Przeczytaj
Zgodnie z zasadą trychotomii każde dwie liczby rzeczywiste można porównać, czyli stwierdzić, która jest większa lub czy są one równe. Innymi słowy, jeśli , są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jeden z trzech warunków: , , albo .
Cechy relacji równości
Każda liczba rzeczywista jest równa sama sobie, zatem dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi . Własność tę nazywamy zwrotnością. Możemy też powiedzieć, że relacjarelacja równości jest zwrotnazwrotna.
Jeśli liczba rzeczywista jest równa liczbie rzeczywistej , to również liczba jest równa liczbie . Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych jeśli , to . Tę cechę nazywamy symetrią, a każdą relację charakteryzującą się nią nazywamy relacją symetryczną.
Jeśli liczba rzeczywista jest równa liczbie rzeczywistej , zaś jest równe liczbie rzeczywistej ,to liczby i również są równe. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych , , jeśli i , to . Tę własność nazywamy przechodniością, a o równości mówimy, że jest relacją przechodnią.
Cechy relacji mniejszości
Relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, co oznacza, że żadna liczba rzeczywista nie jest mniejsza od siebie samej.
Jeżeli liczba rzeczywista jest mniejsza od liczby rzeczywistej , to na pewno nie jest mniejsze od . Na tej podstawie relację mniejszości nazywamy przeciwsymetrycznąprzeciwsymetryczną. Relacja mniejszości jest przechodniaprzechodnia, co oznacza, że jeśli i , to dla dowolnych liczb rzeczywistych , , .
W praktyce ważne będą jeszcze następujące własności:
a) do obu stron nierówności można dodać albo od obu odjąć tę samą liczbę rzeczywistą zachowując przy tym zwrot nierówności. Czyli dla dowolnych liczb rzeczywistych
, , następujące nierówności są równoważne:
b) obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez liczbę dodatnią zachowując zwrot nierówności albo przez liczbę ujemną zmieniając zwrot nierówności. Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych , i dodatniej liczby równoważne są nierówności:
Dla ujemnej liczby równoważne są następujące nierówności:
Porównywanie liczb rzeczywistych
Liczby rzeczywiste można porównań na dwa sposoby - wykorzystując tak zwane:
porównywanie ilorazowe, albo
porównywanie różnicowe.
Porównujemy wielkości ilorazowo za każdym razem, kiedy próbujemy odpowiedzieć na pytanie, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej. W tym celu obliczamy iloraz dwóch wielkości.
Porównujemy różnicowo w przypadkach, gdy chcemy wiedzieć, o ile jedna liczba jest większa od drugiej. Wówczas obliczamy różnicę tych liczb.
Zauważmy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i nierówność jest równoważna nierówności , zaś nierówność oznacza dokładnie to samo, co nierówność .
Jeżeli liczby i są dodatnie, to nierówność jest równoważna nierówności (dodatni ułamek jest właściwy dokładnie wtedy, gdy mianownik jest większy od licznika). Analogicznie dla dodatnich liczb i nierówność jest równoważna nierówności (dodatni ułamek jest niewłaściwy dokładnie wtedy, gdy licznik jest większy od mianownika).
Dla kompletności wspomnijmy jeszcze, że dokładnie wtedy, kiedy , co jest równoważne (dla ).
Często używamy też innych symboli do oznaczenia porządku lub porównania liczb:
symbol | znaczenie |
---|---|
jest mniejsze niż | |
jest większe niż | |
jest mniejsze (lub) równe niż | |
jest większe (lub) równe niż |
Wiadomo, że i . Udowodnimy, że .
Rozwiązanie
Rozważmy lewą stronę tezy: . Na mocy założenia jest większe od , więc . Również na mocy założenia ,zatem . Stąd i , zatem z przechodniości relacji mniejszości wynika, że . Co należało udowodnić.
Powyższe twierdzenie pozwala dodawać stronami nierówności, które są zgodnie skierowane, co często przydaje się w dowodach różnych zależności.
Rozwiążemy nierówności:
a)
b)
Rozwiązanie
Ad. a) Zauważmy, że iloraz jest dodatni, gdy dzielna i dzielnik są tego samego znaku. Ponieważ jest liczbą dodatnią, więc ułamek jest dodatni dokładnie wtedy, gdy . Zatem nierówność spełniają wszystkie liczby dodatnie.
Ad. b) Zauważmy, że ułamek jest większy od , gdy jest dodatni i jego licznik jest większy od mianownika, czyli gdy . Jednak nie może być liczbą ujemną. Rzeczywiście gdyby , wówczas iloraz byłby ujemny, więc mniejszy niż . Zatem spełnia warunek .
Załóżmy, że i . Czy możemy oszacować wielkość następujących wyrażeń:
a) ,
b) ,
c) ,
d) , przy dodatkowym założeniu ,
e) ?
Rozwiązanie
Ad. a) Wartość wyrażenia może być dowolną liczbą rzeczywistą.
Ad. b) Wartość wyrażenia może być dowolną liczbą rzeczywistą większą niż .
Ad. c) Wartość wyrażenia może być dowolną liczbą rzeczywistą.
Ad. d) Przy dodatkowym założeniu , mamy że wartość wyrażenia może być dowolną liczbą ujemną oraz dowolną liczbą większą niż .
Ad. e) Wartość wyrażenia może być dowolną liczbą mniejszą niż .
Porównamy następujące ułamki:
a) i
b) i
c) i
Rozwiązanie
Ad. a) Oczywiście , bo .
Ad. b) W przypadku drugiej pary wystarczy zauważyć, że pierwszy ułamek jest większy niż a drugi mniejszy niż , wiec .
Ad. c) W przypadku ostatniej pary skorzystamy z faktu, że znak nierówności nie zmieni się, gdy oba wyrażenia pomnożymy przez liczbę dodatnią . Otrzymamy wówczas liczby i . Zatem .
Uporządkujemy liczby , i .
Rozwiązanie
Oczywiście . Jednocześnie . Musimy więc znaleźć sposób na porównanie liczb i . Pomnóżmy je przez . Wówczas otrzymamy oraz . Zatem .
Słownik
odzwierciedlenie oddziaływania między dwoma bądź większą liczbą podmiotów, przedmiotów, cech, obiektów matematycznych
relacja, która jeżeli zachodzi dla pary , to nie zachodzi dla pary
relacja, która jeśli zachodzi dla pary oraz pary , to zachodzi też dla pary
relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą