Warto przeczytać

Wszystkie ciała Układu Słonecznego związane są siłą grawitacji. Jest to siła przyciągająca, która oddziałuje między każdą parą ciał obdarzonych masą (Rys. 1.).

R9p2NjlW0JH2e

Rys. 1. Rysunek przedstawia siły grawitacji działające pomiędzy dwoma obiektami. Po lewej stronie pokazano większe ciało w postaci niebieskiego dużego koła, którego masę opisano wielką literą M. Po prawej stronie, na tej samej wysokości pokazano mniejsze ciało, w postaci mniejszego koła w kolorze ciemnoniebieskim. Masa mniejszego ciało opisana jest małą literą m. Większe ciało symbolizuje planetę, a mniejsze jej księżyc. Odległość pomiędzy środkami mas ciał oznaczono małą literą r. Ze środka ciała większego wychodzi pozioma, czarna strzałka skierowana w prawo i opisana jako siła wielka litera F. Jest to siła grawitacji z jaką większe ciało przyciągane jest do mniejszego. Ze środka mniejszego ciała wychodzi również poziomy wektor, narysowany w postaci poziomej, czarnej strzałki skierowanej w lewo i opisującej siłę minus wielka litera F, z jaką mniejsze ciało jest przyciągane do ciała większego. Siły widoczne w układzie są siłami grawitacyjnymi, których źródłem są wszystkie obiekty posiadające masę.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, wartość siły grawitacji jest wprost proporcjonalna do mas obu ciał $M$ i $m$, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami $r$:

gdzie $G$ = 6,67 · 10Indeks górny -11^-11 mIndeks górny 3³/(kg·sIndeks górny 2²) jest stałą grawitacji.

Siła grawitacji jest siłą centralną, co oznacza, że działa wzdłuż prostej łączącej środki ciał. W polu sił centralnych swobodny ruch ciał odbywa się po orbitach eliptycznych, a przy większych energiach kinetycznych również po orbitach parabolicznych i hiperbolicznych. Wszystkie planety okrążają Słońce po orbitach eliptycznych. Również po orbitach eliptycznych poruszają się księżyce wokół planet (Rys. 2.). Planeta znajduje się w ognisku elipsy, a kształt elipsy wyznaczają: półoś wielka $a$ i półoś mała $b$.

R156OhIosVGCz

Rys. 2. Rysunek przedstawia poziomą elipsę narysowaną czarną linią z zaznaczonymi długą i krótką osią elipsy w postaci czarnych linii. Długa oś elipsy oznaczona jest małą literą, a krótka oś małą literą b. Na dłuższej osi elipsy, po lewej stronie od punktu ich przecięcia, widoczna jest planeta w postaci czerwonego koła. Na obwodzie elipsy w lewej dolnej części pokazano księżyc w postaci niebieskiego koła. Odległość pomiędzy planetą i księżycem zaznaczono czarną strzałką skierowaną od planety do księżyca i opisano małą literą r. Ze środka księżyca wychodzi czerwona strzałka skierowana do planety, która opisuje siłę grawitacyjną wielka litera F, z jaką planeta przyciąga księżyc. Ze środka księżyca wychodzi druga strzałka opisująca wektor prędkości liniowej księżyca mała litera v, z jaką księżyc porusza się po eliptycznej orbicie planety. Wektor prędkości jest styczny do okręgu i powoduje ruch po orbicie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, dla którego półosie wielka i mała mają jednakową długość. Po takiej właśnie orbicie porusza się księżyc Marsa Deimos (Rys. 3.).

R1f0ZyT2LkMnH

Rys. 3. Rysunek przedstawia Marsa w postaci czerwonego koła oraz jego księżyc opisany wielkimi literami jako DEIMOS, w postaci mniejszego czarnego koła poruszającego się po orbicie kołowej planety narysowanej w postaci okręgu. Mars znajduje się w centrum orbity kołowej, a księżyc po prawej stronie w punkcie orbity maksymalnie wychylonym w prawo. Ze środka księżyca wychodzą dwa wektory sił narysowane w postaci strzałek. Czerwony wektor siły grawitacyjnej wielka litera F skierowany jest poziomo w lewo do planety. Czarny wektor prędkości liniowej mała litera v, z jaką księżyc porusza się po orbicie kołowej skierowany jest pionowo w górę stycznie do orbity. Siła grawitacji zdefiniowana jako iloczyn stałej kosmicznej wielka litera G i masy planety wielka litera M i masy księżyca mała litera m podzielone przez kwadrat odległości pomiędzy ciałami mała litera r do kwadratu stanowi siłę dośrodkową mała litera m razy prędkość liniowa do kwadratu mała litera v do potęgi drugiej podzielonej przez odległość pomiędzy ciałami mała litera r.

