Przeczytaj
Dla przypomnienia – definicja logarytmu.
Logarytmem liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać .
Poniżej przykład jednego z najbardziej znanych zastosowań logarytmów w obliczeniach chemicznych – wyznaczanie kwasowości roztworów.
Określanie roztworów
Skala jest ilościową skalą kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych.
Skala ta opiera się na aktywności jonów hydroniowych w roztworach wodnych.
Najczęściej oblicza się według wzoru:
gdzie:
– oznacza stężenie jonów hydroniowych, wyrażone w molach na .
Chemicy zwykle przyjmują uproszczoną wersję wzoru określającego roztworu, opartą o stężenia jonów wodorowych.
Dla chemicznie czystej wody – woda ma odczyn obojętny.
Jeśli: | ||
---|---|---|
roztwór ma odczyn kwaśny | roztwór ma odczyn obojętny (woda) | roztwór ma odczyn zasadowy |
Obliczymy, jakie jest treści żołądka, jeżeli stężenie jonów wodorowych w badanej próbce jest równe .
Odpowiedź:
treści żołądka wynosi ok. , czyli treść żołądka ma odczyn kwaśny.
Obliczmy przybliżone stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej.
Z informacji podanych wyżej wnioskujemy, że wody morskiej wynosi . Oznaczając szukane stężenie przez , otrzymujemy:
Zatem:
Odpowiedź:
Stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej wynosi około .
Określanie wieku znaleziska
Do określania wieku znaleziska archeologicznego można wykorzystać wynik pomiaru zawartości izotopu węgla w żyjącym organizmie (roślinnym lub zwierzęcym) - stosunek ilości radioaktywnego izotopu węgla do izotopu nieradioaktywnego jest stały i wynosi około . Po śmierci organizmu ilość radioaktywnego izotopu maleje (okres jego połowicznego rozpadu wynosi około lat), a ilość izotopu pozostaje niezmieniona.
W r. amerykański fizyk F. Libby zaproponował wzór opisujący masę próbki promieniotwórczego izotopu o okresie połowicznego rozpadu , po upływie czasu .
gdzie:
– początkowa masa próbki.
Obliczymy wiek znaleziska, w którym zmierzona zawartość izotopu jest równa początkowej zawartości tego izotopu.
Z informacji zapisanej powyżej wnioskujemy, że . Z treści zadania wynika, że .
Korzystamy ze wzoru: . Mamy wyznaczyć .
Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.
Przekształcamy równanie, korzystając z własności działań na logarytmach.
Z tablic logarytmicznych odczytujemy:
Wyznaczamy przybliżoną wartość .
Odpowiedź:
Przybliżony wiek znaleziska to około lat.
Demografia
Pokażemy teraz zastosowanie logarytmówlogarytmów do obliczeń demograficznych. Wykorzystamy wzór na procent składany.
Średni przyrost naturalny ludności w miejscowości Jedlicze wynosi promili rocznie. Obliczymy, po ilu latach liczba mieszkańców tej miejscowości wzrośnie o .
Oznaczmy:
– obecna liczba mieszkańców,
– szukana liczba lat.
Jeśli teraz liczba ludności wynosi , to za lat będzie wynosiła , czyli .
Stosujemy wzór na procent składany.
Z tego wzoru wyznaczamy .
Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.
Odpowiedź:
Liczba mieszkańców wzrośnie o po około latach.
Zmiany ciśnienia atmosferycznego
Aby obliczyć wysokość szczytu górskiego można użyć barometru i skorzystać ze wzoru:
gdzie:
– wysokość góry,
, – ciśnienie barometryczne (wyrażone w mm słupka rtęci) odpowiednio u podnóża góry i na jej wierzchołku.
Z tego wzoru można też korzystać, chcąc obliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego u podnóża góry lub na jej wierzchołku.
Obliczymy, jakie jest ciśnienie na wierzchołku góry o wysokości , jeżeli u podnóża góry ciśnienie wynosi . Wynik podamy z dokładnością do .
Do wzoru wstawiamy , .
Przekształcamy zapisaną równość.
Z tablic logarytmicznych odczytujemy wartość .
Stąd
Ponownie korzystamy z tablic matematycznych.
Odpowiedź:
Ciśnienie atmosferyczne na wierzchołku góry wynosi około .
Wymiar fraktalny
Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego frangere (łamać). Jest to bardzo trafna nazwa, bowiem wymiar fraktala zwykle nie jest liczbą całkowitą. Geometrycznie fraktal można zinterpretować jako figurę samopodobną, czyli taką, której części są podobne do całości. Dla figur samopodobnych określa się wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa (wymiarem fraktalnym), będącą uogólnieniem klasycznej definicji wymiaru.
Obliczanie wymiaru fraktala oparte jest na koncepcji tzw. pudełek. Daną figurę pokrywamy mniejszymi („pudełkami”), podobnymi do wyjściowej figury. Wymiar pudełkowy oparty jest na zliczaniu ilości „pudełek” pokrywających zbiór.
Jeśli figura w całej wielkości zawiera samopodobnych kopi siebie wielkości , to jej wymiar samopodobieństwa jest równy:
Dla przykładu wymiar fraktalny płuc szacuje się na ok. , a powierzchni mózgu na ok. .
Obliczymy wymiar fraktalny zbioru Cantora.
Tworzenie zbioru Cantora rozpoczynamy od narysowania odcinka. Odcinek dzielimy na trzy, a następnie „wycinamy” środek. W podobny sposób postępujemy z utworzonymi „pozostałymi” odcinkami. Procedurę powtarzamy w nieskończoność.
Każdy nowo powstały odcinek jest więc podobny do poprzedniego w skali , a z każdego odcinka powstają dwa nowe.
Zatem:
Odpowiedź:
Wymiar zbioru Cantora jest równy w przybliżeniu .
Słownik
logarytmem liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać