Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Przeanalizuj własności relacji równości i relacji mniejszości omówione w prezentacji.

RRVFj5gx9P2OI
Na pierwszym slajdzie znajduje się główny tytuł prezentacji: Uporządkowanie zbioru liczb rzeczywistych oraz podtytuł: cechy relacji równości i relacji mniejszości. Tło slajdu jest białe i znajduje się na nim wiele liter R. Slajd drugi przedstawia zasadę trychotomii, która brzmi: jeśli x i y są liczbami rzeczywistymi, to zachodzi dokładnie jeden z  trzech warunków: x<y albo: x=y albo: x>y. W zbiorze liczb rzeczywistych każde dwie liczby można porównać, to znaczy odpowiedzieć na pytanie: która jest większa lub czy są równe. Na slajdzie trzecim przedstawiona została relacja równości. Ma ona trzy podstawowe cechy: zwrotność oznacza, że każda liczba jest równa sama sobie, czyli jeśli liczba jest zwrotna to dla dowolnej liczby x zachodzi x=x, symetryczność oznacza, że jeśli x jest równy y to x jest równy x. Ostatnią cechą jest przechodniość, oznacza ona, że jeśli x jest równy y, y  jest równy z, to również x jest równy z. Slajd czwarty przedstawia inne własności relacji równości , które są bardzo często wykorzystywane przy rozwiązywaniu równań. Do obu stron danej równości można dodać tę samą liczbę, od obu stron równości można odjąć tę samą liczbę oraz obie strony równości można pomnożyć lub podzielić przez liczbę różną od 0. Po wykonaniu tych operacji równość się zachowa. Zatem jeśli x=y, wówczas dla dowolnej liczby a zachodzi: x+a=y+a, x-a=y-a, x-a=y-a oraz xa=ya,dlaa0. Slajd piąty również dotyczy własności relacji równości, gdyż rozwiązując układy równań bardzo często wykorzystujemy operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia równań stronami. W każdym z tych przypadków otrzymamy równość odpowiednich wyrażeń. Jeżeli x=yr=t wówczas: x+r=y+t, xr=yt, x×r=y×t, xr=yt,dlar0,t0. Slajd szósty przedstawia relację mniejszości. Relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, co oznacza, że żadna liczba nie jest mniejsza od samej siebie, czyli dla żadnej liczby nie zachodzi: x<x. Przeciwsymetryczność relacji mniejszości oznacza, że jeśli x jest mniejszy od y, to y nie może być mniejsza od x, zatem dla dowolnych dwóch liczb x, y zachodzi: x<y, to nieprawda, że y<x. Przechodniość oznacza, że jeśli x jest mniejsze niż y, zaś y mniejsze niż z, to również x jest mniejsze niż z. Analogiczne własności ma relacja większości. Na slajdzie siódmym również widnieją własności relacji mniejszości. Przy rozwiązywaniu nierówności wykorzystujemy fakt, że jeśli do obu stron nierówności dodamy lub od obu stron odejmiemy tę samą liczbę to zwrot nierówności pozostaje niezmienny. Podobnie nierówność zachowuje się gdy obie jej strony pomnożymy lub podzielimy przez liczbę dodatnią, natomiast jeśli obie strony nierówności mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną wówczas zwrot nierówności się zmienia. Zatem jeśli x<y to dla dowolnej liczby a zachodzi: x+a<y+a, xa<ya, xa<ya,dlaa>0, xa<ya,dlaa>0, xa>ya, dlaa<0, xa>ya oraz dlaa<0. Slajd ósmy mówi o kolejnej własności wykorzystywanej w rozwiązywaniu twierdzeń, która mówi o tym, że nierówności o zgodnych zwrotach można dodawać stronami. Pozostałe operacje: odejmowanie, mnożenie i dzielenie stronami, czasami przy dodatkowych założeniach i ograniczeniach można wykonać ale robi się to niezwykle rzadko. Na slajdzie znajduje się zależność : jeśli x<yr<t, to x+r<y+t. Na slajdzie znajduje się również karteczka z napisem: Uwaga! Zwykle nie odejmujemy, nie mnożymy, nie dzielimy nierówności stronami. Slajd 9 dotyczy relacji słabej mniejszości. Jest to relacja zwrotna, czyli dla dowolnej liczby x zachodzi: xx i przechodnia,czyli dla dowolnych liczb: x, y, z zachodzi: jeśli : xyyz, to xz Cechy te są takie same jak dla relacji równości .Relacja słabej mniejszości jest jednak antysymetryczna co oznacza, że jeśli x jest nie większe niż y i y jest nie większe niż x to x równe jest y. Slajd dziesiąty przedstawia związki pomiędzy relacjami. Rozwiązując zadania korzystamy czasami z tak zwanych relacji zanegowanych. Zanegowanie równości dwóch liczb oznacza, że jedna jest większa od drugiej. Zdanie nieprawda, że a jest większe od b jest tożsame ze zdaniem a jest mniejsze lub równe b. Zdanie nieprawda, że a jest mniejsze od b jest równoważne z a jest większe lub równe b. Zaś zdania nieprawda, że a jest większe lub równe b oraz nieprawda, że a jest mniejsze lub równe b SA równoważne odpowiednio zdaniom a jest mniejsze od b oraz a jest większe od b. Związki zostały zebrane w tabeli, w której w pierwszym wierszu znajduje się zdanie, w drugim wierszu jest ono zapisane wzorem, natomiast w trzecim wierszu znajduje się zdanie równoważne do zdania z pierwszego wiersza. Zdanie nieprawda, że a=b, jest równoznaczne z ab i tożsame z a<bluba>b. Zdanie nieprawda, że a>b jest równoznaczne z a nie jest większe od b i tożsame z ab. Zdanie nieprawda, że a<b jest równoznaczne z a nie jest mniejsze od b i tożsame z ab Zdanie nieprawda, że ab jest równoznaczne z a nie jest większe lub równe b i tożsame z a<b Zdanie nieprawda, że ab jest równoznaczne z a nie jest mniejsze lub równe b i tożsame z a>b.
Polecenie 2
R1ZF0ck19NW7m
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida