Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Zgodnie z zasadą trychotomii każde dwie liczby rzeczywiste można porównać, czyli stwierdzić, która jest większa lub czy są one równe. Innymi słowy, jeśli a, b są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jeden z trzech warunków: a<ba=b, albo b<a.

Cechy relacji równości

Każda liczba rzeczywista jest równa sama sobie, zatem dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi a=a. Własność tę nazywamy zwrotnością. Możemy też powiedzieć, że relacjarelacjarelacja równości jest zwrotnarelacja zwrotnazwrotna.

Jeśli liczba rzeczywista a jest równa liczbie rzeczywistej b, to również liczba b jest równa liczbie a. Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych jeśli a=b, to b=a. Tę cechę nazywamy symetrią, a każdą relację charakteryzującą się nią nazywamy relacją symetryczną.

Jeśli liczba rzeczywista a jest równa liczbie rzeczywistej b, zaś b jest równe liczbie rzeczywistej c,to liczby ac również są równe. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c jeśli a=bb=c, to a=c. Tę własność nazywamy przechodniością, a o równości mówimy, że jest relacją przechodnią.

Cechy relacji mniejszości

Relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, co oznacza, że żadna liczba rzeczywista nie jest mniejsza od siebie samej.

Jeżeli liczba rzeczywista x jest mniejsza od liczby rzeczywistej y, to na pewno y nie jest mniejsze od x. Na tej podstawie relację mniejszości nazywamy przeciwsymetrycznąrelacja przeciwsymetryczna, relacja asymetrycznaprzeciwsymetryczną. Relacja mniejszości jest przechodniarelacja przechodnia (tranzytywna)przechodnia, co oznacza, że jeśli x<yy<z, to x<z dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z.

W praktyce ważne będą jeszcze następujące własności:

a) do obu stron nierówności można dodać albo od obu odjąć tę samą liczbę rzeczywistą zachowując przy tym zwrot nierówności. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych
a, b, c następujące nierówności są równoważne:

  • a<b

  • a+c<b+c

  • a-c<b-c

b) obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez liczbę dodatnią zachowując zwrot nierówności albo przez liczbę ujemną zmieniając zwrot nierówności. Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i dodatniej liczby c równoważne są nierówności:

  • a<b

  • ac<bc

  • ac<bc

Dla ujemnej liczby c równoważne są następujące nierówności:

  • a<b

  • ac>bc

  • ac>bc

Porównywanie liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste można porównań na dwa sposoby - wykorzystując tak zwane:

  • porównywanie ilorazowe, albo

  • porównywanie różnicowe.

Porównujemy wielkości ilorazowo za każdym razem, kiedy próbujemy odpowiedzieć na pytanie, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej. W tym celu obliczamy iloraz dwóch wielkości.

Porównujemy różnicowo w przypadkach, gdy chcemy wiedzieć, o ile jedna liczba jest większa od drugiej. Wówczas obliczamy różnicę tych liczb.

Zauważmy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b nierówność a<b jest równoważna nierówności ab<0, zaś nierówność a>b oznacza dokładnie to samo, co nierówność ab>0.

Jeżeli liczby a i b są dodatnie, to nierówność a<b jest równoważna nierówności ab<1 (dodatni ułamek jest właściwy dokładnie wtedy, gdy mianownik jest większy od licznika). Analogicznie dla dodatnich liczb a i b nierówność a>b jest równoważna nierówności ab>1 (dodatni ułamek jest niewłaściwy dokładnie wtedy, gdy licznik jest większy od mianownika).

Dla kompletności wspomnijmy jeszcze, że a=b dokładnie wtedy, kiedy ab=0, co jest równoważne ab=1 (dla b0).