Siła grawitacji $\overrightarrow{F}$ w każdym punkcie orbity jest prostopadła do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$ i pełni rolę siły dośrodkowej, która zmienia kierunek wektora prędkości. Wartość prędkości pozostaje stała. Można ją wyznaczyć z równania:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Prędkość satelity nie zależy od jego masy, a tylko od masy $M$ planety, będącej źródłem pola grawitacyjnego i od promienia $r$ orbity. Z taką samą prędkością porusza się po określonej orbicie kołowej zarówno masywny księżyc, jak i najdrobniejszy okruszek skalny.

Drugi księżyc Marsa, Phobos, porusza się po orbicie eliptycznej (Rys. 4.). W tym przypadku siła grawitacji nie jest w każdym punkcie prostopadła do wektora prędkości. W punkcie A na Rys. 4. wektory te tworzą kąt rozwarty, a w punkcie B – kąt ostry. Siłę grawitacji możemy rozłożyć na dwie składowe: prostopadłą ${\overrightarrow{F}}_r$ i równoległą ${\overrightarrow{F}}_s$ do wektora prędkości. Składowa prostopadła do wektora prędkości spełnia rolę siły dośrodkowej i zmienia jego kierunek, natomiast składowa równoległa, zmienia wartość wektora prędkości.

R6sooNWu3WgH9

Rys. 4. Rysunek przedstawia eliptyczną orbitę narysowaną w postaci poziomej czarnej elipsy. Po lewej stronie od środka elipsy, na jej długiej osi w jednym z ognisk pokazano Mars narysowany w postaci czerwonego koła. Na obwodzie elipsy w prawej, dolnej i prawej górnej części umieszczono dwa niebieskie punkty symbolizujące księżyc Marsa. Punkt po prawej i dolnej stronie orbity oznaczono wielką literą A, a punkt w górnej i prawej części orbity opisano wielką literą B. Pomiędzy środkiem Marsa a środkami niebieskich punktów na obwodzie poprowadzono dwie czarne przerywane linie. Wzdłuż tych linii poprowadzono dwa wektory biegnące od środków niebieskich punktów do Marsa, w postaci czerwonych strzałek. Są to wektory sił grawitacji wielka litera F, z jaką Mars przyciąga swój księżyc. Wektory te są równej długości niezależnie od położenia księżyca na orbicie eliptycznej. Ze środków niebieskich punktów wychodzą wektory siły dośrodkowej wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r skierowane do drugiego ogniska elipsy. Wektory tych sił narysowano zielonymi strzałkami. Ze środków niebieskich punktów wychodzą wektory prędkości liniowych mała litera v, stycznych do obwodu orbity. Prędkość powoduje ruch księżyca po orbicie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ze środków niebieskich punktów wychodzą wektory sił stycznych wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s. Punkt wielka litera A znajduje się dalej od Marsa niż punkt wielka litera B. Siła styczna w punkcie wielka litera A jest skierowana przeciwnie do wektora prędkości liniowej. Siła styczna w punkcie wielka litera B jest skierowana zgodnie z wektorem prędkości liniowej. Wektor siły stycznej w punkcie wielka litera A jest znacznie krótszy niż w punkcie wielka litera B.

W punkcie A, gdzie kąt między wektorem prędkości a wektorem siły grawitacji jest większy od 90°, składowa styczna do toru ma przeciwny zwrot do wektora prędkości i nadaje księżycowi przyspieszenie ujemne (opóźnienie), czyli powoduje zmniejszanie wartości prędkości. Natomiast w punkcie B, kąt między wektorem prędkości a wektorem siły grawitacji jest mniejszy od 90°, składowa styczna do toru ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora prędkości i nadaje planecie przyspieszenie dodatnie, czyli powoduje zwiększanie wartości prędkości. W rezultacie, w punkcie położonym najbliżej Marsa wartość prędkości księżyca osiąga największą wartość, a w punkcie najbardziej oddalonym – najmniejszą.

