, że środek okręgu dziewięciu punktów jako punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta środkowego, jest środkiem odcinka Eulera .
Słownik
punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta
odcinek , gdzie jest środkiem okręgu opisanego a jest ortocentrum tego trójkąta; jeśli trójkąt jest równoboczny to odcinek Eulera jest jednym punktem
okrąg przechodzący przez środki boków trójkąta, spodki jego wysokości oraz środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta
odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta
trójkąt, którego boki są liniami środkowymi w trójkącie
odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku
punkt przecięcia jego środkowych