Często używamy też innych symboli do oznaczenia porządku lub porównania liczb:

symbol

znaczenie

a<b

a jest mniejsze niż b

a>b

a jest większe niż b

ab

a jest mniejsze (lub) równe niż b
a jest nie większe niż b

ab

a jest większe (lub) równe niż b
a jest nie mniejsze niż b

Przykład 1

Wiadomo, że a<bc<d. Udowodnimy, że a+c<b+d.

Rozwiązanie

Rozważmy lewą stronę tezy: a+c. Na mocy założenia b jest większe od a, więc a+c<b+c. Również na mocy założenia c<d,zatem b+c<b+d. Stąd a+c<b+cb+c<b+d, zatem z przechodniości relacji mniejszości wynika, że a+c<b+d. Co należało udowodnić.

Powyższe twierdzenie pozwala dodawać stronami nierówności, które są zgodnie skierowane, co często przydaje się w dowodach różnych zależności.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówności:

a) 3x>0

b) 3x>1

Rozwiązanie

Ad. a) Zauważmy, że iloraz jest dodatni, gdy dzielna i dzielnik są tego samego znaku. Ponieważ 3 jest liczbą dodatnią, więc ułamek 3x jest dodatni dokładnie wtedy, gdy x>0. Zatem nierówność 3x>0 spełniają wszystkie liczby dodatnie.

Ad. b) Zauważmy, że ułamek jest większy od 1, gdy jest dodatni i jego licznik jest większy od mianownika, czyli gdy 3>x. Jednak x nie może być liczbą ujemną. Rzeczywiście gdyby x<0, wówczas iloraz 3x byłby ujemny, więc mniejszy niż 1. Zatem x spełnia warunek 0<x<3.

Przykład 3

Załóżmy, że x>5y<1. Czy możemy oszacować wielkość następujących wyrażeń:

a) x+y,

b) x-y,

c) x·y,

d) xy, przy dodatkowym założeniu y0,

e) yx?

Rozwiązanie

Ad. a) Wartość wyrażenia x+y może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Ad. b) Wartość wyrażenia x-y może być dowolną liczbą rzeczywistą większą niż 4.

Ad. c) Wartość wyrażenia x·y może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Ad. d) Przy dodatkowym założeniu y0, mamy że wartość wyrażenia xy może być dowolną liczbą ujemną oraz dowolną liczbą większą niż 5.

Ad. e) Wartość wyrażenia yx może być dowolną liczbą mniejszą niż 15.

Przykład 4

Porównamy następujące ułamki:

a) 513511

b) 713511

c) 51337

Rozwiązanie

Ad. a) Oczywiście 513<511, bo 11>13.

Ad. b) W przypadku drugiej pary wystarczy zauważyć, że pierwszy ułamek jest większy niż 12 a drugi mniejszy niż 12, wiec 713>511.

Ad. c) W przypadku ostatniej pary skorzystamy z faktu, że znak nierówności nie zmieni się, gdy oba wyrażenia pomnożymy przez liczbę dodatnią 91. Otrzymamy wówczas liczby 3539. Zatem 37>513.

Przykład 5

Uporządkujemy liczby 0,3, 3101π.

Rozwiązanie

Oczywiście 310=0,3<0,3. Jednocześnie 0,3=13>1π. Musimy więc znaleźć sposób na porównanie liczb 3101π. Pomnóżmy je przez 10π. Wówczas otrzymamy 3π oraz 10. Zatem 310<1π<0,3.

Słownik

relacja
relacja

odzwierciedlenie oddziaływania między dwoma bądź większą liczbą podmiotów, przedmiotów, cech, obiektów matematycznych

relacja przeciwsymetryczna, relacja asymetryczna
relacja przeciwsymetryczna, relacja asymetryczna

relacja, która jeżeli zachodzi dla pary x,y, to nie zachodzi dla pary y,x

relacja przechodnia (tranzytywna)
relacja przechodnia (tranzytywna)

relacja, która jeśli zachodzi dla pary x,y oraz pary y,z, to zachodzi też dla pary x,z

relacja zwrotna
relacja zwrotna

relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida