Zgodnie z zasadą trychotomii każde dwie liczby rzeczywiste można porównać, czyli stwierdzić, która jest większa lub czy są one równe. Innymi słowy, jeśli $a$, $b$ są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jeden z trzech warunków: $a<b$, $a=b$, albo $b<a$.

Cechy relacji równości

Każda liczba rzeczywista jest równa sama sobie, zatem dla każdej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi $a=a$. Własność tę nazywamy zwrotnością. Możemy też powiedzieć, że relacjarelacjarelacja równości jest zwrotnarelacja zwrotnazwrotna.

Jeśli liczba rzeczywista $a$ jest równa liczbie rzeczywistej $b$, to również liczba $b$ jest równa liczbie $a$. Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych jeśli $a=b$, to $b=a$. Tę cechę nazywamy symetrią, a każdą relację charakteryzującą się nią nazywamy relacją symetryczną.

Jeśli liczba rzeczywista $a$ jest równa liczbie rzeczywistej $b$, zaś $b$ jest równe liczbie rzeczywistej $c$,to liczby $a$ i $c$ również są równe. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ jeśli $a=b$ i $b=c$, to $a=c$. Tę własność nazywamy przechodniością, a o równości mówimy, że jest relacją przechodnią.

Cechy relacji mniejszości

Relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, co oznacza, że żadna liczba rzeczywista nie jest mniejsza od siebie samej.

Jeżeli liczba rzeczywista $x$ jest mniejsza od liczby rzeczywistej $y$, to na pewno $y$ nie jest mniejsze od $x$. Na tej podstawie relację mniejszości nazywamy przeciwsymetrycznąrelacja przeciwsymetryczna, relacja asymetrycznaprzeciwsymetryczną. Relacja mniejszości jest przechodniarelacja przechodnia (tranzytywna)przechodnia, co oznacza, że jeśli $x<y$ i $y<z$, to $x<z$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$.

W praktyce ważne będą jeszcze następujące własności:

a) do obu stron nierówności można dodać albo od obu odjąć tę samą liczbę rzeczywistą zachowując przy tym zwrot nierówności. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych
$a$, $b$, $c$ następujące nierówności są równoważne:

• $a<b$

• $a+c<b+c$

• $a-c<b-c$

b) obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez liczbę dodatnią zachowując zwrot nierówności albo przez liczbę ujemną zmieniając zwrot nierówności. Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$ i dodatniej liczby $c$ równoważne są nierówności:

• $a<b$

• $a\cdot c<b\cdot c$

• $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$

Dla ujemnej liczby $c$ równoważne są następujące nierówności:

• $a<b$

• $a\cdot c>b\cdot c$

• $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$

Porównywanie liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste można porównań na dwa sposoby - wykorzystując tak zwane:

• porównywanie ilorazowe, albo

• porównywanie różnicowe.

Porównujemy wielkości ilorazowo za każdym razem, kiedy próbujemy odpowiedzieć na pytanie, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej. W tym celu obliczamy iloraz dwóch wielkości.

Porównujemy różnicowo w przypadkach, gdy chcemy wiedzieć, o ile jedna liczba jest większa od drugiej. Wówczas obliczamy różnicę tych liczb.

Zauważmy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ nierówność $a<b$ jest równoważna nierówności $a-b<0$, zaś nierówność $a>b$ oznacza dokładnie to samo, co nierówność $a-b>0$.

Jeżeli liczby $a$ i $b$ są dodatnie, to nierówność $a<b$ jest równoważna nierówności $\frac{a}{b}<1$ (dodatni ułamek jest właściwy dokładnie wtedy, gdy mianownik jest większy od licznika). Analogicznie dla dodatnich liczb $a$ i $b$ nierówność $a>b$ jest równoważna nierówności $\frac{a}{b}>1$ (dodatni ułamek jest niewłaściwy dokładnie wtedy, gdy licznik jest większy od mianownika).

Dla kompletności wspomnijmy jeszcze, że $a=b$ dokładnie wtedy, kiedy $a-b=0$, co jest równoważne $\frac{a}{b}=1$ (dla $b\ne 0$).

Często używamy też innych symboli do oznaczenia porządku lub porównania liczb:

Słownik