Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Jednym ze sposobów opisu funkcji jest przedstawienie jej za pomocą wykresu.

Wykres funkcji
Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcji f jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x, fx, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x jest elementem dziedziny tej funkcji, a fx jest wartością funkcji f dla argumentu x.

W prostokątnym układzie współrzędnych każdy punkt znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych ma drugą współrzędną dodatnią, a w trzeciej i czwartej ćwiartce ma drugą współrzędną ujemną. Linią podziału jest oś X . Oś X dzieli  wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji w ten sposób, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi X ma drugą współrzędną dodatnią. Wiemy, że druga współrzędna punktu należącego do wykresu funkcji, to wartość funkcji odpowiadająca danemu argumentowi. Możemy wtedy powiedzieć, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Każdy punkt wykresu funkcji leżący poniżej osi X ma drugą współrzędną ujemną. Możemy wtedy powiedzieć, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przeanalizujemy poniższe przykłady, które pokażą nam,  w jaki sposób możemy określać znak funkcji w przedziale,  kiedy funkcja  jest  opisana za pomocą wykresu.

Przykład 1

Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu.

ROTO91zZBfYyW

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich są ujemne.

Rozwiązanie:

Dla x-7, -6 – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla x-6, -2 – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla x-2, 1 – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla x1, 6 – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla x6, 7 – funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 2

Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu.

RPXhhOTgRjoSv

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów znak funkcji jest dodatni.

Rozwiązanie:

Analizując wykres zauważamy, że funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Możemy to zapisać:

dla x-5, 6 – funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Dziedziną funkcji f jest przedział -5, 6.

O funkcji f możemy powiedzieć, że ma stały znak. Dla wszystkich argumentów należących do dziedziny funkcji przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Powyższe przykłady pokazały nam, w jaki sposób możemy określić znak funkcji w przypadku, gdy funkcja opisana jest za pomocą wykresu.
W jaki sposób określimy znak funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru?
Czy zawsze musimy najpierw naszkicować wykres tej funkcji, a następnie z wykresu odczytać znak funkcji?

Kolejne przykłady pokażą nam, że wystarczy rozwiązać odpowiednie nierówności.

Przykład 3

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru.

fx=2x-6, gdy x.

Wyznaczymy te argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne oraz te, dla których przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne należy rozwiązać nierówność fx<0.

fx<02x-6<02x<6x<3

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x-, 3.

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie należy rozwiązać nierówność fx>0.

fx>02x-6>02x>6x>3

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x3, .

Przykład 4

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru.

fx=2x-4-6,gdy x<2x-4,gdy x2.

Określimy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz te, w których przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Funkcja f opisana jest za pomocą wzoru składającego się z dwóch wyrażeń.

Dla każdej części wzoru musimy rozwiązać dwie nierówności:

fx<0 oraz fx>0.

fx=2x-4-6, gdy x<2.

2x-4-6<02x-4<6-6<2x-4<6

2x-4>-62x-4<62x>-22x<10x>-1x<5

Rozwiązanie nierówności: x-1, 5. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x-1, 2.

2x-4-6>02x-4>62x-4<-62x-4>6

2x<-22x>10x<-1x>5

Rozwiązanie nierówności: x-, -15, . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x-, -1.

Analogicznie postępujemy z drugą częścią wzoru.

fx=x-4, gdy x2.

x-4>0x>4x>16

Rozwiązanie nierówności: x16, . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x16, .

x-4<0x<4x<16

Rozwiązanie nierówności: x0, 16. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x2, 16.

Otrzymane wyniki umieścimy w tabeli.

Przedział

Znak funkcji

x-, -1

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

x-1, 2

Funkcja przyjmuje wartości ujemne.

x2, 16

Funkcja przyjmuje wartości ujemne.

x16, 

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Ważne!

Funkcja opisana jest za pomocą wykresu, wtedy:

  • funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy jej wykres znajduje się nad osią X

  • funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy jej wykres znajduje się pod osią X

Funkcja opisana jest za pomocą wzoru, wtedy:

  • funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów spełniających nierówność fx>0

  • funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów spełniających nierówność fx<0

Funkcja ma stały znak, jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje wyłącznie wartości ujemne lub wyłącznie wartości dodatnie.

Słownik

wykres funkcji
wykres funkcji

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x, fx, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x jest elementem dziedziny tej funkcji, a fx jest wartością funkcji f dla argumentu x