Zmiany prędkości księżyca na orbicie eliptycznej wynikają też z zasady zachowania momentu pędu, która mówi, że moment pędu ciała jest stały, jeśli nie działa na nie moment siły. Popatrz na Rys. 2. – siła grawitacji, działająca na księżyc, jest w każdym momencie skierowana wzdłuż promienia wodzącego planety. Moment siły grawitacji względem osi obrotu, zdefiniowany jako iloczyn wektorowy wektora $\overrightarrow{r}$ i wektora siły $\overrightarrow{F}$, jest więc równy zeru. Moment pędu księżyca pozostaje więc stały. Porównajmy momenty pędu, gdy księżyc znajduje się najbliżej i najdalej od planety (Rys. 5.). Wektor pędu $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ jest w tych punktach prostopadły do promienia wodzącego księżyca $\overrightarrow{r}$. Wartość momentu pędu można więc przedstawić jako iloczyn wartości pędu i promienia wodzącego. Przyrównując wartości momentu pędu w punktach o maksymalnej i minimalnej odległości od planety, otrzymujemy:

Po przekształceniach równanie to można przedstawić w postaci:

Im bardziej wydłużony kształt orbity, tym większy stosunek maksymalnej do minimalnej prędkości księżyca.

R1G6adzufIk5w

Rys. 5. Rysunek przedstawia eliptyczną orbitę w postaci poziomej czarnej elipsy. Po prawej stronie od środka elipsy, na jej długiej osi w jednym z ognisk pokazano Marsa w postaci czerwonego koła. Na orbicie, na wysokości Marsa w położeniu maksymalnym w prawo i maksymalnym w lewo pokazano księżyc planety widoczny w postaci niebieskich punktów. W położeniu po lewej stronie księżyc znajduje się w minimalnej odległości od planety na orbicie eliptycznej mała litera r z indeksem dolnym małymi literami "min", a w położeniu po prawej księżyc znajduje się w maksymalnej odległości od planety na orbicie eliptycznej mała litera r z indeksem dolnym małymi literami "max". Do niebieskich punktów przyłożono wektory prędkości liniowych księżyca, w postaci pionowych, czarnych strzałek. W minimalnej odległości księżyca od planety wartość prędkości jest maksymalna mała litera v z indeksem dolnym "max". Wektor tej prędkości skierowany jest ponowo w dół. W najbardziej odległym punkcie orbity, wartość prędkości jest minimalna mała litera v z indeksem dolnym małymi literami "min". Wektor tej prędkości jest skierowany pionowo w górę. Księżyc porusza się po orbicie eliptycznej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Często zdarza się, że orbity kołowe mają księżyce znajdujące się najbliżej planety, a eliptyczne – księżyce położone dalej (choć nie jest to regułą). Przykładem jest Neptun – najdalej położona od Słońca planeta, który ma 14 dotychczas odkrytych księżyców. Osiem najbliższych księżyców, w tym największy Tryton, porusza się po orbitach kołowych lub bardzo zbliżonych do okręgu. Promienie ich orbit zawierają się w przedziale od około 50 tys. km do około 350 tys. km. Natomiast dalsze księżyce poruszają się po orbitach eliptycznych o półosiach wielkich od około 5500 tys. km do ponad 48000 tys. km. Dziewiąty księżyc pod względem odległości od planety, Nereida, krąży po orbicie o kształcie najbardziej wydłużonej elipsy spośród wszystkich znanych satelitów w Układzie Słonecznym. Odległość Nereidy od Neptuna zmienia się od 1,37 do 9,65 miliona kilometrów, czyli ponad siedmiokrotnie. Tyle samo razy jego największa prędkość orbitalna przewyższa najmniejszą prędkość. Niezwykłość orbity Nereidy nasuwa podejrzenie, że może ona być przechwyconą przez Neptuna planetoidąPlanetoidaplanetoidą.

Słowniczek